精品解析：江苏省徐州市贾汪区塔山中学 2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024级八年级学业水平统一测试 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是( ) A. ， B. C. D. ，， 3. 的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 4. 如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）． A. 1.5米 B. 1.2米 C. 1米 D. 0.9米 5. 已知点A，点B都在直线/的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得的值最小，则下列作法正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ） A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B. ∠1＋∠2＝∠4－∠3 C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，则这个等腰三角形的面积是_________． 10. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是_____． 11. 如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为_________cm． 12. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 13. 如图，，则_______________． 14. 如图，把一张长方形的纸折叠后，、两点分别落在、，若得，则的度数为_______________． 15. 若，为连续整数，且，则__________． 16. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__________． 17. 如图所示，，，，，，则________． 18. 如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是_______________． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. 如图，有两条国道相交于点 O，在的内部有两个村庄 C、D，现要修建一加油站 P，使点 P 到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图所示，为边上一点，，，求证：为等腰直角三角形． 21. 如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 22. 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合． （1）若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数； （2）若AB＝6，AD＝18，求CF的长． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，求长． 24. 课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 25. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 26. 在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°． （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级八年级学业水平统一测试 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可得：选项A、B、D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形， 故选∶C． 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是( ) A. ， B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理判断即可求解． 【详解】解： A．中，，，，可知，是直角三角形，故不符合题意； B．变形得，，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故不符合题意； C．在中，，则，，，不是直角三角形，故符合题意； D．，，即，是直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3. 的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 4. 如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）． A. 1.5米 B. 1.2米 C. 1米 D. 0.9米 【答案】D 【解析】 【分析】如图，先证明，然后根据对应边成比例列列方程求解即可． 【详解】解：如图： ∵由题意可得， ∴， ∴ ∴ ∴米． ∴捣头点E上升了米． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中并利用相似三角形对应边成比例列出方程是解答本题的关键． 5. 已知点A，点B都在直线/的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得的值最小，则下列作法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，由作图可知，B，B＇关于直线对称，所以BP= B＇P, 此时AP +PB＇=AP+PB值最小， 符合题意的图形如下： 故选D. 6. 如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】如图： 共3个， 故选：C ． 7. 如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，先根据“边角边”证明，可得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ） A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B. ∠1＋∠2＝∠4－∠3 C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系．根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，从而推出∠1+∠4=∠2-∠3 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角， ∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角， ∴∠6=∠2-∠3②， 由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3． 故选D． 【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，则这个等腰三角形的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意画出图形，过点作于点，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图所示， 过点作于点， ，， ， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 10. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是_____． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2． 故答案为：x≥2 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 11. 如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF=BC=5cm， ∵BF=7cm，BC=5cm， ∴CF=7cm-5cm=2cm， ∴EC=EF-CF=3cm，故EC长为3cm． 故答案为：3． 12. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 如图，，则_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 14. 如图，把一张长方形的纸折叠后，、两点分别落在、，若得，则的度数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．根据折叠的性质可得，再根据，可得出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若，为连续整数，且，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据无理数的估算求出a和b的值，然后代入a+b计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：7. 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”估算无理数的整数部分是解答本题的关键. 16. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是_______________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. 如图，有两条国道相交于点 O，在的内部有两个村庄 C、D，现要修建一加油站 P，使点 P 到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点P为所求的点． 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．首先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两条直线的交点就是点P． 【详解】略 20. 如图所示，为边上一点，，，求证：为等腰直角三角形． 【答案】 证明：， ，，， ， ， ， ， ， ﹣， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定；根据全等三角形的性质得出，，，根据勾股定理的逆定理得出，求出，即可求出答案． 【详解】略 21. 如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的边长问题，掌握中点的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．根据中点的性质得，再根据折叠的性质得，求出，，根据勾股定理列方程即可求出CF的值，即可求出AF的值． 【详解】解：∵，为的中点 ∴ 由题意， ∴， ∴，即 解得． ∴． 22. 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合． （1）若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数； （2）若AB＝6，AD＝18，求CF的长． 【答案】（1）70°； （2）8． 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和折叠的性质即可得到结论； （2）首先设CF=x，则FG=CF=x，BF=BC-CF=18-x，然后在直角△BGF利用勾股定理求出x即可． 【小问1详解】 ∵将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合． ∴∠BEF=∠DEF， ∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，∠AEB =40° ∴∠DEF=70° ∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠DEF=70°； 【小问2详解】 由题意知CD=AB=6 设CF=x，则BF=BC-CF=18-x， 由折叠得：FG=CF=x，BG=CD=6， 在Rt△BGF中：BG2+GF2=BF2 62+ x2=（18-x）2， 解得：x=8，即：CF=8cm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，熟练掌握翻折的性质是解题关键． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 对于（1），根据垂直平分线的性质得，再求出，接下来说明，然后根据三角形外角的性质求出答案； 对于（2），根据周长可得，即可得出答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵的周长为，， ∴， 即， 解得. 24. 课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）5cm 【解析】 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）略 （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 25. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 26. 在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°． （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1中， 在△ACE和△BCD中， ∴（SAS） （2） 证明：如图2中， ∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACB＋∠ACD=∠ECD＋∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE， 在△ACE和△BCD中， ∴（SAS）， ∴∠1=∠2， ∵∠3=∠4， ∴∠BFA=∠BCA=90°， ∴AF⊥BD； （3）45° 【解析】 【分析】（1）利用SAS即可证明； （2）证明，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答； （3）∠AFG=45°，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，由，得到，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∠AFG=45°，理由如下： 如图3，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N， ∵由（2）得：， ∴，AE=BD， ∴， ∴CM=CN， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴CF平分∠BFE， ∵AF⊥BD， ∴∠BFE=90°， ∴∠EFC=45°， ∴∠AFG=∠EFC=45°． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解决本题的关键是证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $