精品解析： 贵州省贵阳市花溪区磊庄中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（6月份）

2024-2025学年贵州省贵阳市花溪区磊庄中学八年级（下） 月考数学试卷（6月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 3. 八年级某班准备从甲、乙、丙、丁四位同学中，选一人参加学校跳绳比赛经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟次，方差分别是，，，，则最适合参赛的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 统计位学生的成绩（均为不同整数），错将最高分写低了分，则一定不受影响的统计量是（ ） A. 中位数 B. 方差 C. 众数 D. 平均数 6. 将直线向下平移个单位长度后得到某正比例函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　） A. B. 2﹣ C. ﹣ D. ﹣2 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图像不经过第一象限 B. 图像与轴交于点 C. 随的增大而减小 D. 当时， 10. 如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，F为的中点，连接，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（ ） A. 始终不变 B. 逐渐减小 C. 先减小再增大 D. 不能确定 12. 如图①，四边形ABCD中，BCAD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 14. 已知点，在直线上，则______ 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 _____． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：（1）；（2） 18. 如图，在四边形ABDC中，∠A=90°，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17． （1）连接BC，求BC的长； （2）求△BCD的面积． 19. 已知：如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．(不要求写作法，保留作图痕迹) （2）延长至点，使，连接、求证：四边形是菱形． 20. 为了解八年级学生在复习后对第十八章和第十九章的知识的掌握情况，李老师从八年级的学生中各随机抽取了名学生分别对这两个章节进行过关测试（每章节人，满分分），并通过整理和分析获得的成绩数据后，给出了部分信息如下． 根据以上信息，解答下列问题： （1）第十八章成绩的中位数是______，第十九章成绩的众数是______； （2） ______，并求出第十九章成绩的平均数； （3）若该校八年级有名学生，若都对他们这两个章节进行测试，请你估计八年级一共可得到多少个满分？ 21. 如图，已知直线经过点，，与直线交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出时的取值范围． 22. 如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，求的长． 24. 某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） （1），两种树苗每棵的单价分别是多少元？ （2）若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年贵州省贵阳市花溪区磊庄中学八年级（下） 月考数学试卷（6月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意， B. ，不是最简二次根式，不符合题意， C. ，是最简二次根式，符合题意， D. ，不是最简二次根式，不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理的逆定理对四个选项逐一判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能组成直角三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 八年级某班准备从甲、乙、丙、丁四位同学中，选一人参加学校跳绳比赛经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟次，方差分别是，，，，则最适合参赛的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为他们的平均成绩都是每分钟次，，，，， ∴， ∴跳绳成绩最稳定的是甲，最适合参赛的选手是甲， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的运算法则判断即可． 【详解】解：，故此选项不符合题意； B．不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 统计位学生的成绩（均为不同整数），错将最高分写低了分，则一定不受影响的统计量是（ ） A. 中位数 B. 方差 C. 众数 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量． 本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算，掌握平均数、中位数、众数和方差的定义是关键． 【详解】解：A、成绩按照由高到低排列，中位数是第个数值，与最大的数值无关，选项说法正确，符合题意； B、方差的计算与每一个数值都有关，所以方差发生变化，选项说法错误，不符合题意； C、因为5位学生的成绩均为不同整数，所以原数据没有众数，当最高分写低1分后，有可能与原来的某个成绩相同，从而产生众数，所以众数可能发生变化，选项说法错误，不符合题意； D、平均数的计算与每一个数值都有关，所以平均数发生变化，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 将直线向下平移个单位长度后得到某正比例函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知“上加下减”的平移法则及正比例函数的定义是解题的关键．根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由此时的图象是正比例函数的图象即可解决问题． 【详解】解：由题知，将直线向下平移个单位长度后，所得函数的解析式为． 此函数图象为正比例函数的图象， ， 解得． 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　） A. B. 2﹣ C. ﹣ D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据P点坐标求出OP的长，再根据AO=PO即可求解. 【详解】解：由勾股定理得，OP＝， 由题意得，OA＝OP＝， 则点A的横坐标为﹣， 故选C． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质与运用. 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：在中，恰好是边的中点， 则， ， ， ． 故选：D． 9. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图像不经过第一象限 B. 图像与轴交于点 C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征进行分析解答． 本题考查了一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，， 函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故不符合题意； B、当时，，即图像与轴的交点坐标，故不符合题意； C、， 函数值随自变量的增大而减小，故不符合题意； D、随着的增大而减小，当时，， 当时，，故符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，F为的中点，连接，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，三角形中位线定理，根据勾股定理可得，由作图可知，垂直平分，得，进而可知为的中位线，即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 又∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：C． 11. 如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（ ） A. 始终不变 B. 逐渐减小 C. 先减小再增大 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形，可得，由平行四边形，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴在动点E从点C向点D的运动过程中，平行四边形的面积始终不变， 故选：A． 12. 如图①，四边形ABCD中，BCAD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据函数图象，得出AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，再根据题意，得出四边形ABCE是长方形，再根据长方形的定义，得出、的长，再根据勾股定理，得出的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E， 由图②可知，点P从A到B运动的路程是3，即；当点P与点B重合时，△ADP的面积是，由B到C运动的路程为3，即， ∴， 解得：， 又∵，，， ∴，， ∴四边形ABCE是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点P从开始到停止运动的总路程为：． 故选：D 【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息、动点问题的函数图象、勾股定理，解本题的关键在理解题意，能从函数图象中找到准确的信息，利用数形结合思想进行解答． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 14. 已知点，在直线上，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：因为一次函数的解析式为，且， 所以随的增大而减小． 又因为， 所以． 故答案为：． 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用方程思想求得矩形的宽是解答本题的关键． 根据勾股定理求得长方形的宽，然后由长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：设该矩形的宽为x步，则对角线为步， 由勾股定理，得， 解得， 故该矩形的面积为（平方步）（亩）． 故答案是：2． 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，证明，易得，即有，作点关于点的对称点，连接，当三点共线时，可有，此时取最小值，然后根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于点的对称点，连接， 则，当三点共线时， 可有，此时取最小值， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 如图，在四边形ABDC中，∠A=90°，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17． （1）连接BC，求BC的长； （2）求△BCD的面积． 【答案】（1）BC=15；（2）S△BCD=60． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求得BC的长． （2）根据勾股定理的逆定理可得到△BCD也是直角三角形，根据三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）∵∠A=90°，AB=9，AC=12 ∴BC==15， （2）∵BC=15，BD=8，CD=17 ∴BC2+BD2=CD2 ∴△BCD是直角三角形 ∴S△BCD=×15×8=60． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 19. 已知：如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．(不要求写作法，保留作图痕迹) （2）延长至点，使，连接、求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图1，为所求作的的平分线； （2） 证明：如图2， 平分， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定以及复杂作图，正确把握菱形的判定方法是解题关键． 直接利用角平分线的作法得出点位置，进而得出答案； 利用菱形的判定方法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了解八年级学生在复习后对第十八章和第十九章的知识的掌握情况，李老师从八年级的学生中各随机抽取了名学生分别对这两个章节进行过关测试（每章节人，满分分），并通过整理和分析获得的成绩数据后，给出了部分信息如下． 根据以上信息，解答下列问题： （1）第十八章成绩的中位数是______，第十九章成绩的众数是______； （2） ______，并求出第十九章成绩的平均数； （3）若该校八年级有名学生，若都对他们这两个章节进行测试，请你估计八年级一共可得到多少个满分？ 【答案】（1）分，分 （2），平均数为分 （3）估计八年级一共可得到个满分 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、算术平均数、中位数、众数，理解算术平均数、中位数、众数的定义，掌握算术平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提； （1）根据中位数和众数的确定方法，进行计算即可； （2）根据百分比之和为1求出的值，根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）求出样本中两章为满分的所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：将这名学生的第十八章成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为8分与9分，其平均数为分； 由扇形图可知：第十九章成绩中出现次数最多的是分，因此众数是分； 故答案为：分，分； 【小问2详解】 解：分所占的百分比为：，即； 第十九章成绩的平均数为（分）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（个）． 答：估计八年级一共可得到个满分． 21. 如图，已知直线经过点，，与直线交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1），点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数关系式；由两个函数解析式得出关于的方程组即可解决问题． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式及两直线相交问题，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 因为直线经过点，， 将点，分别代入该直线解析式，得 解得 则直线的解析式为 联立 解得 则点的坐标为． 【小问2详解】 由图象知：时的取值范围是． 22. 如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度． 【答案】立柱AB段的长度为9米 【解析】 【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：延长FC交AB于点G， 则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m， 设BG=x m，则BC=（26-1-x）m， 在Rt△BGC中， ∵BG2+CG2=CB2， ∴x2+152=（26-1-x）2， 解得x=8， ∴BA=BG+GA=8+1=9（m）， ∴AB的长度为9m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，熟练掌握菱形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，是解题关键． （1）根据菱形的性质，得到，，进而得到，推出四边形是平行四边形，进而证明四边形为矩形即可； （2）根据菱形的性质，得到，再根据矩形的性质，得到，利用勾股定理，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 由（1）得：四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 24. 某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） （1），两种树苗每棵的单价分别是多少元？ （2）若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】（1）种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元 （2），购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用及其性质、不等式的解法及应用．解题的关键在于准确建立方程组求解树苗单价，利用一次函数模型结合实际问题中的约束条件，确定变量的合理取值范围，进而通过分析函数的单调性找到使总费用最小的购买方案． （1）设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据两次购买的总费用建立方程组，解方程组即可求出单价； （2）根据题意，设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵．由条件“B的数量不超过A的2倍”得，解得t的范围，总费用W由两种树苗的单价和数量计算得出，再结合一次函数的单调性确定最省费用的方案． 【小问1详解】 解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据题意得： ， 解得， 答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元； 【小问2详解】 设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵， 种树苗的数量不超过种树苗数量的倍， ， 解得：， 是正整数， ， 设购买树苗总费用为， ， 随的增大而增大， 当时，元． 答：购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 【答案】（1）①证明：如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， ∴∠DCB=∠ECF=90° ∴∠DCE=∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE=PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE=CF， ∵PC=PC，∠PCE=∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE=PF． （2）3 【解析】 【分析】（1）①先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题． ②证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）①略 ②略 （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH=∠A=90°， ∴EH∥AF，DE=EH=2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE=BF=2， ∴EH=BF， ∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM=FM， ∵CE=CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2， ∴x=3， ∴PB=3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $