精品解析：河南省漯河实验中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年河南省漯河实验中学八年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组是勾股数的是（　　） A. B. C. ，，c＝ D. 3. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的大小与P点位置有关 4. 如图，在中，对角线交于点O，周长为18，过点O作交于点E，连接，则的周长为（　　） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ） A. 29 B. C. 14 D. 12 7. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A. 6 B. 12 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知的三边长分别为10，24，26，则的面积为_______． 12. 若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________． 13. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 14. 在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点若，则的长是______． 15. 如图，平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接，则的最小值为 ________________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 在中，其中两边长为，，且，满足，求的斜边长． 18. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图，画一个，使，，． （2）请直接写出的面积． 19. 如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线，哪条更短？ 20. 如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长和平行四边形的面积． 21. 定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． （1）求证：为近直角三角形． （2）求的长． 22. 如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． （1）求线段的长（用含的代数式表示．） （2）当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 23. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 发现问题： （1）如图，当点在边上时，请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______． 尝试探究： （2）如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）当点在射线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省漯河实验中学八年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 此题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组是勾股数的是（　　） A. B. C. ，，c＝ D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴能构成勾股数，符合题意； B、∵不是整数， ∴不能构成勾股数，不符合题意； C、∵不是整数， ∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵， ∴不能构成勾股数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股数，熟知“满足的三个正整数为勾股数”是解题的关键． 3. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的大小与P点位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PF+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 4. 如图，在中，对角线交于点O，周长为18，过点O作交于点E，连接，则的周长为（　　） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的对角线相交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于． 此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵周长为18， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用及二次根式和分式的运算，根据题意可得，且，将利用完全平方公式变形为，再利用分式加法法则结合完全平方公式整理为，最后将已知整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ） A. 29 B. C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为， 根据题意得， 解得或（舍去）， ∴小正方形的周长为， 故选：D． 7. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴不能判定四边形是平行四边形； B．不能判定四边形是平行四边形； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； D．不能判定四边形是平行四边形； 故选C． 8. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ， ∴， ∴最短路程是：， 故选：A． 9. 如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建直角三角形． 由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，过作的垂线，然后根据直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过点O作，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知的三边长分别为10，24，26，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆运算，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可证明是直角三角形，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的三边长分别为10，24，26，且， ∴是直角三角形，且两直角边的长分别为10，24， ∴的面积为， 故答案为：． 12. 若 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式和绝对值的性质，整式的加减，正确化简二次根式和绝对值是解答本题的关键．先根据数轴得出，再根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点若，则的长是______． 【答案】6或3##3或6 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，灵活利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形，则，进而得，，再根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，，再分两种情况讨论如下：当点在线段上时，由折叠性质得，则，根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，进而得；当点在线段上时，则，由三角形外角性质得，进而得，，在中，根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ， ， 于点， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 将沿折叠得到，点是点的对称点，时， 有以下两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 由折叠性质得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ； 当点在线段上时，如图所示： 由折叠性质得：， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 综上所述：的长是或． 故答案为：或． 15. 如图，平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接，则的最小值为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键．将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，．再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接， 则，， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在中，其中两边长为，，且，满足，求的斜边长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握非负数的性质． 根据非负数的性质得到，，解方程即可得到、的值，再分边长为的边为斜边和直角边两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，； 当边长为的边为直角边，则斜边的长为； 当边长为的边为斜边时，斜边长即为； 综上所述，的斜边长为或． 18. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图，画一个，使，，． （2）请直接写出的面积． 【答案】（1）如图， （2）5 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 （1）利用网格结合勾股定理画图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴和均满足题意． 【小问2详解】 的面积为． 19. 如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线，哪条更短？ 【答案】（1） 解：，理由如下： 在中，米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）路线更短 ∵， ∴ 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴米，（米）， ∵， ∴路线更短． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理的逆定理解答； （2）根据勾股定理求出，比较大小得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长和平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，再由中点定义及即可确定，利用平行四边形的判定定理即可得证； （2）过点作，如图所示，利用平行四边形的性质，结合含的直角三角形性质求出线段长，再由勾股定理即可得到，再由平行四边形的面积公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 在平行四边形中，，，则， ，， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得， 由（1）知平行四边形中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、中点定义、含的直角三角形性质、勾股定理及平行四边形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 21. 定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． （1）求证：为近直角三角形． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， 为近直角三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，关键是掌握题目中“近直角三角形”的定义；判定，推出，；由勾股定理列出关于的方程 (1)由直角三角形的性质推出，即可证明为近直角三角形． (2)过作于，判定，推出，，由勾股定理求出，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于， ， 平分， ， ， ∴， ，， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 22. 如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． （1）求线段的长（用含的代数式表示．） （2）当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）t的值为 或1或4 【解析】 【分析】（1）点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，进行计算即可得； （2）若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，则，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当点P在线段上，且，则，进行计算即可得，当点P在线段上，且，过点P作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点P在线段的延长线上，且，过点E作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【小问1详解】 解：点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了， ∴当时，， 当时，， 综上，． 【小问2详解】 解：若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， 由（1）得，， 根据题意得，， ∴当时，， 当时，， 综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，或． 【小问3详解】 解：过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当点P在线段上，且， 则， ∴， ， 当点P在线段上，且，如图所示，过点P作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 当点P在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或1或4． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 23. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 发现问题： （1）如图，当点在边上时，请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______． 尝试探究： （2）如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）当点在射线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）， （2）成立，数量关系成立，关系为； 理由：同（1）可得， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ；； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系，即可得出结论； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到结论； （3）根据条件判定，得出，在中，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ， ，， ，即． ， 故答案为：，； （2）略 （3）①当点在线段上时， 在中，，， ， 由（1）知， ， ， 在中，由勾股定理得． ②当点在线段的延长线上时， 在中，，， ， 同（1）可得， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ． 综上，的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $