精品解析：江西省2026届高三上学期8月入学摸底考试数学试题

江西省2026届高三年级入学摸底考试 数学试题 2025.8.20 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先求解集合B，由于最终求是交集，故可以先把x的范围限定在内，通过比较在该范围内、的函数图象得到集合A中大于0的元素范围，再根据交集的定义求出． 【详解】求解时，先求简单集合B，根据可知，， 进行因式分解，得，故求集合A时可只考虑的范围， 由于存在底数为2的指数，求导难以判断单调性（的近似值未告知）， 所以可通过观察、的函数图象得到不等式解集， 比较特殊点，可得， x 0 1 2 3 4 5 0 1 4 9 16 25 1 2 4 8 16 32 当x继续增大时，指数函数比幂函数增长速度快，再无其他交点， 故在的范围内，解集为， 的结果为与之间的交集，即，， 故选：C． 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 59 B. 61 C. 63 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】本题可利用等差数列前项和公式，结合已知条件列出方程组求出等差数列的首项和公差，进而求出． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列前项和公式， ，化简为， ，化简为， 联立解得，则． 故选：D． 3. “”是“函数为偶函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性讨论求解出，，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由为偶函数， 则函数和均为偶函数或均为奇函数， 若为偶函数，则，此时， 而，显然不恒成立，舍去； 若为奇函数，则，此时， 而， 由，则，即， 此时，定义域为，满足题意 综上所述，，， 而对于，可取，此时“函数不为偶函数”， 所以“”是“函数为偶函数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求得的关系，进而求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可. 【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为； 由题可知：，，解得； 设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为， 显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示： 若要满足题意，则，也即，，解得， 故，则该圆台外接球表面积. 故选：B. 6. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，由可得，，进而得到直线的方程为，，可求得，再建立方程可求得，可得，进而结合椭圆定义求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，， 由，则，则， 则，即， 则，整理得，即， 又，则，即， 则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故选：B. 7. 已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题通过分析函数的对称性，结合恰好有一个零点推出数列的递推关系，进而求出． 【详解】函数，其中与的图象均关于直线对称， 故的图象关于直线对称， 因为时恰有一个零点，所以该零点为，即， 将代入，结合，可得， ，进一步可转化为， ，由此可知，数列是以为首项，公比等比数列， 所以，，当时， ，即． 故选：B． 8. 已知为曲线上的两点，为曲线上的两点．其中点在点左侧，点在点左侧．则矩形的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反函数的对称性和矩形的性质表示出面积，利用导数可求答案. 【详解】因为和互为反函数，所以其图象关于直线对称； 因为四边形构成矩形，所以和，和均关于直线对称； 设，，则， ，； 由矩形性质可得，即， 整理可得，即. ， ， 设矩形的面积为，则，其中， 设，，则， 令得， 当时，，为增函数； 当时，，减函数； 当时，，为增函数； 又，，所以最大值为，即矩形的面积最大值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的渐近线夹角的正切值为 D. 的实轴长是虚轴长的倍 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设可得，结合双曲线中的关系可得，，进而结合双曲线的几何性质判断各选项即可. 【详解】由题意，，则， 所以，则，即， 所以，故A正确； 而，所以， 所以渐近线方程为或， 即或，故B错误； 当两条渐近线其中一条渐近线的斜率为时，设其倾斜角为，则， 而两条渐近线夹角的正切值为， 当两条渐近线其中一条渐近线的斜率为2时，设其倾斜角为，则， 而两条渐近线夹角的正切值为， 而，则实轴长是虚轴长的2倍，故D错误. 故选：AC. 10. 在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设的内切圆的圆心为，与相切于点，内切圆半径为，设角所对的边为，根据题设可得，结合得到，再由等面积法求得的值，进而求解判断各选项即可. 【详解】如图，设的内切圆的圆心为，与相切于点，内切圆半径为， 设角所对的边为，由于，则， 又，所以，则， 又，则，即， 由， 则，解得，则， 解得或，故A错误； 易得四边形为正方形，则， 所以， 当时，， 当时，，故B正确； 由， 当时，，， 则，故C错误； 由，可得， 当时，，， 则， 当时，，， 则，故D正确. 故选：BD. 11. 赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（ ） A. 的取值为2，3，4，5 B. 时，共有108种抽取顺序 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据已知条件确定随机变量X的取值，再分别计算X取不同值时的抽取顺序数，然后根据期望和方差公式计算和即可判断选项. 【详解】已知6个脐橙，其中有3个不合格产品，即合格品有3个， 每次从中抽取1个且不放回，所以要抽到第2件合格品时的抽取次数X的取值为2，3，4，5，故选项A正确. 当时，表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品，第4次抽取的是合格品。 从3个合格品中选1个，有种选法;从3个不合格品中选2个，有种选法;前3次抽取的顺序有种排法，第四次抽合格品，此时剩2件合格品，有2种抽法. 根据分步乘法计数原理，抽取顺序共有=（种），故选项B正确. , 故选项C错误. ,故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的实部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法及乘方运算求出即可. 【详解】依题意， . 所以的实部为. 故答案为： 13. 已知，且，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件，利用和差化积公式，以及降幂扩角公式求得或，再利用倍角公式和特殊角三角函数即可求得结果. 【详解】由 可得 也即 ， 也即， 又， 故，则或， 又， 故时，. 若，又，则，此时 故答案为：或. 14. 在平面直角坐标系中，已知．若抛物线上有且仅有一点满足，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】设为抛物线上一点，根据可得方程.再设，利用导数分析函数的单调性，根据方程只有1解求参数的值. 【详解】设为抛物线上一点， 由. 由题意，方程有且只有1解. 设，则. 易知在上为增函数，且， 所以方程必定只有1个正根，设为. 即. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 由有且仅有1解，所以. 所以 所以或. 当时，由，又，所以； 当时，由，所以该方程无解. 综上可知：. 故答案为：32 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2025年江西省城市足球联赛（即“赣超”）在江西各区市举行为了研究观看“赣超”与经常参与足球运动的关系，在城市社区随机调查了1200人，得到如下的列联表： 观看“赣超” 不观看“赣超” 经常参与足球运动 679 21 不经常参与足球运动 121 379 （1）求观看“赣超”者不经常参与足球运动的概率的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析观看“赣超”是否与经常参与足球运动有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据题设数据求解即可. （2）求出的值，即可进行判断. 【小问1详解】 根据表格可知，观看“赣超”的800人中有121人不经常参与足球运动， 所以所求概率的估计值为. 【小问2详解】 零假设为：观看“赣超”与经常参与足球运动无关， 根据题中表格得： 观看“赣超” 不观看“赣超” 合计 经常参与足球运动 679 21 700 不经常参与足球运动 121 379 500 合计 800 400 1200 代入公式得：， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即观看“赣超”与经常参与足球运动有关. 16. 如图，三棱锥中，，，，，，． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面即可证明平面平面． （2）通过在平面内，过点A作得到二面角的平面角，进一步再推导出三棱锥可放置于以长方体内，得到外接球的直径，再通过公式即可求得外接球表面积． 【小问1详解】 ， 解得，在中，由余弦定理， ， 代入数据得，所以， 所以，由勾股定理逆定理得，， 因为且， 所以， 又因为， 所以， 所以即，结合前述， 又因为且平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 在中，由余弦定理， ， 因为， 所以， 所以，解得， 在平面内，过点A作，取，则在平面内，， 且，所以，四边形为矩形， 由知， 因为平面平面，又， 所以二面角的平面角为，连接PE， 则，也即，在中，，解得， 又因为，，所以，即为直角三角形，， 又因为，，所以平面，所以，得到， 所以平面， 由此以矩形为底，为高构建长方体，如图所示， 所以可将三棱锥放入长方体内，该长方体的长宽高分别为，长方体的体对角线等于外接球的直径，，所以． 17. 已知函数． （1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值； （2）（ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由． （参考数据：） 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）有1个极值点，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据切线条件求出切线与x轴的截距，列出三角形面积表达式，求导研究单调性即可． （2）（ⅰ）求出切点处的斜率，再根据点斜式即可求出切线方程；（ⅱ）求的极值点个数，即求的变号零点个数，通过研究的导数确定单调性后即可进一步确定，研究过程中，要适当分区间考虑，合并结论后求解出最终结果． 【小问1详解】 设切线与曲线相切于点， 则的方程为， 将代入得，得：， ，令，解得：， 所求三角形面积， ， 时，，则单调递减，时，，则单调递增， ，即所求三角形面积最小值为． 小问2详解】 （i）， 则曲线在处的切线方程为， 即． （ⅱ），欲求有几个极值点，即求有几个变号零点，令， ①时，，则在上单调递增， ，由零点存在定理：，使得， 时，有一个极值点， ②时，，此时无零点， ③时，下证：， 令，则， 时，，故单调递减；时，，故单调递增， ， 令，则， 时，单调递增；时，单调递减， ， ， 恒成立，此时无零点， ④时，，但两者不同时取得等号， 恒成立，此时无零点， 综上可得，有1个极值点． 18. 已知数列，其前项的和为．设数列，其中． （1）求； （2）设，求的值； （3）设，求使得成立的最大正整数的值．（其中符号表示不超过的最大整数） 【答案】（1）， （2） （3）64 【解析】 【分析】（1）根据题设定义分析求解即可； （2）先求得，结合题设分析可得数列是以为首项，以为公差，项数为的等差数列，可得，结合裂项相消法求解即可； （3）先由题设可得，利用作差法及二项式定理可证得当时，，进而得到，进而求得，再解不等式即可. 【小问1详解】 ，， ，即， ， ，即， ， 同理，， 则， 而，所以. 【小问2详解】 由，则， 当时，， 可知数列是以为首项，以为公差，项数为的等差数列， ， ， . 【小问3详解】 ， 下证当时，： ①显然恒成立 ②， ， ，故， ， ，即， 又，， 因此满足不等式的最大正整数. 19. 已知和为椭圆上的两点，点和也在椭圆上，点A在射线上且满足，线段与椭圆交于异于的点B，记和的面积分别为，且． （1）用表示点B的坐标； （2）（i）求； （ii）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）和． 【解析】 【分析】（1）通过平面向量之间的变换，求得与、之间的关系，即可求解． （2）（i）将B点坐标代入椭圆方程，并结合M、N两点皆在椭圆上，得到、之间的等式关系，再由M、N两点在椭圆上满足的等式，结合、之间的等式关系，求得的值，进一步代入化简后的正弦定理面积公式，算出的值，最终求解的值； （ii）结合（i）求出的、之间的等式关系，以及N点在椭圆上，列出二元二次方程组，即可求解出N点的坐标． 【小问1详解】 由点A在射线上且满足得，M为线段的中点， ，即，， ， 又， ． 【小问2详解】 （i）由题意知：解得：， 椭圆的方程：，将代入得，，化简得，， 又点均在上，即，代入上式得， 点均在上，即，两式相乘得，， 整理得，， 将代入上式得， ， ． （ii）由（i）知，将代入可得， 则， 解得或， 综上可得，和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省2026届高三年级入学摸底考试 数学试题 2025.8.20 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 59 B. 61 C. 63 D. 65 3. “”是“函数为偶函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 7. 已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为曲线上的两点，为曲线上的两点．其中点在点左侧，点在点左侧．则矩形的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若双曲线焦距是虚轴长的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的渐近线夹角的正切值为 D. 的实轴长是虚轴长的倍 10. 在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时抽取次数，则（ ） A. 的取值为2，3，4，5 B. 时，共有108种抽取顺序 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的实部为______． 13. 已知，且，则______．（用含的代数式表示） 14. 在平面直角坐标系中，已知．若抛物线上有且仅有一点满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2025年江西省城市足球联赛（即“赣超”）在江西各区市举行为了研究观看“赣超”与经常参与足球运动的关系，在城市社区随机调查了1200人，得到如下的列联表： 观看“赣超” 不观看“赣超” 经常参与足球运动 679 21 不经常参与足球运动 121 379 （1）求观看“赣超”者不经常参与足球运动的概率的估计值； （2）根据小概率值独立性检验，分析观看“赣超”是否与经常参与足球运动有关． 附：． 0050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，三棱锥中，，，，，，． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积． 17. 已知函数． （1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值； （2）（ⅰ）求曲线在处切线方程； （ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由． （参考数据：） 18. 已知数列，其前项的和为．设数列，其中． （1）求； （2）设，求的值； （3）设，求使得成立的最大正整数的值．（其中符号表示不超过的最大整数） 19. 已知和为椭圆上的两点，点和也在椭圆上，点A在射线上且满足，线段与椭圆交于异于的点B，记和的面积分别为，且． （1）用表示点B的坐标； （2）（i）求； （ii）若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$