精品解析： 湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区华益中学七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某批次小米汽车的抗撞击能力 B. 调查长沙市华益中学七年级30班学生的身高情况 C. 调查2025年春节联欢晚会的收视率 D. 调查长沙市居民日平均用水量 3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误是（　　） A. ∠B＝∠D B. BC＝DC C. AB＝AD D. ∠3＝∠4 6. 不等式组解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A. B. C. D. 8. 以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图①，已知，用尺规作它的角平分线． 如图②，步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P； 第三步；画射线，射线即为所求． 下列叙述不正确的是（ ） A. B. 作图的原理是构造三角形全等 C. 由第二步可知， D. 的长 10. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①上任意一点到点C、点B的距离相等；②上任意一点到的距离相等；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 12. 在中，，，则______． 13. 长沙市某教育单位为了全面了解本市2025年初中毕业学业考试学生对数学卷的答题情况，从全市万名考生中随机抽查了10个考场(每个考场均有30名)学生进行分析，则这次调查中的样本容量是______． 14. 若点在轴上，将点向上平移个单位长度得点，则点的坐标是_________. 15. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为__________． 16. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算：． 四、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组：，并求出它的整数解． 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 20. 长沙市某学校七年级在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母做家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就寒假“平均每天帮助父母做家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的不完整的统计图(每组包含最小值，不包含最大值)： 根据上述信息，回答下列问题： （1）在本次随机抽取样本中，调查的学生总人数是 人；在扇形统计图中，“”所在扇形对应的圆心角的度数为 ． （2）补全上面的频数分布直方图(请在矩形上方标上频数，不随手画图) （3）如果该校共有学生人，请你估计“平均每天帮助父母做家务所用时长不少于”的学生有多少人． 21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是，，，将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到． （1）写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）求的面积． 22. 长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． （1）、B两种奖品每件各多少元？ （2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 23. 如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 24. 【长沙市华益中学以公仆仁毅为魂，培育胸怀天下的担当；让生命温暖而幸福，构建浸润心灵的港湾，在华益这里，每个梦想都被悉心呵护，每段青春都能璀璨生辉！】我们约定：如果是关于x，y的二元一次方程的一组解，我们不妨把这样的解写成点的坐标的形式，并把这样的点称为该方程的“解点”，若将“解点”作关于x轴对称，得到对称点，再将向左移2个单位，向上移4个单位，得到点，若此时点也是二元一次方程的一个“解点”，则把称为“温暖点”，称为“幸福点”，一般地，一个二元一次方程存在无数个“解点”． （1）判断正误(真命题的打√，假命题的打×) ①点是二元一次方程的一个“解点”( )； ②若点是二元一次方程的一个“解点”，则点M与点关于y轴对称．( )； ③点是二元一次方程的“温暖点”( )． （2）已知点既是方程的“解点”又是方程的“解点”，求关于x，y的二元一次方程的“幸福点”； （3）已知是二元一次方程的“温暖点”． ①请用含有字母a，b，c代数式表示； ②若，且，，，求a的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点满足：，过点P分别向x轴，y轴引垂线段，垂足分别为A，B两点，点C是线段上一点，点D是线段上一点，连接线段，． （1）当点D在线段的垂直平分线上且时，请判断的形状并说明理由； （2）如图2，过点C作的垂线交的延长线于点K且，连接，求的度数； （3）在第（2）问的前提下，连接； ①求证：； ②令，，，若a，b，t满足；问：是否存在实数m，使得代数式的值为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖南省长沙市雨花区华益中学七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】A.是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某批次小米汽车的抗撞击能力 B. 调查长沙市华益中学七年级30班学生的身高情况 C. 调查2025年春节联欢晚会的收视率 D. 调查长沙市居民日平均用水量 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 【详解】解：A.调查某批次小米汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，不符合题意； B.调查长沙市华益中学七年级30班学生的身高情况，适合普查，符合题意； C.调查2025年春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，不符合题意； D.调查长沙市居民日平均用水量，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断． 【详解】解：A.，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； B. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； D. ，故这三根木棒能构成三角形，符合题意； 故选：D． 4. 下面四个图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：选项，是轴对称图形，符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 选项，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键． 5. 如图，已知1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是（　　） A. ∠B＝∠D B. BC＝DC C. AB＝AD D. ∠3＝∠4 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（AAS），故本选项不符合题意； B、BC=DC，AC=AC，∠1=∠2不能推△ABC≌△ADC，故本选项符合题意； C、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项不符合题意； D、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（ASA），故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等． 6. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【详解】解：不等式组整理得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 7. 已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示字式，以及等式的基本性质．移项，再把x的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】方程， ， 所以：． 故选：B． 8. 以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二次一次方程组、点坐标所在的象限，熟练掌握点坐标所在的象限的特点是解题关键．先利用代入消元法求出方程组的解，再根据点坐标所在的象限的特点求解即可得． 【详解】解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 则以二元一次方程组的解为坐标的点的坐标为， ∵， ∴点在第三象限， 故选：C． 9. 如图①，已知，用尺规作它的角平分线． 如图②，步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P； 第三步；画射线，射线即为所求． 下列叙述不正确的是（ ） A. B. 作图的原理是构造三角形全等 C. 由第二步可知， D. 的长 【答案】D 【解析】 【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可 【详解】解：A、∵以a为半径画弧，∴，故正确 B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确 C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确 D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误 故选：D 【点睛】本题考查用尺规作图法画已知角角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键 10. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①上任意一点到点C、点B的距离相等；②上任意一点到的距离相等；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得上的点到两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后对各小题分析判断解答即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴垂直平分， ∴上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确； ∵是的角平分线， ∴上任意一点到的距离相等，故②正确； ∵，是的角平分线， ∴，故③正确； 又∵， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大． 首先确定与1的大小，进行比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：>． 12. 在中，，，则______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 故答案为：． 13. 长沙市某教育单位为了全面了解本市2025年初中毕业学业考试学生对数学卷的答题情况，从全市万名考生中随机抽查了10个考场(每个考场均有30名)学生进行分析，则这次调查中的样本容量是______． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据抽查的数量是样本容量可直接得到答案． 【详解】解：长沙市某教育单位为了全面了解本市2025年初中毕业学业考试学生对数学卷的答题情况，从全市万名考生中随机抽查了10个考场每个考场均有30名学生进行分析，则这次调查中的样本容量是， 故答案为：． 14. 若点在轴上，将点向上平移个单位长度得点，则点的坐标是_________. 【答案】（-3，4） 【解析】 【分析】根据点A在x轴上得出a的值，从而知道点A坐标，再利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律可得答案． 【详解】∵点A（a-1，a+2）在x轴上， ∴a+2=0， 解得a=-2， 则点A的坐标为（-3，0）， ∴将点A向上平移4个单位长度得点B，其坐标为（-3，4）， 故答案为（-3，4）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标平移后的变化规律 15. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ∴的周长， 即的周长为10， 故答案为：10． 16. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算． 先计算算术平方根、立方根、绝对值，然后计算加减． 【详解】解：  ． 四、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】它的整数解为x=3或4． 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解不等式①，得 x＞2， 解不等式②，得 x≤4， 故原不等式组的解集为2＜x≤4． 故它的整数解为x=3或4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据“”证明，得出，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴． 20. 长沙市某学校七年级在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母做家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就寒假“平均每天帮助父母做家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的不完整的统计图(每组包含最小值，不包含最大值)： 根据上述信息，回答下列问题： （1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生总人数是 人；在扇形统计图中，“”所在扇形对应的圆心角的度数为 ． （2）补全上面的频数分布直方图(请在矩形上方标上频数，不随手画图) （3）如果该校共有学生人，请你估计“平均每天帮助父母做家务所用时长不少于”的学生有多少人． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）从两个统计图中可知，“平均每天帮助父母干家务时间在”的学生有人，占调查人数的，可求出调查人数；用乘“”的频率可得“”所在扇形对应的圆心角的度数； （2）求出“平均每天帮助父母干家务时间在”的学生人数，即可补全频数分布直方图； （3）求出样本中“平均每天帮助父母干家务的时长不少于分钟”的学生所占的百分比，利用样本百分数估计总体百分数，即可求出相应的人数． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，每天做家务占， 由条形统计图可知，每天做家务的人数是， 调查的学生总人数是：人， “平均每天帮助父母干家务时间在”的学生人数为：人， 在扇形统计图中，“”所在扇形对应的圆心角的度数为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）得“平均每天帮助父母干家务时间在”的学生人数为人， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计“平均每天帮助父母做家务所用时长不少于”的学生有人． 21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是，，，将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到． （1）写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）求的面积． 【答案】（1）、、；（2）见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据平移规律写出坐标即可； （2）根据坐标画出图形即可； （3）利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）根据平移方式可得：，，； （2）如图所示，即为所作图形： （3） ∴的面积为2． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移和轴对称的基本知识． 22. 长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． （1）、B两种奖品每件各多少元？ （2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 【答案】（1）每件A种奖品4元，每件B种奖品20元 （2）A种奖品最少购买69件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元，根据“购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过900元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件A种奖品4元，每件B种奖品20元； 【小问2详解】 解：设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为69． 答：A种奖品最少购买69件． 23. 如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【小问1详解】 证明：作，垂足为M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； 【小问2详解】 证明：由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴． 24. 【长沙市华益中学以公仆仁毅为魂，培育胸怀天下的担当；让生命温暖而幸福，构建浸润心灵的港湾，在华益这里，每个梦想都被悉心呵护，每段青春都能璀璨生辉！】我们约定：如果是关于x，y的二元一次方程的一组解，我们不妨把这样的解写成点的坐标的形式，并把这样的点称为该方程的“解点”，若将“解点”作关于x轴对称，得到对称点，再将向左移2个单位，向上移4个单位，得到点，若此时点也是二元一次方程的一个“解点”，则把称为“温暖点”，称为“幸福点”，一般地，一个二元一次方程存在无数个“解点”． （1）判断正误(真命题的打√，假命题的打×) ①点是二元一次方程的一个“解点”( )； ②若点是二元一次方程的一个“解点”，则点M与点关于y轴对称．( )； ③点是二元一次方程的“温暖点”( )． （2）已知点既是方程的“解点”又是方程的“解点”，求关于x，y的二元一次方程的“幸福点”； （3）已知是二元一次方程的“温暖点”． ①请用含有字母a，b，c代数式表示； ②若，且，，，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②；③√ （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“解点”，“温暖点”，“幸福点”的概念． （1）①根据“解点”的概念判断即可； ②由点是二元一次方程的一个“解点”可得，故点M与点关于y轴对称，即可判断； ③根据“温暖点”的概念判断即可； （2）由点既是方程的“解点”又是方程的“解点”，可得，设点是的“解点”，则Ⅰ，又点也是的“解点”，有Ⅱ，可解得，从而求出二元一次方程的“幸福点”； （3）①根据题意，和点都是的“解点”，可得，求出； ②当，有，又，可解得，，根据，列不等式可解得答案． 【小问1详解】 解：①当，时，， 不是的解， 点不是二元一次方程的“解点”， 故答案为：； ②点是二元一次方程的一个“解点”， ， 解得， ， 点M与点关于y轴对称，即点M与点不关于y轴对称， 故答案为：； ③是二元一次方程的解， 点是二元一次方程的“解点”， 点关于x轴对称的对称点为， 将点向左移2个单位，向上移4个单位可得点， 又是二元一次方程的解， 点是二元一次方程的“温暖点”； 故答案为：√； 【小问2详解】 解：∵点既是方程的“解点”又是方程的“解点”， ， 解得， 二元一次方程， 设点是的“解点”，则Ⅰ， 点关于x轴对称点为，将点向左移2个单位，向上移4个单位可得点， 根据题意，点也是的“解点”， Ⅱ， 由Ⅰ，Ⅱ解得， ，， 二元一次方程的“幸福点”为； 【小问3详解】 解：①关于x轴的对称点为，将点向左移2个单位，向上移4个单位可得点， 根据题意，和点都是的“解点”， ， 解得； ②， ， ， ， ，， ，， 且， ， ，， 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点满足：，过点P分别向x轴，y轴引垂线段，垂足分别为A，B两点，点C是线段上一点，点D是线段上一点，连接线段，． （1）当点D在线段的垂直平分线上且时，请判断的形状并说明理由； （2）如图2，过点C作的垂线交的延长线于点K且，连接，求的度数； （3）在第（2）问的前提下，连接； ①求证：； ②令，，，若a，b，t满足；问：是否存在实数m，使得代数式的值为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是等边三角形，见解析 （2） （3）①见解析；②存在实数m，使得代数式的值为定值， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，根据非负数性质得，则点P的坐标为，进而得，则矩形是正方形，进而得，，再证明和全等得，根据线段垂直平分线性质得，则，由此得是等边三角形； （2）在上截取，连接，，根据正方形性质得，，由此得，证明是等腰直角三角形得，则，再证明，进而判定和全等得，由此可得出的度数； （3）①证明：过点B作，交x轴于点F，先证明，，进而判定和全等得，则，再证明和全等得，由此即可得出结论； ②根据，，，得，再由，解得，则，进而得，由此得当时，代数式为定值，然后由，解得即可得出答案． 小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 解得：， 点P的坐标为， ， 矩形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 点D在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：在上截取，连接，，如图2所示： 四边形是正方形， ，， ， 即， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ，且， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①证明：过点B作，交x轴于点F，如图3所示： ， ， 即， ，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②解：存在实数m，使得代数式的值为定值， ，，，， ， 由，解得， ， ， 当时，代数式为定值， 由，解得：， 当时，代数式的值为定值． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，非负数的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$