精品解析：山东省济南市历下区私立济南齐鲁学校2023-2024学年下学期九年级一模前模拟（一） 数学试题

齐鲁学校九年级数学一模前模拟 一．选择题（共10小题） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．年月日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至年月日，华为系列手机共售出约万台，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F，连接、，若，，，则线段的长是（ 　） A. B. C. 3 D. 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则s的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 二．填空题（共6小题） 11. 分解因式：___________． 12. 若代数式和的值相等，则x＝________． 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB＝6，则DE＝_____． 14. 东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为，现连接四条线段得到图的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为___________． 15. 如图，已知扇形，点D在上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，作交于点E，若，则图中阴影部分的面积是______． 16. 清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，十九世纪最流行的谜题之一就是七巧板.将边长为的正方形制作一副如图1所示的七巧板，并将这幅七巧板在正方形内拼成如图2所示的“加油兔”造型，则正方形的面积为__________． 三．解答题（共10小题） 17. 计算： . 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解. 19. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE. 20. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 21. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为， （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，） 22. 如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 23. 年世界环境日的主题是“减塑捡塑”，某城市为营造干净整洁的生活环境，加大垃圾分类的投入力度，准备购买两种型号的垃圾桶．市场调查反映：型垃圾桶每组的单价比型垃圾桶每组的单价多元，用元购买型垃圾桶的组数与用元购买型垃圾桶的组数相同． （1）求两种型号垃圾桶每组的单价； （2）该城市计划购买两种型号垃圾桶共组，且型垃圾桶的组数不少于型垃圾桶组数的，求购买这组垃圾桶所需的最大费用． 24. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，已知正方形与正方形有公共顶点A，点E在正方形的对角线上（）． （1）如图2，正方形绕A点顺时针方向旋转（），和的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图3，正方形绕A点逆时针方向旋转（），求的值以及直线和直线所夹锐角的度数； （3）如图4，，点N在对角线上，，将正方形绕A顺时针方向旋转（），点M是边的中点，过点M作交于点H；在旋转过程中，线段的长度是否变化？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 26. 已知抛物线过，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； （3）如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐鲁学校九年级数学一模前模拟 一．选择题（共10小题） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解，即可解题． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键． 根据从上面看到的图形，即可判定． 【详解】解：从上往下看，有一条靠近右边的看不到的轮廓线，用虚线表示，此商场的休息椅的俯视图为C， 故选：C． 3. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．年月日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至年月日，华为系列手机共售出约万台，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可得，再由，可求，最后利用三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 5. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得，，且，再根据实数的加法法则，减法法则和乘法法则，依次判断即可． 【详解】解：由数轴得，，且， ∴，，，故B正确，A、C、D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则和乘法法则． 7. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：将4张卡片分别记为，，，， 则属于化学变化的有和． 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，，共2种， 这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 故选：A． 8. 一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 9. 如图，中，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F，连接、，若，，，则线段的长是（ 　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作，交延长线于点G，由垂直平分线的性质，平行四边形的性质，先证明，然后利用解直角三角形求出，，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点B作，交延长线于点G，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则s的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当 时，解集为 ， 说明二次函数开口向下（），且对称轴为， ， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即，整理得． ∴当时，有， 解得， 当时，有， 解得， 综上：或． 故选：A 二．填空题（共6小题） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式即可得到结果． 【详解】原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法． 12. 若代数式和的值相等，则x＝________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意列出方程=，求出方程的解即可得到x的值．由于列出的方程是分式方程，所以求出x的值后要检验． 【详解】解：根据题意得： =， 去分母得：2x+1=3x-6， 解得：x=7， 经检验x=7是分式方程的解， 故答案为7 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验． 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB＝6，则DE＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵AB＝AC，AB=6， ∴AC=6． 在△ABC中，CD是高线， ∴∠ADC=90°， 又∵E是AC的中点， ∴DE=AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了三角形的高． 14. 东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为，现连接四条线段得到图的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积，再用阴影的面积除以大正方形的面积即可． 【详解】解：如图， 设直角三角形的长直角边与短直角边分别为和， 则是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率和勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 15. 如图，已知扇形，点D在上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，作交于点E，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质可将图中阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】连接，如图， ∵将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O， ∴， ∴拱形的面积等于拱形的面积， ∴图中阴影部分的面积为的面积． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴图中阴影部分的面积为的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．解题的关键是转化思想的应用． 16. 清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，十九世纪最流行的谜题之一就是七巧板.将边长为的正方形制作一副如图1所示的七巧板，并将这幅七巧板在正方形内拼成如图2所示的“加油兔”造型，则正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在图2中连接，过点作，根据三角板中各个图像的性质求出1号和3号等腰直角三角形的直角边长，4号正方形的边长与7号直角三角形的斜边长，在中利用勾股定理求出的长，已知对角线的长求出边长再求面积即可． 【详解】解：在图2中连接，过点作， 是边长为的正方形， ， 设1号等腰直角三角形的边长为， 由勾股定理得：， 解得：， 根据七巧板的特征可知，3号等腰直角三角形的斜边为， 设3号等腰直角三角形的直角边为， 由勾股定理得：， 解得：， 根据七巧板的特征可知，7号等腰直角三角形的直角边为， 设7号等腰直角三角形的斜边为， 由勾股定理得：， 解得：， 由图1可知4号正方形的边长等于3号等腰直角三角形的直角边， 设正方形的边长为， 则， 由图2可知，在中， ， ， 根据勾股定理：， 或（舍去）， 设正方形的边长为， 由勾股定理得： ， 解得：， 正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了直角三角形的勾股定理以及借助于七巧板各图形边长的关系巧妙的把线段长求解出来，从而利用直角三角形求解． 三．解答题（共10小题） 17. 计算： . 【答案】 【解析】 【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 . 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解. 【答案】，正整数解为：， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求得正整数解即可求解．． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集是 ∴正整数解为：， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 19. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE. 【答案】 证明：如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∵BF=DE， ∴BF-OB =DE-OD， 即OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； ∴AF＝CE． 【解析】 【分析】连接AC交BD于点O，连接AE，CF，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 20. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）八年级， 理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好； （3）估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级组有：（人）， 组有：（人）， 把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为：，86，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 21. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为， （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】在Rt中，，即可得出； 由（1）得，则)，在中，，解得，根据运动员的身高为可得出答案． 【小问1详解】 在中，， 解得， ∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为． 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴运动员的身高为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 22. 如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键． （1）连接，利用切线性质可得，结合，可得，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论； （2）由是的直径，可得，，利用等腰三角形性质可得，推出，再根据直角三角形性质得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为4，是的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23. 年世界环境日的主题是“减塑捡塑”，某城市为营造干净整洁的生活环境，加大垃圾分类的投入力度，准备购买两种型号的垃圾桶．市场调查反映：型垃圾桶每组的单价比型垃圾桶每组的单价多元，用元购买型垃圾桶的组数与用元购买型垃圾桶的组数相同． （1）求两种型号垃圾桶每组的单价； （2）该城市计划购买两种型号垃圾桶共组，且型垃圾桶的组数不少于型垃圾桶组数的，求购买这组垃圾桶所需的最大费用． 【答案】（1）型垃圾桶每组的单价是600元，型垃圾桶每组的单价是450元 （2）购买这200组垃圾桶所需的最大费用为102000元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解题意，列方程求解即可，掌握分式方程的运用是解题的关键． （1）设型垃圾桶每组的单价为元，则型垃圾桶每组的单价为元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）设购买型垃圾桶a组，购买这两种垃圾桶所需的费用为y元，根据数量关系列函数关系，再根据一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设型垃圾桶每组的单价为元，则型垃圾桶每组的单价为元， 依题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解， ， 型垃圾桶每组的单价是600元，型垃圾桶每组的单价是450元． 【小问2详解】 解：设购买型垃圾桶a组，购买这两种垃圾桶所需的费用为y元， 依题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 型垃圾桶的数量不少于型垃圾桶的， ， 解得， 当时，费用最大， 此时，， 购买这200组垃圾桶所需的最大费用为102000元． 24. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）过C作轴，垂足为D，证明，得到，，即可得到结果； （2）根据平移得到，，根据函数图像上的点得到，求出m值，再将代入表达式可得； （3）求出的坐标，求出的表达式，得到与y轴交点坐标，再根据面积关系，作交y轴于点P，求出直线的表达式，得到点P坐标，再由平行线之间的距离的性质得到另一个点P坐标． 【小问1详解】 解：如图，过C作轴，垂足为D， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，代入中， 得； 【小问2详解】 由平移可得：，， ∵，都在反比例函数上， ∴， 解得：， 即，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由是：由平移可得， 设中点为D，则，即， 设的表达式为， 则，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴直线与y轴交点为； ∵的面积是面积的一半， ∴作交y轴于点P， 设的表达式为，将D代入， 得，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴， ∴点关于直线的对称直线与y轴交点为， 即， 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，图像的平移，一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，（3）问较为综合，解题的关键是将面积与中点联系起来，结合平行线之间的距离求解． 25. 如图1，已知正方形与正方形有公共顶点A，点E在正方形的对角线上（）． （1）如图2，正方形绕A点顺时针方向旋转（），和的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图3，正方形绕A点逆时针方向旋转（），求的值以及直线和直线所夹锐角的度数； （3）如图4，，点N在对角线上，，将正方形绕A顺时针方向旋转（），点M是边的中点，过点M作交于点H；在旋转过程中，线段的长度是否变化？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）不变， 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）如图所示，过点P作交于点P，证明，进而得出，，根据平行线的性质得出，进而即可得出结论； （2）连接，证明，得出，，延长、交于点O，根据三角形的内角和定理，即可得出； （3）过点M作，得出，即可证明，设，则，连接，过点M作交于点O，证明，得出，进而得出，则M，C，H，O四点共圆，即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点P作交于点P，如图： ， ∵正方形与正方形， ∴，，， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴和的数量关系是相等，位置关系是垂直； 【小问2详解】 解：连接，如图： ， 由旋转性质知， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 延长、交于点O， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，点是边的中点，点N在对角线上，， ∴，， 过点M作，连接，过点M作交于点O， ， 在中，， ∴， 即点N，重合， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M、C、H、O四点共圆， ∴线段是一个定值，． 26. 已知抛物线过，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； （3）如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 【答案】（1）；对称轴为： （2）点P的坐标为： （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用． （1）用待定系数法即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，则，，进而求解； （3）联立和并解得：，得到点E的坐标，进而求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：①， 其对称轴为：x； 【小问2详解】 解：将沿直线翻折，得到，则，， ， 由抛物线的对称轴为：知，， 则，则， ∴，则点， 设点P的坐标为，点， 由得：， 解得：， 即点P的坐标为：； 【小问3详解】 解：由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 由B、C的坐标知，和x轴负半轴的夹角为， ∵，则直线和x轴的夹角为，设点M的坐标为：， 则设直线的表达式为：， 联立和并解得：， 则， 则， 则， 故有最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $