精品解析：湖南省长沙市雨花区雅境中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期初一期末试卷 数学科目 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查适合全面调查的是（　　） A. 旅客上飞机前的安检 B. 了解一批消毒水的质量 C. 调查全市学生的网课学习情况 D. 了解全国中学生的视力情况 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B. 三角形的三条高交于一点 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同角的余角相等 6. 如图，点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，AC⊥CB，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，屈绳量之，不足一尺，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么______． 12. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为___________． 13. 如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________． 14. 已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 ___． 15. 三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是______． 16. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，B，C分别与点D，E，F对应）．若，则___________ ． 三、解答题（共9小题，第17~19题每题6分，第20~21题每题8分，第22~23题每题9分，第24~25题每题10分，共72分） 17. 计算： 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 填空：如图，已知DG⊥BC，BC⊥AC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断CD与AB的位置关系： 解：CD⊥AB ∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知） ∴∠DGB＝∠_____＝90°(垂直定义) ∴DG∥AC,(____________________) ∴∠2＝∠_________.（两直线平行，内错角相等) ∵∠1＝∠2(已知） ∴∠1＝∠________(等量代换） ∴EF∥______(同位角相等，两直线平行) ∴∠AEF＝∠ADC,(________________) ∵EF⊥AB, ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝90° 即：CD⊥AB. 20. 如图，在直角坐标系中，点． （1）若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出的坐标，并在图中画出平移后图形； （2）求出的面积． 21. 某市教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：     （1）本次调查的样本容量是___________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为___________； （2）补全条形统计图： （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1000名学生，试估计该校需要培训的学生人数． 22. 如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． （1）若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； （2）若，是的高，求的度数． 23. 初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． （1）求篮球、实心球的单价各是多少元？ （2）该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 24. 若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． （1）已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足． （1）若，求B，C两点的坐标； （2）当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围； （3）如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期初一期末试卷 数学科目 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、﹣3是有理数，故本选项不符合题意； C、﹣2.4有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键． 2. 以下调查适合全面调查的是（　　） A. 旅客上飞机前的安检 B. 了解一批消毒水的质量 C. 调查全市学生的网课学习情况 D. 了解全国中学生的视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，根据范围窄或具有特殊意义的用普查，范围广，普查意义不大或具有破坏性的用抽样调查，进行判断即可． 【详解】解：A、旅客上飞机前的安检，适合全面调查，符合题意； B、了解一批消毒水的质量，适合抽样调查，不符合题意； C、调查全市学生的网课学习情况，适合抽样调查，不符合题意； D、了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意； 故选A． 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐个判定． 【详解】解：∵， A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号开口方向的变化． 4. 如图，在中，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B. 三角形的三条高交于一点 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，三角形的高线，同角的余角，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； D、同角的余角相等，原说法正确，符合题意； 故选D． 6. 如图，点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定点A表示的数在3、4之间，再根据夹逼法逐项判断即得答案． 【详解】解：点A表示的数在3、4之间， A、因为，所以，故本选项不符合题意； B、因为，所以，故本选项不符合题意； C、因为，所以，故本选项符合题意； D、因为，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的坐标平移后所得点的坐标得到平移规律，再根据平移规律可得点的坐标，确定平移规律是解题的关键． 【详解】解： ∵向右平移个单位，向上平移一个单位得到， ∴向右平移个单位，向上平移一个单位得到， 故选：A． 8. 如图，AC⊥CB，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据“点到直线，垂线段最短”可排除选项． 【详解】解：由AC⊥CB，AC＝3可知AP的长最短为3，由选项可得A选项符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查点到直线，垂线段最短，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，屈绳量之，不足一尺，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 根据题意得： 故选：A． 10. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由二元一次方程的解满足不等式组求参数，涉及二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，首先将方程组中的两个方程相加，得到，代入解出的范围即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 将方程①和方程②相加得：， ， 关于，的方程组的解满足， ， 解不等式得的取值范围为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：如果，那么2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题目，熟知立方根的概念是关键． 12. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：5． 13. 如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 14. 已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 ___． 【答案】（0，−8） 【解析】 【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案． 【详解】解：∵点P（m＋2，2m−4）在y轴上， ∴m＋2＝0， 解得：m＝−2， 故2m−4＝−8， 故点P的坐标为：（0，−8）． 故答案为：（0，−8）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，根据y轴上点的横坐标为0得出关于m的方程是解题关键． 15. 三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是______． 【答案】2＜x＜5． 【解析】 【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜1+2x＜3+8，解不等式即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜1+2x＜3+8， 解得：2＜x＜5． 故答案为2＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 16. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，B，C分别与点D，E，F对应）．若，则___________ ． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∴； 故答案为：12 三、解答题（共9小题，第17~19题每题6分，第20~21题每题8分，第22~23题每题9分，第24~25题每题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先根据有理数的乘方、算术平方根的定义、绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算．掌握相应的运算法则、定义、性质及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示解集如图： 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为； 19. 填空：如图，已知DG⊥BC，BC⊥AC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断CD与AB的位置关系： 解：CD⊥AB ∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知） ∴∠DGB＝∠_____＝90°(垂直定义) ∴DG∥AC,(____________________) ∴∠2＝∠_________.（两直线平行，内错角相等) ∵∠1＝∠2(已知） ∴∠1＝∠________(等量代换） ∴EF∥______(同位角相等，两直线平行) ∴∠AEF＝∠ADC,(________________) ∵EF⊥AB, ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝90° 即：CD⊥AB. 【答案】∠ACB；同位角相等，两直线平行；∠ACD；∠ACD；CD；两直线平行，同位角相等. 【解析】 【分析】根据垂直于同一直线的两条直线平行，证出DG∥AC，再根据DG∥AC，∠1＝∠2，证出∠1＝∠ACD，所以EF∥CD，因此∠AEF＝∠ADC=90°，即CD⊥AB. 【详解】解：CD⊥AB ∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知） ∴∠DGB＝∠_ACB__＝90°(垂直定义) ∴DG∥AC,(同位角相等，两直线平行_____) ∴∠2＝∠ACD__.（两直线平行，内错角相等) ∵∠1＝∠2(已知） ∴∠1＝∠ACD_(等量代换） ∴EF∥__CD__(同位角相等，两直线平行) ∴∠AEF＝∠ADC,(_两直线平行，同位角相等__) ∵EF⊥AB, ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝90° 即：CD⊥AB. 【点睛】本题考查平行线的判定和平行线的性质的综合运用，要熟练掌握是做题的关键. 20. 如图，在直角坐标系中，点． （1）若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出的坐标，并在图中画出平移后图形； （2）求出的面积． 【答案】（1）， 画出如图： （2）7 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键： （1）根据平移规则，左减右加，上加下减，求出的坐标，连线画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 即：； 【小问2详解】 的面积为：． 21. 某市教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：     （1）本次调查的样本容量是___________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为___________； （2）补全条形统计图： （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1000名学生，试估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500； （2） 补全条形统计图如下：     （3）100人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键． （1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为，计算出样本容量；扇形统计图中计算的即即可； （2）根据扇形统计图中B选项占，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可； （3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为，由此估计1000名学生所占的百分比也为，进而求出该校需要培训的学生人数． 【小问1详解】 解：条形统计图中A等级的人数为150，扇形统计图中A等级所占比例为， 本次调查的样本容量为， 扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为， 故答案为：500；； 【小问2详解】 解：本次调查的样本容量为等级人数占， ∴B等级人数为（人）， 故本次调查的B等级人数为200人， 图略； 【小问3详解】 解：本次调查的样本容量为等级人数为50人， 等级人数所占比例为， 全校1000人需要培训的学生人数（人）， 故估计该校需要培训的学生人数为100人． 22. 如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． （1）若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； （2）若，是的高，求的度数． 【答案】（1）1，0 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； 【小问2详解】 ∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 23. 初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． （1）求篮球、实心球的单价各是多少元？ （2）该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 【答案】（1）篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 （2）3种 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，涉及方程组的建立与求解、不等式的解法以及实际问题中变量的整数性约束．解题的关键在于准确建立方程组和不等式组，合理利用已知条件进行化简和求解． （1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据购买情况建立方程组求解单价； （2）需根据总数量、总费用限制及篮球数量与实心球数量的比值关系，确定可能的购买方案数量． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； 【小问2详解】 设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42， ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球； 方案2：购买41个篮球，159个实心球； 方案3：购买42个篮球，158个实心球． 24. 若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． （1）已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】（1）是，是，不是； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了两数的界中值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）． （1）先求不等式组的解集，然后求得的界中值，最后判断； （2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的界中值，最后根据定义求得的取值范围； （3）先求不等式组和的解集，再求得界中值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）由题意，①解不等式组得， “界中值”为，故不等式对于不等式组①是“界中包含”． ②解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组②是“界中包含”． ③解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组③不是“界中包含”． 故答案为：是，是，不是． 【小问2详解】 解：∵“D对于不等式组‘界中包含’ ”， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：得． 解不等式组：得， ， 解得， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的界中值为， 对于不等式组“界中包含”， ， ∴， 又， ． 【小问3详解】 解：解不等式组：得，，解不等式组：得，， 的界中值为， 不等式组对于不等式组“界中包含”， ， 解得：． 所有符合要求的整数m之和为14， 整数可取、、、，或整数可取、、、、、、， 或． 25. 在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足． （1）若，求B，C两点的坐标； （2）当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围； （3）如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）的面积不变，值为． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入方程组求解即可； （2）根据方程组确定，，，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，得出，然后结合图象求三角形面积即可； （3）连接，根据题意得出，再由线段的数量关系得出，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，利用三角形面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，代入方程组得： ， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 的面积不变，值为． 由，得 ∴，， 如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H， ∴， ∴ 【小问3详解】 连接， ∵，， 又∵线段与y轴相交于点E ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，则有 ∴，解得 ∴． 【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，坐标与图形，不等式的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $