广东省揭阳市榕城区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省揭阳市榕城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组线段中，是成比例线段的一组是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2.下列各式表示与成反比例关系的是(    ) A. B. C. D. 3.下列命题，其中是真命题的是(    ) A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 4.观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，重复次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是(    ) A. B. C. D. 7.春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现处标语牌上写着“恭喜你已上升米”，若此山坡的坡度：，爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至少走坡路米了”． A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，若，则定等于(    ) A. B. C. D. 9.如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为米． A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元二次方程的解为，，则的值为______． 12.如图，公路上有一个米高的路灯，晚上小红站在位置的影子和站在位置的影子相比，在位置______填“”或“”的影子长一些． 13.一个圆柱体的三视图如图所示，根据图中数据计算圆柱的体积为           答案含 14.在反比例函数的图象上有两点，，当时，，则的取值范围是______． 15.如图，已知菱形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，过点作的垂线，与边交于点，连接若，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角要满足，现有一架长的梯子． 使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙结果保留小数点后一位 当梯子底端距离墙面时，等于多少度结果保留小数点后一位此时人是否能够安全使用这架梯子 参考数据：，，，．，．，． 18.本小题分 有、两个黑布袋，布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和小明从布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，再从布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标为． 用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； 求点落在直线上的概率． 19.本小题分 方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”图中点、、均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． 在图中，画出以为顶点，为腰的等腰三角形； 在图中，在线段上找一个点，使； 在图中，是格点三角形，找出一个格点，连接，使平分． 20.本小题分 如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，是垂足，连接，，交于点． 求证：四边形是正方形； 若，求的值． 21.本小题分 如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个米的门，墙的最大可用长度为米． 如果羊圈的总面积为平方米，求边的长； 请问羊圈的总面积能为平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，过点作轴于点，，：：，点的坐标为． 求一次函数和反比例函数的表达式； 写出当一次函数值不大于反比例函数值时的取值范围； 求的面积； 是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 23.本小题分 如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为，点运动时间为秒． 当点与点重合时，______秒； 当为何值时，与全等； 求与的函数关系式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，四条线段不成比例； B、，四条线段不成比例； C、，四条线段不成比例； D、，四条线段成比例； 故选：． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 2.【答案】  【解析】解：、由，得，是一次函数，故此选项不符合题意； B、由，得，是一次函数，故此选项不符合题意； C、由，得，是反比例函数，故此选项符合题意； D、由，得，是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 形如为常数，的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意． 故选：． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可． 本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近的未知数的值． 根据图表数据找出一元二次方程最接近的未知数的值，即为最精确的近似解． 【解答】 解：时，的值为，最接近，  一元二次方程的最精确的一个近似解是  故选：． 5.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求的值． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 6.【答案】  【解析】解：当抛掷的次数很大时，正面朝上的频率最有可能接近正面向上的概率是， 故选：． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：山坡的坡度：， ：：， 米， 米， 由勾股定理得：米， 所以我们至少走坡路米了， 故选：． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 故选：． 根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于点，则， 设米，由得，， 四边形是矩形， ， ∽， ， 即， ， ， ， 解得，， 即， 故选：． 分析： 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，解题关键在于将实际问题转化为相似三角形的知识进行解答． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接，，过点作于，过点作于， ，， ， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质． 连接，，过点作于，过点作于，证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 11.【答案】  【解析】解：由题意可知：，， ． 故答案为：． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 12.【答案】  【解析】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置离路灯比位置离路灯远， 在位置的影子长些； 故答案为：． 根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 本题考查投影，解题的关键是掌握同一物体，离光源越远，影子越长． 13.【答案】  【解析】解：由图可知，圆柱体的底面直径为，高为， 所以，体积． 故答案为：． 根据主视图和左视图确定出圆柱体的底面直径与高，然后根据圆柱体的体积公式列式计算即可得解． 本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的体积公式，根据主视图和左视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由条件可知反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故答案为：． 首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 本题主要考查反比例函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 15.【答案】  【解析】解：连接， 四边形为菱形． ，垂直平分， ，， 在和中， ， ≌， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 四边形为菱形．，， ，，， ， ， ， 解得， ， 的最小值为． 故答案为：． 连接，结合菱形的性质证明≌可得，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解的长，进而可求解． 本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解： ． 把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】解：由题意得，当时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在中，， ， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙； 在中，， 则， ， 此时人能够安全使用这架梯子．  【解析】根据正弦的定义求出，得到答案； 根据余弦的定义求出，根据题意判断即可． 本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 18.【答案】解：画树状图得： 点的所有可能坐标为：，，，，，； 点落在直线上的有与， 点落在直线上的概率为：．  【解析】依据题意用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果； 根据概率公式即可求出该事件的概率． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】由勾股定理得：， 如图，为所求三角形答案不唯一；   如图，取格点，格点，连接，交于点，则点为所求点；   如图，在的延长线上取格点，使，连接，取的中点，连接， 则即为所求．   【解析】由勾股定理得：， 如图，为所求三角形答案不唯一； 如图，取格点，格点，连接，交于点，则点为所求点； 如图，在的延长线上取格点，使，连接，取的中点，连接， 则即为所求． 利用勾股定理可求的长，结合等腰三角形的判定画图即可； 取格点，格点，连接，交于点，则点为所求点； 结合等腰三角形的性质，在的延长线上取格点，使，再取的中点，连接，则即为所求． 本题是四边形综合题，考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题的关键． 20.【答案】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是正方形； 解：由可知， ， 四边形是平行四边形， ，，， ∽， ， 即， ， ， ，， ， 由可知，， ， ．  【解析】先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形； 由可知，得到，根据平行四边形的性质得到，，，根据相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 21.【答案】解：设边的长为米，则米， 根据题意可得， 解得，， 墙的最大可用长度为米，且当时，米，不合题意， 米． 答：边的长为米； 若羊圈的总面积能为平方米， 则结合可得 ， 整理，得 ， ， 羊圈的总面积不能为平方米．  【解析】设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； 由可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 22.【答案】：：， 设，， 轴， ， ， ， ， ，， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式， 把代入得， 点的坐标为， 把，代入得， ， 一次函数的表达式；   ，， 一次函数值不大于反比例函数值时的取值范围为或；   与轴交于点， ， 的面积；   设， 当时，是等腰三角形， 或， 当时，是等腰三角形， 过作， ， 过作轴于， ， ，， ∽， ， ， ， ； 当时，是等腰三角形， ， ， 综上所述，点坐标或或或．  【解析】：：， 设，， 轴， ， ， ， ， ，， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式， 把代入得， 点的坐标为， 把，代入得， ， 一次函数的表达式； ，， 一次函数值不大于反比例函数值时的取值范围为或； 与轴交于点， ， 的面积； 设， 当时，是等腰三角形， 或， 当时，是等腰三角形， 过作， ， 过作轴于， ， ，， ∽， ， ， ， ； 当时，是等腰三角形， ， ， 综上所述，点坐标或或或． 设，，由轴，得到，根据勾股定理得到，，得到，把代入得，求得反比例函数的表达式，把代入得，得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的表达式； 根据函数图象即可得到结论； 解方程得到，根据三角形的面积公式得到的面积； 设，当时，当时，过作，得到，过作轴于，根据相似三角形的性质得到；当时，得到． 本题是反比例函数是综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23.【答案】；   的值为或；   ．  【解析】如图：当与重合时， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 当时， ， ≌， ， ， ； 当时， ， ， ≌， ， ， ； 综上所述，的值为或； 时，如图， 在中，， ， ； 当时，如图， ，， ， ， ． 根据直角三角形的性质求解即可； 分两种情况：当时，当时，由全等三角形的性质得出关于的方程，解方程可得出答案； 分两种情况：当时，当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$