精品解析：四川省广安友实学校2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

广安友谊中学实验学校 2022－2023学年度上期初2020级入学考试数学 A卷（共80分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是( ) A. B. C. D. 4. 学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表： 得分（分） 60 70 80 90 100 人数（人） 7 12 10 8 3 则得分的众数和中位数分别为（　　） A. 70分，70分 B. 80分，80分 C. 70分，80分 D. 80分，70分 5. 若点都在函数（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 一条直线与x轴交于，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，则该直线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 10. 如图，已知直线于点P，B是内部一点，过点B作于点A，于点C，四边形是边长为8cm的正方形，N是的中点，动点M从点P出发，以2cm/s的速度，沿方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为，当时，t等于（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 第Ⅱ卷（非选择题，共50分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，答案写在答题卡上） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________________. 12. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 13. 已知两点，，点P是x轴上一动点，若使最短，则点P为________． 14. 如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共38分，解答过程写在答题卡上） 15. 解方程： 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 17. 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积． 18. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 七年级 0 1 0 a 7 1 八年级 1 0 0 7 b 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 c 八年级 78 d 80.5 应用数据： （1）由上表填空：_____，_____，_____，_____； （2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ 19. 如图，点A在轴上，点在轴上，点在第一象限，，，若，满足． （1）求点的坐标； （2）如图，连接交轴于点，求的解析式和的长； B卷（共40分） 一、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，答案写在答题卡上） 20. 已知当时，的值为3，则当时，的值为________． 21. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 22. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为___________． 23. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的_____．（填序号） 二、解答题（本大题共3个小题，共28分，解答过程写在答题卡上） 24. 如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长． 25. 辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 26. 如图所示，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）点在抛物线之间的动点，连接，，，求的最大面积． （3）若点为抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友谊中学实验学校 2022－2023学年度上期初2020级入学考试数学 A卷（共80分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义．一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．根据正比例函数的定义即可得答案． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．未知数的次数是次，不满足正比例函数的定义，不符合题意； D．是正比例函数，符合题意． 故选：D． 2. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，再进一步判断图象经过的象限即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． ∴B符合题意． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题. 【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC， ∴OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO， ∴∠CAD＝25°， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4. 学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表： 得分（分） 60 70 80 90 100 人数（人） 7 12 10 8 3 则得分的众数和中位数分别为（　　） A. 70分，70分 B. 80分，80分 C. 70分，80分 D. 80分，70分 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据表格中的数据，可知70出现的次数最多，可知其众数为70分；把数据按从小到大排列，可知其中间的两个的平均数为80分，故中位数为80分． 故选C． 【点睛】本题考查数据分析． 5. 若点都在函数（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．利用偶次方的非负性可得出，进而可得出，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， ， ， 随的增大而减小． 又点，都在函数为常数）的图象上，且， ． 故选：A． 6. 一条直线与x轴交于，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，则该直线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标系内点的位置确定、直线的斜率与截距的概念及其相互关系、一次函数的图像与性质、以及根据给定点求解直线方程的方法．解题的关键在于准确理解点B在y轴上的位置及其到x轴的距离含义，通过点A和点B的坐标确定直线的斜率和截距，进而求出直线方程，并对比选项找出符合题意的答案．首先确定点B的坐标，利用点A和点B的坐标求出直线的斜率和截距，得到直线的函数表达式，最后比较选项得出答案． 【详解】解：设点B的坐标为， 点B到x轴的距离为2，即， 或， 点B的坐标为或， 设该直线方程 的一般式为， 点在直线上，代入方程得：， 整理，得， 当时，，解得 此时直线方程为； 当时，由得：， 此时直线方程为， 故选：C． 7. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； 添加条件，无法证明四边形为平行四边形，A符合题意；添加条件后可证明，得到，进而可得四边形为平行四边形，B不符合题意；根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，添加条件可证，进而可得四边形为平行四边形，C不符合题意；根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，添加条件可证，进而可得四边形为平行四边形，D不符合题意． 【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，越大直线越靠近轴；当时，图象必过第二、四象限，越小直线越靠近轴．当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到，当时，直线与线段有交点，从而能得到正确选项． 【详解】解：把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第二、四象限时，满足的条件为； 把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第一、三象限时，满足的条件为． 当或时，直线与线段有交点， 的值不可能是． 故选：D． 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 10. 如图，已知直线于点P，B是内部一点，过点B作于点A，于点C，四边形是边长为8cm的正方形，N是的中点，动点M从点P出发，以2cm/s的速度，沿方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为，当时，t等于（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】分点M是AP的中点和点M与点N重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：当点M是AP的中点时， ∵四边形PABC是正方形， ∴PC＝PA＝AB，∠CPA＝∠PAN＝90°， ∵N是AB的中点，点M是AP的中点， ∴PM＝AN＝4， 在△CPM和△PAN中， ∴△CPM≌△PAN（SAS）， ∴PN＝CM， ∴t2， 当点M与点N重合时，由正方形的对称性可得PN＝CM， ∴t6， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共50分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，答案写在答题卡上） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________________. 【答案】x≥0 【解析】 【分析】由已知可得，x≥0且x+1≠0,可求得x的取值范围. 【详解】由已知可得，x≥0且x+1≠0, ∴x的取值范围是x≥0， 故答案为x≥0 【点睛】本题考核知识点：自变量取值范围.解题，关键点：根据式子的特殊性求自变量的取值范围. 12. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．连接、交于点，由菱形的性质得出，，，由点的坐标和点的坐标得出，求出，，即可解决问题． 【详解】解：连接、交于点，如图所示： 四边形是菱形， ，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 已知两点，，点P是x轴上一动点，若使最短，则点P为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、坐标和图形的性质，要注意利用一次函数的特点以及平面坐标系中点的坐标的特点解题．先求得的对称点的坐标，根据两点的坐标代入一次函数解析式中，确定一次函数解析式，然后根据点在轴上，则其纵坐标是0，求出横坐标即可． 【详解】解：作点关于轴的对称点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 的纵坐标为0， ，解得， ． 故答案为：． 14. 如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】满足关于的不等式就是在轴的右侧直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】直线与的交点的横坐标为， 关于的不等式的解集为， 整数解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共38分，解答过程写在答题卡上） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 则或， 解得：，． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】 （1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 17. 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：连接EF， ∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH//BE，FH=BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF， ∴△BGF≌△FHC， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可； （2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH， ∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点， ∴且GH//BC， ∴EF⊥BC， ∵AD//BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH=a， ∴矩形ABCD的面积= 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答． 18. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 七年级 0 1 0 a 7 1 八年级 1 0 0 7 b 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 c 八年级 78 d 80.5 应用数据： （1）由上表填空：_____，_____，_____，_____； （2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ 【答案】（1）11；10；78；81 （2）90人 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，利用样本估计总体的思想，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得； （2）利用样本估计总体的思想求解可得． 【小问1详解】 由题意知，，， 解得，． 将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94 中位数． 八年级成绩的众数． 故答案为：11；10；78；81． 【小问2详解】 （人）． 答：估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有90人． 19. 如图，点A在轴上，点在轴上，点在第一象限，，，若，满足． （1）求点的坐标； （2）如图，连接交轴于点，求的解析式和的长； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键； （1）利用非负性可求，，可求解； （2）由“”可证，可得，，求出点B的坐标为，再由待定系数法求解析式，最后由面积关系可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 点； 【小问2详解】 解：过C作轴于H， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 设直线BC的解析式为， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为， 令，， ∴点D的坐标为，， ∴， ∴的长为． B卷（共40分） 一、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，答案写在答题卡上） 20. 已知当时，的值为3，则当时，的值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 故答案为：6 【点睛】此种试题，学生要懂得把值代入后，观察两式子的关系，将原有式子进行转化，将已知条件运用其中. 21. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 22. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为___________． 【答案】±6 【解析】 【分析】根据，列方程计算求解即可． 【详解】因为抛物线的顶点在x轴上， 所以， 所以， 解得b=±6， 故答案为：±6． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的特点列方程计算是解题的关键． 23. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的_____．（填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 当时，，解得或，故②正确； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 抛物线的对称轴为直线，故④错误； 故答案为：②③． 二、解答题（本大题共3个小题，共28分，解答过程写在答题卡上） 24. 如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长． 【答案】（1）90°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数； （2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长． 【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠BCD＝45°， 由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°， ∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°； （2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴， ∵CD＝3AD， ∴，， 由旋转的性质可知： AD＝EC＝， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 25. 辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；(2)每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元． 【解析】 【分析】(1)根据题意“若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元”设未知数列出相应的二元一次方程组，解方程组即可解答本题； (2)根据题意列出关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元， 根据题意，得：， 解得， 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； (2)设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲， 根据题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为元． 答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是2560元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答． 26. 如图所示，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）点在抛物线之间的动点，连接，，，求的最大面积． （3）若点为抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）把点，，的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式整理成顶点坐标式，即可得到点的坐标； （2）过点作，设点的坐标是，可得：，因为，可得，所以的最大面积是； （3）根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质，分四种情况求解．情况一、当是平行四边形的边且点在轴上方时；情况二、当是平行四边形的对角线时；情况三、当是平行四边形的对角线点在第四象限；情况四、当是平行四边形的对角线且点在第三象限时． 【小问1详解】 解：把点，，的坐标代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 配方得：， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作， 点在抛物线上， 设点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， 的最大面积是； 【小问3详解】 解：如下图所示，当是平行四边形的边时， 则有轴， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， 点的坐标是， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时， 可知， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时，过点作轴， 平行四边形的对角线互相平分， 点与点到轴的距离相等， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当点在点左侧，是平行四边形的对角线时，过点作轴， ∴点的纵坐标是， 解方程， 可得：(不符合题意，舍去)，， 则点的坐标是， 在和中，， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数、一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $