4.2认识一次函数 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.2认识一次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在正比例函数中，当自变量时，函数值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如图，直线与相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系内，其中，．点，的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为（    ） A．16 B．20 C．32 D．38 4．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（    ） A．圆的面积随半径的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．正方形的周长随边长的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 5．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，表示正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 7．在函数中，的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 8．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系； B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系； C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系； D．圆的周长与直径成正比例关系． 9．下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 11．函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 12．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 14．若函数是正比例函数，则的值为 ． 15．若点在一次函数的图象上，则代数式的值等于 ． 16．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的 函数，即y＝kx（k≠0）． 17．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 三、解答题 18．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 19．根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 20．已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 21．通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表． u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 v 50 100 155 207 260 290 365 470 判断变量u，v是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求v关于u的函数式，并利用函数式求出当时函数v的值． 22．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）． (1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标． 23．已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 24．已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________． 《4.2认识一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A A D D B A 题号 11 12 答案 B D 1．A 【分析】本题考查了求正比例函数的函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 把自变量代入函数即可求解． 【详解】解：当自变量时，， 故选：A． 2．D 【分析】先把代入求出m，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得到答案． 【详解】解∶ 把代入，得， ∴直线与相交于点， ∴关于，的方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．B 【分析】根据勾股定理求得的长，进而求得平移的值，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴ ，． 当点落在直线时， 解得 ∴平移后点B（7，0） 平移了个单位 线段扫过的面积为 故选B 【点睛】本题考查了平移的性质，求一次函数自变量的值，掌握平移的性质是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，与成正比，故选项不符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，是正比例函数关系，故选项符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】首先把P(1，b)代入直线：即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点P(1，b)， ∴b＝3＋1， 解得b＝4， ∴P(1，4)， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 6．A 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、该函数表示y是x的正比例函数，故本选项符合题意； B、该函数表示y是x的一次函数，故本选项不符合题意； C、该函数表示y2是x的正比例函数，故本选项不符合题意； D、该函数不表示y是x的正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 7．D 【分析】形如 这样的函数是一次函数，根据函数的定义可得答案． 【详解】解：函数中，的值是-6， 故答案为：D 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，掌握“一次函数的定义”是解本题的关键． 8．D 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意； B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意； D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键． 9．B 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是将点的坐标代入一次函数解析式中，本题属于基础题型．将各点的坐标代入一次函数中，若左右两边相等即该点在图象上． 【详解】解：A．将代入，则，故不在图象上； B．将代入，则，故在图象上； C．将代入，则，故不在图象上； D．将代入，则，故不在图象上； 故选：B． 10．A 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy， 即：y=5﹣x，S=x(5﹣x)=﹣x2+5x， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 11．B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是把点的坐标代入函数解析式看看两边是否相等．把点的坐标代入进行判断即可． 【详解】解：A、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合； B、把代入函数得，即点在正比例函数的图象上，故本选项符合； C、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合； D、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合． 故选：B． 12．D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 13． 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 14． 【分析】根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 15．8 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关键． 把点代入一次函数，进行整理即可得到的值，最后整体代入计算即可． 【详解】点在一次函数， ，即， ， ； 故答案为：8． 16． y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例 【解析】略 17．①③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 根据一次函数的定义：形如的函数叫做一次函数，进行逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； ⑤是一次函数； 故答案为：①③⑤． 18．(1)1 (2)0 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 19．（1）；（2）． 【分析】（1）先根据正比例函数的定义可得b=0，再利用待定系数法即可得； （2）直接利用待定系数法即可得． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴b=0 又∵当x=5时，y=6， ∴5k=6， 解得， 则； （2）由题意，将点(3，6)，代入y=kx+b得： ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及与轴的交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一次函数，当时，函数图像经过原点，据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．当时，图像与轴交点在x轴的上方；当时，图像与轴交点在x轴的下方．据此即可求解． 【详解】（1）解：若函数图像经过原点， 则有： ∴ （2）解：∵图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小， ∴ 解得： ∵m为整数， ∴ 21．u，v近似地满足一次函数关系式，，当时，v的值为281 【分析】直接利用一次函数的定义进行判定，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：u，v近似地满足一次函数关系式； 理由：由图中数据可知，当u的值依次增加1时，v的值都增加105，当u的值每增加0.5时，大部分的v的值都增加了50左右，因此，u，v近似地满足一次函数关系式． 设， 将、代入解析式可得： ， 解得：， ∴v关于u的函数式为：； 当时，； ∴u，v近似地满足一次函数关系式，；v的值为281． 【点睛】本题考查了一次函数的定义和待定系数法，解题关键是牢记一次函数的特点，并能利用待定系数法求解析式． 22．(1)①(0,2))或(0,−2)；② (2)， 【分析】(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y)，由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0,y)，，据此即可求得点A与点B的“非常距离”最小值； (2)设点C的坐标为，根据材料：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标． 【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为(0,y)， ∵， ∴|0−y|=2， 解得y=2或y=−2； ∴点B的坐标是(0,2))或(0,−2)； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为； （2）解：如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时， 根据运算定义“若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|，即AC=AD， ∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是(0,1)， ∴设点C的坐标为， ∴−x0=x0+2， 此时，x0=−， ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=， 此时． 【点睛】本题考查了新定义的运算方法，求一次函数图象上点的坐标，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及性质． （1）把原点坐标代入解析式得到，而，所以； （2）把代入解析式得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：把代入解析式得：， 解得：， ， ； （2）解：把代入解析式得：， 解得：． 24．(1)y＝﹣7x (2)21 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据一次函数的性质，在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，把x＝﹣3代入求得即可． 【详解】（1）解：∵ y是x的正比例函数，设y＝kx， ∴ 当x＝﹣2时，y＝14， ∴ 14＝﹣2k， 解得，k＝﹣7， ∴ y＝﹣7x； （2）∵ k＝﹣7＜0， ∴ y随x的增大而减小， ∴ 在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大， 此时，y＝﹣7×（﹣3）＝21， ∴ 函数最大值是21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，求得正比例函数的解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$