精品解析：天津市实验中学滨海育华学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量调查九年级（数学学科）试卷 满分：120分 时长：100分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，小雅同学测得宽为，点C到的距离为，则半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知 是的直径，，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( ) A. B. C. D. 11. 如图，将绕点 顺时针旋转得到，使点 的对应点 恰好落在边 上，点的对应点为 ，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数向上平移2个单位后的解析式为______． 14. 设、是一元二次方程的两个根，则_____． 15. 如图．的直径 垂直于弦 ，垂足是E，，， 的长为_______． 16. 如图，，，可以看做是由绕点 顺时针旋转角度得到的，若点在 上，则旋转角的大小是_________． 17. 如图，在中，弦，点C在 上移动，连接，过点C作，交于点D，则 长的最大值为 ___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边 的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 三、解答题（本大题共6小题，共66分． 解答应写出文字说明或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 21. 如图，在 中，，，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接 ， 交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图， 是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 23. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式； （2）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润； （3）当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把 ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段 于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量调查九年级（数学学科）试卷 满分：120分 时长：100分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：化为一般式，得 ， 二次项系数和一次项系数分别是5，， 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，直接确定对称轴即可. 本题考查了抛物线顶点式确定对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键. 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线对称轴为直线. 故选：D. 4. 平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， ， 故选：B． 5. 已知 的半径为4，点 在 内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵ 的半径为4，点 在 内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 6. 如图，小雅同学测得宽为，点C到的距离为，则半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得：． 则半径 为 ． 故选：B． 7. 如图，已知 是 的直径，，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，掌握同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是 ，直角三角形的两锐角互余的知识是解题的关键． 根据直径所对圆周角为直角，，结合直角三角形两锐角互余，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵ 为 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 9. 如图，是 的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 10. 某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共1000万元， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 11. 如图，将绕点 顺时针旋转得到，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点为 ，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】解：∵绕点 顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 12. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为 时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数向上平移2个单位后的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 【详解】解：将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位后得到y=2x2+2． 故答案为：y=2x2+2． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 14. 设、是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 如图． 的直径 垂直于弦，垂足是E，，， 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 先由垂径定理得到的值，再根据等边对等角易证，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵直径 垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去） 故答案为：． 16. 如图，，，可以看做是由绕点 顺时针旋转 角度得到的，若点在 上，则旋转角 的大小是_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角 的大小． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以看做是由绕点 顺时针旋转 角度得到的， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角 的大小是， 故答案为：． 17. 如图，在 中，弦，点C在 上移动，连接 ，过点C作，交 于点D，则长的最大值为 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时， 最小，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当 的值最小时，的值最大， 时， 最小，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边 的中点，把绕点A顺时针旋转得 ，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接 ，， ，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心， 为半径画，过点 作交 的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心， 为半径画，过点 作交 的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为 中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点 旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 三、解答题（本大题共6小题，共66分． 解答应写出文字说明或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴ 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 解得，． 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． 【小问1详解】 解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：求与 轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与 轴交点为和． 求与轴交点：令 ，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． 【小问3详解】 解：由图可知，的取值范围是． 21. 如图，在 中，，，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接 ，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【小问1详解】 解：证明：∵ 绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 22. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）若，求 的半径． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴ 的半径为9． 23. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式； （2）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润； （3）当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）月销售量为，月销售利润为6750元 （3）销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． （1）利润销售量 单位利润，单位利润为，销售量为，据此表示利润得关系式； （2）结合（1）计算即可； （3）根据（1）中函数关系式，配方，利用二次函数的性质可得到总利润的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，销售量：， 销售利润：， 答：销售量为，销售利润为6750元； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，利润最大为9000元． 答：销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把 ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）5 （2）(，) （3）(，) 【解析】 【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标； （3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． 【小问1详解】 如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′， ∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形， ∴AA′＝BA＝5； 【小问2详解】 作O′H⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′， ∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， ∴∠HBO′＝60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°， ∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝， ∴OH＝OB+BH＝3+＝， ∴O′点的坐标为(，)； 【小问3详解】 ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′， ∴BP＝BP′， ∴O′P+BP′＝O′P+BP， 作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②， 则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（0，﹣3）， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0）， ∴OP＝， ∴O′P′＝OP＝， 作P′D⊥O′H于D， ∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°， ∴∠DP′O′＝30°， ∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝， ∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝， ∴P′点的坐标为(，)． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段 于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1），， （2），最大值为 （3）不存在这样的点P，使得点E为中点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线 的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线 于点M， 设直线 的解析式为， 将，代入直线 的解析式得： ， 解得， ∴直线 的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． 【小问3详解】 解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $