第二章 《实数》单元测试—2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章《实数》—2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册单元随堂培优测试 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的值等于(　　). A． B． C． D． 3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是(　　). A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 4．下列说法正确的有（　　）个． ①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知实数a满足条件 ，那么 的值为 　　 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 7．若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（　　） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．观察下列二次根式的化简 S1= S2= S3=，则=（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9．分母有理化： ＝　 　． 10．当 ，化简 的结果是　 　. 11．化简二次根式 的结果是　 　. 12．如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为　 　． 13．求值：　 　． 三、解答题(本题共7小题，共61分) 14．（1）计算：； （2）计算：． 15．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ； ； ； （2）化简：； （3）已知，，求的值. 16． （1）设实数x，y 满足 求x+y的值. （2）已知实数x，y 满足 求 的值. 17．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中 （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S. （2）你能否由公式①推导出公式②?请试试. 18．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为． （1）点在数轴上表示的数是 　 　，点在数轴上表示的数是 　 　； （2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ （3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由． 19．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值和最小值． 20．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题. （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： 　 　； （n为正整数）＝　 　； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ， ， 再根据平方根的定义可得 ， ， 直接写出以下算式的结果： 　 　， 　 　， 　 　： （3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】 10．【答案】1 11．【答案】- 12．【答案】4 13．【答案】​​​​​​​ 14．【答案】解：（1）原式 ； （2）原式 15．【答案】解：（1） （2）原式= （3）， ∴ 16．【答案】（1）解：∵，， ∴①， ∵，， ∴②， ∴①+②得：， 整理得：， ∴ （2）解：∵，， ∴①， ∵，， ∴②， ①＋②得：， 整理得：， ∴， ∴原式 17．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴由公式①得， 由公式②得 （2）解： ， ∴ 18．【答案】（1）； （2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为， 线段上有一点，且，则表示的数为． M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 即：，， ∵原点恰为线段的三等分点， ∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号， ①当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意． ②当时，则有， 解得， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意； 综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点． （3）解：或 19．【答案】（1）解：， ， 而，， ， ； （2）解：由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 20．【答案】（1）； （n为正整数） （2）；； （3）解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$