精品解析：陕西省 咸阳市秦都区2025-2026学年上学期 九年级数学开学考试试题

2025-2026学年度第一学期咸阳市秦都区九年级数学开学考试试题 一．选择题（共8小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 9. 因式分解：=_______. 10. 正六边形的一个外角等于__________度． 11. 已知点和点关于原点对称，则___________． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 13. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 三．解答题（共10小题） 14. 分解因式 15. 解下列方程：； 16. 解不等式组． 17. 先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 18. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 19. 某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 20. 如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 21. “超过一米长度的巨型辣条、直径接近二十厘米的巨型果冻，以及引人注目的超大份薯片……”在湖南省长沙市的解放西路，一家零食门店成为当地的热门地标．已知购买7个巨型辣条和8个超大份薯片共需380元，也可以用380元购买13个巨型辣条和4个超大份薯片． （1）求巨型辣条和超大份薯片的单价； （2）为了奖励学生，胡老师一次性购买巨型辣条和超大份薯片共20个，且学生对巨型辣条的喜爱，要求购买巨型辣条的数量多于12个，且不超过超大份薯片的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 22. 如图所示，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期咸阳市秦都区九年级数学开学考试试题 一．选择题（共8小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 3. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，即或，解得结果即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴或， 即：； 故选：A． 5. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可． 【详解】解：A、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， 解得∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； B、∵a：b：c=5：12：13， 设a=5x，b=12x，c=13x， ∴a2+b2=169x2=c2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意； D、∵a2=（b+c）（b-c）， ∴a2=b2-c2， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 6. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识． 由平行四边形的性质得，由勾股定理求出，得出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与交于点F， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8. 如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质．根据矩形的性质求出，得出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去） 故选A． 二．填空题（共5小题） 9. 因式分解：=_______. 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为 10. 正六边形的一个外角等于__________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据正六边形的外角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的外角和为， 正六边形的一个外角等于． 故答案为：60． 11. 已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 则． 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件确定出的值即可． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分母不为零且分子为零，掌握分式为零的条件是解决问题的关键． 13. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，过A作于M，在上截取，连接，由菱形的性质推出，，判定，推出，得到，判定是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是． 【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴F、G、K共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 14. 分解因式 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可，熟练掌握提公因式及公式法是解题关键． 【详解】解： ． 15. 解下列方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：． 17. 先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时， 原式． 18. 如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． （1）请在图中画出； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） 画出如图所示； （2）11 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的坐标变化规律、图形的平移以及利用割补法求三角形面积，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）由点与点关于原点对称，得，然后得平移规律是：向右平移个单位，向下平移个单位， 按照此平移规律求、，依次连接这三点，即可． （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 平移方式为将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 点的坐标为， ． 19. 某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 【答案】工作日场的观影人数是人 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“周末场人均票价比工作日场人均票价少元”列方程求解即可． 【详解】解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（不符题意，舍）， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：工作日场的观影人数是人． 20. 如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）80 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由矩形的性质得，然后在中，由勾股定理得，求出，然后根据菱形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴． 21. “超过一米长度的巨型辣条、直径接近二十厘米的巨型果冻，以及引人注目的超大份薯片……”在湖南省长沙市的解放西路，一家零食门店成为当地的热门地标．已知购买7个巨型辣条和8个超大份薯片共需380元，也可以用380元购买13个巨型辣条和4个超大份薯片． （1）求巨型辣条和超大份薯片的单价； （2）为了奖励学生，胡老师一次性购买巨型辣条和超大份薯片共20个，且学生对巨型辣条的喜爱，要求购买巨型辣条的数量多于12个，且不超过超大份薯片的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）巨型辣条的单价为元，超大份薯片的单价为元 （2）购买巨型辣条15个，则购买超大份薯片5个时费用最少，最少费用为450元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用和一 次函数的应用等知识，正确理解题意，熟练找出题目的数量关系是解答本题的关键． （1）设巨型辣条的单价为x元，超大份薯片的单价为y元，根据“7个巨型辣条和8个超大份薯片共需380元”和“380元可以购买13个巨型辣条和4个超大份薯片”，列方程组求解即可； （2）设购买巨型辣条m个，则购买超大份薯片个，根据题意列出不等式组，求出，设总费用为W，得出W与之间的一次函数关系式，由一次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：设巨型辣条的单价为x元，超大份薯片的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：巨型辣条的单价为元，超大份薯片的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买巨型辣条m个，则购买超大份薯片个，根据题意得： ， 解得， 设总费用为W元，， 因为，所以W随m的增大而减小。 当时，W取小值，此时， 最少费用为元． 所以，购买巨型辣条15个，则购买超大份薯片5个时费用最少，最少费用为450元． 22. 如图所示，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：连接，交于点O，如图． ∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角线互相平分）． ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，由平行四边形的对角线互相平分可得，结合还可推出，由以上分析可知四边形的两组对角线互相平分，再结合平行四边形的判定定理证得结论． 【详解】略 23. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 【答案】 （1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC ∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∴△ABC和△ACD为等边三角形 ∴∠ACF=60°，AC=AB ∴∠ABE=∠AFC ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．面积为，周长最小值为4+2． 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质以及∠BAD=120°得出∠BAE=∠FAC以及△ABC和△ACD为正三角形，从而得出△ABE和△ACF全等，从而得出答案； （2）根据三角形全等得出△ABE的面积=△ACF的面积，从而得出四边形AECF的面积=△ABC的面积，从而求出△ABC的面积得出四边形的面积，根据垂线段最短得出当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，从而求出最小值． 【详解】（1）略． （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则．∴，是定值 作AH⊥BC于H点，则BH=2， ． △CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小=4+， 【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $