精品解析： 吉林省吉林市第九中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

绝密★启用前 2024-2025学年吉林省吉林九中七年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 了解某校八年级一班学生的视力情况 C. 调查某批次灯泡的使用寿命 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 5. 不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，于点N，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是_____． 8. 若是的算术平方根，是的立方根，则______． 9. 关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_________． 10. 如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ____________ ． 11. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算：． 13. 解方程组 ． 14. 解不等式组：，并求其整数解． 15. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标 ； （2）点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 17. 如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2， （1）求证：AF∥BC （2）若AC平分∠BAF，∠B=36°，求∠1的度数 18. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？ 19. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 20. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　 　人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m=　，n=　　　，表示区域C的圆心角为　　度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有 ． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 22. 【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024-2025学年吉林省吉林九中七年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 已知，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 了解某校八年级一班学生的视力情况 C. 调查某批次灯泡的使用寿命 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、了解一捆百元钞票中有没有假钞，适宜采用全面调查，不符合题意； B、了解某校八年级一班学生的视力情况，适宜采用全面调查，不符合题意； 新冠疫情期间检测地铁乘客的体温，适宜采用全面调查，不符合题意； C、调查某批次灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，符合题意； D、调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解析】 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． 【详解】A.∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B.8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C.5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D.6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可． 5. 不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出不等式，然后根据解集的范围在数轴上画出来，可以直接选出答案. 【详解】移项得，2x＜5﹣3， 合并同类项得，2x＜2， 系数化为1得．x＜1． 在数轴上表示为： 故选A． 【点睛】本题考查了学生不等式解集在数轴上的表示，掌握解集在数轴上的区间的表示是解决此题的关键. 6. 如图，已知，于点N，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，平行线的性质；由直角三角形的两锐角互余得，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则， ∴． 故答案为：． 8. 若是的算术平方根，是的立方根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】把两个方程相加即可求出，从而可得，然后求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 10. 如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ____________ ． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 11. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 根据二次根式的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 13. 解方程组 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：用加减消元法解答即可． 试题解析：解：， ①×3﹣②×2得：﹣y=﹣1，即y=1， 把y=1代入①得：x=﹣1，则方程组的解为． 14. 解不等式组：，并求其整数解． 【答案】，不等式组的整数解为 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为． 15. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标 ； （2）点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】（1） 平移后的如图所示： 点B′的坐标是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【小问1详解】 ∵点A′的坐标是，点A的坐标是， ∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点B的坐标是，点C的坐标是， ∴点B′的坐标是，点C′的坐标是， ∴平移后的如图所示： 故答案为： 【小问2详解】 由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点的坐标为， ∴点P的坐标为； 故答案为： 17. 如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2， （1）求证：AF∥BC （2）若AC平分∠BAF，∠B=36°，求∠1的度数 【答案】 （1）证明：∵DE∥AC， ∴∠1=∠C， ∵∠1=∠2， ∴∠C=∠2， ∴AF∥BC． （2）72° 【解析】 【分析】（1）只要证明∠C=∠2即可解决问题． （2）根据平行线的性质可求出∠BAF的度数，根据角平分线的定义求出∠2的度数，即可得答案． 【详解】解：（1）略． （2）∵AF∥BC，∠B=36°， ∴∠BAF=180°-36°=144°， ∵CA平分∠BAF， ∴∠BAC=∠2=72°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1=72°． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 18. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？ 【答案】人有39人，车有15辆 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设共有x人，y辆车，列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 依题意，得 解得． 答：人有39人，车有15辆． 19. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解 ，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 略 20. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　 　人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m=　，n=　　　，表示区域C的圆心角为　　度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有 ． 【答案】（1）100人， 条形统计图为： （2）30，10，144°； （3）200人 【解析】 【详解】解：（1）样本容量：20÷20%=100人； 喜欢跳绳的有：100﹣30﹣20﹣10=40人， （2）， ； 区域C的圆心角为：． （3）∵全校共有2000人，喜欢篮球的占10%， ∴喜欢篮球的有2000×10%=200人． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 （2）共有种建造方案：新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个，根据该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； 【小问2详解】 设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种建造方案： 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩． 22. 【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】特殊探究：； 推理论证：； 拓展探究：； 拓展探究：，理由如下： 平分，平分， ，， ，， ， ， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】特殊探究：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 推理论证：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 拓展探究：由角平分线定义得，，，，则，再由【推理论证】可知，，然后由三角形的外角性质得，即可解决问题； 拓展探究：由角平分线定义得，，再由三角形的外角性质得，进而得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：特殊探究：，， ， 平分，平分， ，， 又， ， 故答案为：； 推理论证：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，； 拓展探究：如图，设与交于点， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ， 由推理论证可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展探究：略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $