精品解析： 重庆市巴蜀中学2025-2026 学年上学期学堂班选拔考试（面向八年级）数学试卷

2026届学堂班选拔考试 1. 的个位数为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律并求和． 观察得出规律求解即可． 【详解】解：， ∵， ， …， 根据上述算式发现规律： 每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环， ∵， ∴的个位数字是2． ∵， ∴的个位数为， 故答案为：2． 2. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 3. 满足的整数解有_____组． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解高次方程，解题的关键是利用消元的思想． 先得到，，则将代入，化简得到，继而得到，则求出，再分类讨论求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∴上述组合中，只有有解， ∴有或或或或或， ∴有6组， 故答案为：6． 4. ，，，、分别为、中点，若为矩形，，，_____ 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于，连接，证明四边形是平行四边形，可得，结合矩形的性质可得，证明是的中位线，设，可得，，证明，可得，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作于，连接， ∵， 、分别为、中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，，、分别为、中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的中位线， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5. 等边三角形，点为的中点，、分别为、上的点，为等边三角形，延长交于点．探求、、的关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 过点F作，垂足分别为点K，N，根据等边三角形的性质可得，，再由角平分线的性质可得，可证明，可得，再证明，可得，，从而得到，然后由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点F作，垂足分别为点K，N， ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 曲线围成的图形面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查圆的面积计算及图形的图像，理解题意，作出相应图像是解题关键． 根据题意得出图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，作出图形，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，如图所示： ∴的面积为：，的面积为：， ∴第一象限的面积为：， 同理，在坐标系中围成的图形如下： ∴曲线围成的图形面积为， 故答案为：． 7. 圆上两点，，圆心在上，连接，为圆上一点，最大值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】先设圆心的坐标为，运用勾股定理算出，再结合圆的半径相等，列式，解得，即圆心的坐标为．求出半径，运用垂径定理得，因为为圆上一点，且求出最大值，故延长，与圆交于一点，即点P，再结合三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵圆心在上， 设圆心的坐标为， ∵圆上两点，， 则， ∵圆的半径相等， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴圆心的坐标为． 连接，过点W作， ∴， ∵， 则， ∴， ∵为圆上一点， ∴当最大值，即延长，与圆交于一点，即点P， ∴， 则． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，圆的基本性质，垂径定理，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8. 圆，圆，为上一点，、分别为圆、上的点，求最小值_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，坐标与图形等．根据题意可得圆的圆心为点，半径为1，圆的圆心为，半径为3，作圆关于的对称圆D，点B的对应点为点E，则圆D半径为1，圆心，当点P，D，三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵圆，圆， ∴圆的圆心为点，半径为1，圆的圆心为，半径为3， 如图，作圆关于的对称圆D，点B的对应点为点E，则圆D半径为1，圆心， ∴， ∴， 当点P，D，三点共线时，取得最小值，最小值为， ， 即的最小值为． 故答案为： 9. 函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意可得，再由函数图象关于中心对称，可得，再求出，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ……， ， ∴， ∴， ∵三次函数关于中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 10. 二次函数（，）过，，，；以下结论正确的是_____：（1）；（2）；（3）当时，若在二次函数图像上，则；（4）若有两个相等的实数根，则． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，将代入，即可判断答案； 对于②，先判断，然后根据一元二次方程的根与系数关系，得到，进一步推得，即抛物线的对称轴在直线的右侧，所以抛物线的顶点在的右上方，即，根据不等式的性质，即可判断答案； 对于③，先判断抛物线的对称轴在直线的右侧，再根据二次函数的轴对称性，即可判断答案； 对于④，根据一元二次方程根的判别式，可得，然后将代入，可得，根据一元二次方程的根与系数关系，即得，最后根据不等式的性质，即可判断答案． 【详解】①把代入得：， 故①正确； ②图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧， 中， 抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， ， ， ，， ， ， 方程的两根之积大于0，即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在的右上方， ， ， ， 故②正确； ③， 当时，， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ； 故③错误； ④方程可变为， 方程有两个相等的实数解， ， ， ， ， ， ， ，在抛物线上， m，n为方程的两根， ， ， ， ， ，  故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的判别式，一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，并结合不等式的性质是解题的关键． 11. 直线始终平分的周长，求的最小值． 【答案】的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和圆的解析式，以及配方法，首先利用配方法整理圆的一般式，得到圆心坐标为，然后，根据题意可知直线过圆心，代入直线得到，最后，代入需要求解的式子中整理配方得到，即可得出当时取得最小值为． 【详解】解：由题意圆一般方程为， 配方得到：， ，圆心坐标为， 直线，平分圆的周长， 直线过圆心，代入可得： ，即． 将，代入可得： 对根号内二次式配方得： ， 当时，取得最小值为． 【点睛】求解本题的关键是利用配方法整理圆的方程得到圆心坐标，以及利用配方法求二次多项式最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届学堂班选拔考试 1. 的个位数为_____． 2. _____． 3. 满足的整数解有_____组． 4. ，，，、分别为、中点，若为矩形，，，_____ 5. 等边三角形，点为的中点，、分别为、上的点，为等边三角形，延长交于点．探求、、的关系． 6. 曲线围成的图形面积为_____． 7. 圆上两点，，圆心在上，连接，为圆上一点，最大值为_____ 8. 圆，圆，为上一点，、分别为圆、上的点，求最小值_____ 9. 函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则______． 10. 二次函数（，）过，，，；以下结论正确的是_____：（1）；（2）；（3）当时，若在二次函数图像上，则；（4）若有两个相等的实数根，则． 11. 直线始终平分的周长，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $