函数的奇偶性、周期性 讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性 课前学习任务 一、课标解读 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.了解周期性的概念和几何意义. 二、必备知识 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 　　　　  关于y轴对称 奇函数 　　　　  关于原点对称 [教材知识深化] 1.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. 2.如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|). 3.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. 4.函数图象关于y轴对称,必为偶函数;关于原点对称,必为奇函数.互为充要条件. 5.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)是偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)是奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数　　　就叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.  [教材知识深化] 若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. 三、自主诊断 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数f(x)=是偶函数. (　　) (2)若f(x)是奇函数,则有f(0)=0. (　　) (3)若f(x)是奇函数,则y=-|f(x)|为偶函数. (　　) (4)若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3. (　　) 2.(人教B版必修第一册习题3-1B第8题改编)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,则实数a的值为　　　　　.  3.(人教A版必修第一册习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  二、连线高考 4.(2021·全国乙,理4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.(2023·新高考Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 6.(2024·上海,4)设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数,则a=　　　　　.  课堂核心考点 考点一 函数奇偶性的判定 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)= (3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (4)f(x)=|x+1|-|x-1|; (5)f(x)=. [对点训练1](1)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)下列函数中是非奇非偶函数的是(　　) A.f(x)=x+sin x B.f(x)=(x-1) C.f(x)=ln(-x) D.f(x)=2x+ (2)(2025·山东烟台模拟)下列函数中,与函数f(x)=xln的奇偶性相同的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.y= B.y=|x+2|+|x-2| C.y=sin x+cos x D.y=2x-x 考点二 函数奇偶性的应用 2.(1)(2025·上海开学考试)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.-18 B.-10 C.6 D.10 (2)(2023·全国乙,理4)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)(2025·北京期中)定义在R上的奇函数f(x)满足:当0<x<2时,f(x)<0,当x>2时,f(x)>0.则不等式xf(x)>0的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) (4)(2025·福建漳州期末)若函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1,则当x<0时,f(x)=　　　　　　　　.  [对点训练2](1)(2024·上海闵行期中)已知函数f(x)=x3+x,若f(a)=b,则f(-a)=(　　) A.b B.-b C. D.- (2)(2025·福建福州期末)已知f(x)=为奇函数,则m+n=(　　) A.1 B.2 C.0 D.-1 (3)设定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　　　　　.  考点三 函数的周期性 3.已知函数f(x)在R上满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=其中a∈R,若f(-5)=f(4.5),则a=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5 [对点训练3](1)(2024·山西朔州模拟)已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,0)时,f(x)=2x,则f(2 023)=(　　) A. B.- C. D. (2)(2024·江西萍乡模拟)已知偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=cosx,则x∈[2 023,2 024]时,f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=sinx B.f(x)=sin πx C.f(x)=sin 2x D.f(x)=cosx 答案解析 [知识梳理] 1.f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x) 2.(1)f(x)　T　(2)最小 [自主诊断]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.2　解析 (方法一)由题意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2. (方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因为f(x)是偶函数,所以a-2=0,解得a=2. 3.f(x)=　解析 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x(1-x),又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1-x),故函数解析式为f(x)= 4.B　解析 函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B. 5.B　解析 (方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 不妨令x=1,则有f(-1)=f(1), ∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln, ∴-1+a=-1-a,∴a=0. 此时f(x)=xln, 易知函数f(x)的定义域为,f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x),∴a=0符合题意. (方法二)设g(x)=ln,函数g(x)的定义域是 g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x), ∴函数g(x)是奇函数. 而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.故选B. 6.0　解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0. 研考点·精准突破 考点一 例1　解 (1)由题知,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)(方法一　定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数. (方法二　图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. (3)因为f(x)的定义域为[-1,4],不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (4)f(x)的定义域为R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (5)由1-x2≥0得-1≤x≤1,所以x+2>0,所以f(x)=,定义域为[-1,0)∪(0,1].所以f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 对点训练1　(1)B　(2)B　解析 (1)对于A,f(x)的定义域为R,由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知,f(x)为奇函数; 对于B,令0,解得x≤-1或x>1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),不关于原点对称,即f(x)为非奇非偶函数; 对于C,因为x2+1>x2,所以-x>0恒成立,即f(x)的定义域为R,又f(-x)+f(x)=ln(+x)+ln(-x)=0,故f(x)为奇函数; 对于D,f(x)的定义域为R,由f(-x)=f(x)知,f(x)为偶函数. (2)由于y=ln,y=x是奇函数,所以f(x)是偶函数,选项A和D中的函数是奇函数,选项C中的函数是非奇非偶函数,只有选项B中的函数是偶函数,故选B. 考点二 例2　(1)C　(2)D　(3)C　(4)2-x-x+1 解析 (1)f(-2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8=10,令f(2)=25+a×23+2b+8=t,则f(-2)+f(2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8+25+a×23+2b+8=t+10,即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故选C. (2)(方法一)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数, 所以f(-x)=f(x), 即, 整理得eax=e2x, 所以a=2. (方法二)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数, 所以f(-1)=f(1), 即, 整理得ea=e2, 所以a=2.故选D. (3)由奇函数的定义可得f(-x)=-f(x). 当-2<x<0时, 则0<-x<2,f(-x)=-f(x)<0, 即f(x)>0,当x<-2时, 则-x>2,f(-x)=-f(x)>0, 即f(x)<0,由xf(x)>0, 得 根据题意可得xf(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选C. (4)因为函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1, 所以当x<0时,-x>0, 所以f(-x)=2-x-x+1, 即f(x)=2-x-x+1,所以当x<0时,f(x)=2-x-x+1. 对点训练2　(1)B　(2)A　(3)(-∞,-2)∪(0,2)　解析 (1)由f(x)=x3+x可得f(-x)=-x3-x=-f(x),且函数f(x)的定义域R关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b,故选B. (2)因为f(x)=为奇函数,所以f(1)=-f(-1), 所以2+m-n+1=0, 而f(2)=-f(-2), 得到4+m-2n+1=0, 解得m=-1,n=2, 经验证符合题意, 所以m+n=1,故选A. (3)因为对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.由xf(x)<0,可得 又f(x)为偶函数,且f(2)=0,所以可作出y=f(x)的大致图象如图所示. 由图可知不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 考点三 例3　C　解析 由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期为2的周期函数, 又f(-5)=f(4.5), 所以f(-1)=f(0.5), 即-1+a=1.5, 所以a=2.5.故选C. 对点训练3　(1)B　(2)D　解析 (1)因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2 023)=f(337×6+1)=f(1)=f(-2+3)=-f(-2)=-2-2=-,故选B. (2)因为f(x+2)=f(x), 所以f(x)的周期为2. 设x∈[2 023,2 024], 则x-2 024∈[-1,0], 因此2 024-x∈[0,1], 因为当x∈[0,1]时,f(x)=cosx, 所以f(2 024-x)=cos(2 024-x)=cos1 012π-x=cosx, 又因为函数f(x)的周期为2,且为偶函数, 所以f(2 024-x)=f(-x)=f(x),故当x∈[2 023,2 024]时,f(x)=cosx,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$