精品解析： 四川省成都市锦江区师一学校2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（下） 月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是； 故选：A． 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的对称，掌握相关知识是解决问题的关键． 在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 则点关于y轴对称的点的坐标是． 故选∶ B ． 5. 在5月份跳绳训练中，菲菲同学一周成绩记录如下：（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答本题的关键．根据中位数、众数的概念求解即可． 【详解】解：∵从小到大排序为， ∴这组数据的众数和中位数分别是． 故选：D． 6. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 8. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．若点的坐标为，则下列结论正确的是　　 A. B. C. 点，在抛物线上，当时， D. 是关于的一元二次方程的一个根 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．根据二次函数的性质逐一检验即可． 【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故本选项不符合题意； B．抛物线开口向上，对称轴为直线，点的坐标为， 当时，，故本选项不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随着的增大而增大， 点，在抛物线上，当时，，故本选项符合题意； D．抛物线与轴交于点，，对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为， 是关于的一元二次方程的一个根，故本选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法等，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：, ， ， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， 故答案为： 11. 如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理．由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的长． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝________________cm． 【答案】 【解析】 【分析】由ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，可得AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，由翻折的性质可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′与Rt△A′EG中，利用勾股定理可求得答案． 【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点， ∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm， ∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处， ∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm， 在Rt△DFA′中，， ∴， 在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键． 14. 已知非零实数a、b满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握约分是关键．先根据分式的混合计算法则化简所求式子，再根据已知条件式得到，据此代值计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式， 故答案为：． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，，且， 则， 所以； 故答案为： 16. 若正整数n使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和是“本位数”，而5和不是“本位数”．现从所有大于0且小于的“本位数”中，按从小到大排列，第四个“本位数”是______；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据定义确定出所有的本位数是解题的关键．先确定出所有大于0且小于的“本位数”，再根据概率公式计算即可得解． 【详解】解：所有大于0且小于的“本位数”有：1、2、、、、、、、、、， 共有个，7个偶数，4个奇数， 所以按从小到大排列，第四个“本位数”是；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为． 故答案为：，． 17. 如图，平行四边形中，，点P为中点，将沿翻折得到，延长分别交于点F，G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点N，延长交于点M，连接，过F作于H，先根据平行线分线段成比例得出，然后根据翻折的性质推出，从而得到，再根据相似，求出的比例以及的比例，设，根据平行线分线段成比例求出y和x的关系，在中，利用勾股定理求解x的值，从而得到的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质以及翻折的性质，求出的比例关系是本题解题的关键． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M，连接，过F作于H，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点P是中点， ∴， 由翻折的性质可得：， ∵，P是中点，， ∴， ∴， ， 又∵， 在内，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 18. 在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；善于用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．比如，一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小明同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为______；幼苗叶子的最大宽度为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】依据题意，先求出的坐标，然后求出直线的解析式，进而求出，同理可求出直线的解析式，则，求出抛物线解析式进而求出，作交延长线于点，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式，作轴交抛物线和直线分别于点，，作交曲线于，则，即可得到，证明求出，，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，如图2，二次函数为过原点， ． ． 二次函数为， ， 直线与轴成，设直线的解析式为，把点代入得，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 同理可求出直线的解析式为， ． 把代入， ，解得． 抛物线解析式为， 联立， ，， 幼苗是越长越张开， 不合题意，舍去， ． 作交延长线于点， ． 设直线的解析式为， 把点和代入得， ， 直线的解析式为， 作轴交抛物线和直线分别于点，，作交曲线于， ， ． ， ， ， ． ， ，． 叶片此时的长度为，最大宽度为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1） ， ， ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，无理数的估算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） m 94 n 16 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：； （2）请计算扇形统计图中C组对应的圆心角的度数是______； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）50，40 （2）72 （3）估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，频数（率）分布表，用样本估计总体及扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先有B人数及其所占百分比求出被调查总人数，再用总人数乘以A的百分比求出m的值，再根据各组人数之和等于总人数求出n的值； （2）用乘以C组人数所占比例可求得其对应圆心角度数； （3）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的学生人数为（人）， ∴， ∴； 故答案为：50，40； 【小问2详解】 扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是； 故答案为：72； 【小问3详解】 （3）（名）， 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名． 21. 综合与实践：小涛同学在学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下学科融合学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到.的中点..处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线． 【测量数据】如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，求，之间的距离（结果精确到． （参考数据：，，． 【答案】B，D之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．根据题意，，由，可得的等腰直角三角形，故，利用三角函数可求长度，即可求得长． 【详解】解：根据题意，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ，之间的距离约为． 22. 如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，，且． （1）证明：为切线； （2）作弦平行于，交于点，若为中点，直径，求和的长． 【答案】（1）详见解析 （2）的长为，的长为 【解析】 【分析】（1）连接，则可证，则为的直径，得，因为，所以，推导出，即可证明为的切线； （2）设交于点，由， 为中点，直径，得，，可求，则，，可证明，求得，再证明，则可求，， 可得，可证明，则，则可求题目所求线段． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， 为的直径， ， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． 【小问2详解】 解：设交于点， ，交于点，为中点，直径， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 于点， ， ， ， ，，， ， ， 的长为，的长为． 【点睛】此题重点考查、等腰三角形的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 已知，如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数图象交于B，C两点． （1）求a，b，k的值； （2）若为轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）为直线上一点，为平面内一点，且，与反比例函数的图象交于点，当点为中点时，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）E 或 （3）M 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，反比例函数图象上点坐标特点，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点坐标代入直线解析式求出，将点坐标代入直线解析式求出，将点坐标代入反比例函数解析式求出； （2）根据另一个腰不同分类讨论，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）根据得出，设，根据表示出点坐标，因为为中点，进而表示出点坐标，因为在反比例函数图象上，代入反比例函数解析式求得m的值，则点坐标可求． 【小问1详解】 解：将点坐标代入直线解析式得：， ， 将点坐标代入直线解析式得：， ， 将点坐标代入反比例函数解析式得：， ， ，，； 【小问2详解】 联立直线和反比例函数解析式：， 解得：或， ， 设， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 或； 【小问3详解】 令，则， ， ， ，， 过作轴于，过作于，如图： 设， ， ， ， ，或，即或， 是中点， ，或， 在反比例函数上， 或， 解得：， ． 24. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． （1）根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） （2）请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （3）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 【答案】（1） （2）燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 （3）当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，求出m，再将m的值代入和中，即可求出这两款车的每千米行驶费用； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【小问1详解】 解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元； 【小问2详解】 解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， （元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意，得：， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 25. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； （2）过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得抛物线对称轴为直线，再由，可得点A、B的坐标，即可求解；②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点、N，求出直线的表达式，设点，则点，过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N，求出直线的表达式，可得点，同理点，然后根据，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）设点，点，则，再求出直线的表达式，可得点，同理可得点，然后根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线的顶点为， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点A、B的坐标分别为， ∴抛物线的解析式为， 将点D的坐标代入上式得， 解得：， 则抛物线的表达式为； ②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N， ∴可设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， 同理点， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 即点； 【小问2详解】 解：由题意得：， 令，则 ∴, ∵ ∴直线解析式为, ∵直线经过点O，且与直线平行， ∴直线解析式为， 设点，点， ∴m、n是方程 则， 同理（1）直线的表达式为：， ∴点， 同理可得，点， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 26. 如图1，将两个全等的直角三角形按如图方式摆放．已知，，将绕点旋转，与边交于点，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，已知， ①当时，求长； ②如图3，已知是的中点，求△面积的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查相似形综合题，熟练运用相似三角形的判定与性质、点的轨迹是本题解题的关键． （1）根据已知条件可证，即可证明； （2）①根据（1）可以求出，从而证明，可以求出，，，过作垂线，根据勾股定理求解的长即可； ②把看作定线段，则相当于绕点运动，因为为定值，所以点轨迹为圆，求出到直线距离的最大最小值，即可求出面积的取值范围． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 ①， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ，， ，， 过作于，如图： ， ，， ， ； ②连接， ， 把，看作定点， 在以为圆心，为半径的圆上，如图： 到的最大距离为：，最小距离为：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（下） 月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 在5月份跳绳训练中，菲菲同学一周成绩记录如下：（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. B. C. D. 6. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．若点的坐标为，则下列结论正确的是　　 A. B. C. 点，在抛物线上，当时， D. 是关于的一元二次方程的一个根 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式____________ ． 10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 _________． 11. 如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为______． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝________________cm． 14. 已知非零实数a、b满足，则__________． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 16. 若正整数n使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和是“本位数”，而5和不是“本位数”．现从所有大于0且小于的“本位数”中，按从小到大排列，第四个“本位数”是______；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为______． 17. 如图，平行四边形中，，点P为中点，将沿翻折得到，延长分别交于点F，G，若，则的长为______． 18. 在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；善于用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．比如，一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小明同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为______；幼苗叶子的最大宽度为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） m 94 n 16 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：； （2）请计算扇形统计图中C组对应的圆心角的度数是______； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数． 21. 综合与实践：小涛同学在学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下学科融合学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到.的中点..处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线． 【测量数据】如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，求，之间的距离（结果精确到． （参考数据：，，． 22. 如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，，且． （1）证明：为切线； （2）作弦平行于，交于点，若为中点，直径，求和的长． 23. 已知，如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数图象交于B，C两点． （1）求a，b，k的值； （2）若为轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）为直线上一点，为平面内一点，且，与反比例函数的图象交于点，当点为中点时，求点的坐标． 24. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． （1）根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） （2）请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （3）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 25. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； （2）过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 26. 如图1，将两个全等的直角三角形按如图方式摆放．已知，，将绕点旋转，与边交于点，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，已知， ①当时，求长； ②如图3，已知是的中点，求△面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $