精品解析：福建省恒一教育集团2025—2026学年高三上学期开门联考数学试题

恒一教育集团联考2025—2026学年高三第一学期开门联考 数学试题 联考校：福州恒一、福州中加、厦门央美恒一、晋江恒一 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念，找出同时满足集合和集合条件的的取值范围即可． 【详解】因为集合，，所以． 故选：A． 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方、除法运算求得，进而求得的虚部. 【详解】由，得， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程. 【详解】 依题意，，，解得，， 所以， 故该双曲线方程为． 故选：A. 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解. 【详解】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误； 当时，，故选项B错误，选项A正确. 故选：A. 8. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（ ） A. 若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B. 若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 二、多选题 9. 已知函数则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的最大值为 C. 在区间单调递增 D. 曲线关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用和角公式化简函数为单一三角函数式，再结合三角函数的性质逐一判断选项即得. 【详解】. 对于A，设，函数的定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故A正确； 对于B，由于的最大值为，因此，故B错误； 对于C，当时，因单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D，由于曲线关于 对称，因此曲线关于对称，故D错误. 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D正确. 故选：ACD. 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义求出点M的横坐标，代入方程可得. 【详解】由题知，，设，则，即， 所以，解得，所以点M的坐标为. 故答案为： 13. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件根据向量的加法的坐标运算公式，再由条件结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，所以， 因为，则，则， 解得. 故答案为：. 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则______；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求. 【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为， 则，，， 解得，，， 所以，，， 由，整理可得， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、， 其中前若干项中，数列有项，数列有项， 所以，是数列的第项， 所以， ， 所以，， 令，整理可得， 令，则有，解得， 因为，所以，，可得， 所以，满足不等式的正整数的最小值为， 同理可知，满足不等式的正整数的最大值为， 所以满足不等式的正整数的最小值，即， 设，其中且， 则 ， ， 由，整理可得，解得， 所以自然数的最小值为，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解, 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式将已知化为，利用化简得，根据角的范围即可求解. （2）将平方得，再根据余弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，因为， 所以. 所以①， 又由余弦定理，所以②． 联立①②可得． 16. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） ， 故 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 17. 如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆锥的底面周长和侧面积公式求出，接着由得平面，再求证得平面即可由面面平行的判定定理得证； （2）建立适当直角坐标系，依次求出平面与平面的法向量，再由平面夹角的向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 由圆锥的底面周长为，可得侧面积为，解得. 在中，根据中位线性质可得，所以平面， 由于，底面圆半径是1，所以， 又，所以，而， 所以为等边三角形，. 于是且，所以四边形是平行四边形，可得， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 易知.如图，以为坐标原点，在平面中， 过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则，令，则； 设平面的法向量， 则，令，则. 结合（1）可知，也是平面的法向量， 从而， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【小问1详解】 设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． 【小问2详解】 因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 19. 若函数的定义域、值域都是有限集合，则称为集合上的有限完整函数．已知是定义在有限集合上的有限完整函数． （1）求的最大值； （2）当时，均有，求满足条件的的个数； （3）设存在一系列函数且．若这些函数满足，，，，则称为闭环函数．若存在，使得，则称为“阶闭环函数”．证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的映射关系）． 【答案】（1）140 （2）42 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求得答案; （2）由题可得出，由此结合排列组合的知识，即可求得答案; （3）由题意可知，不妨取一个闭环函数，然后结合“阶闭环函数”的定义，证朋该函数既是阶闭环函数，也是阶闭环函数，即可证朋原命题. 【小问1详解】 ， 当且仅当时等号成立，故的最大值为140． 【小问2详解】 由题意知，从集合中任取5个数分别记为，共有种取法．然后对剩余的2个数全排列，即，故共有42个满足条件． 【小问3详解】 下表为的映射关系： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 6 7 4 故，故为3阶闭环函数．又因为，，，，，故也是4阶闭环函数．原命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒一教育集团联考2025—2026学年高三第一学期开门联考 数学试题 联考校：福州恒一、福州中加、厦门央美恒一、晋江恒一 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（ ） A. 若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B. 若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C. D. 二、多选题 9. 已知函数则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的最大值为 C. 在区间单调递增 D. 曲线关于对称 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D. 三、填空题 12. 若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为______． 13. 已知平面向量，，若，则_________. 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则______；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 16. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 17. 如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 19. 若函数的定义域、值域都是有限集合，则称为集合上的有限完整函数．已知是定义在有限集合上的有限完整函数． （1）求的最大值； （2）当时，均有，求满足条件的的个数； （3）设存在一系列函数且．若这些函数满足，，，，则称为闭环函数．若存在，使得，则称为“阶闭环函数”．证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的映射关系）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $