精品解析：福建省莆田市砺志中学2024-2025学年九年级上学期返校考数学卷

砺志中学2024-2025学年上学年九年级返校考数学试卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 4. 已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 5. 下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11. 方程的解是________． 12. 如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于_________． 13. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 14. 如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为________． 15. 小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为________． 16. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连接，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③.其中正确的是_____________________. 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 19. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 20. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 21. 如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 22. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 23. 求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：（______）______； （2）如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． （3）如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 24. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，连接、分别交于M，N，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砺志中学2024-2025学年上学年九年级返校考数学试卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A. ，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项符合题意； D. ，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入原方程即可解决问题． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：A 4. 已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 5. 下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确； D. ，故该选项错误． 故选C． 6. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 根据题意可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 8. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用；根据题意逐项计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确； D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误； 故选：D． 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 则或， 解得， 故答案为：， 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，三角形相似判定与性质．根据点为的中点，得出，根据平行四边形性质，得出，，可证，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：点为的中点， ， ∵在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：4． 13. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键． 由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案． 【详解】解：∵、， ∴， ∵将以坐标原点O为位似中心扩大到， ∴位似比为：， ∵， ∴点C的坐标为：， 故答案为：． 15. 小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，准确列出等式列出关于m的方程，是解题的关键．根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式变形为，，然后得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由第一个图可得，则， 由第二个图可得，则， ∴， 解得：，负值舍去， 故答案为：10． 16. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连接，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③.其中正确的是_____________________. 【答案】① 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． ①先求出，，则，由此可证，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确； ②根据得，再根据三角形外角性质得，由此可对结论②进行判断确； ③要使成立，即使成立，即使成立， 即使，但不一定与相等，不一定成立，由此可对结论③进行判断确． 【详解】解：①设， 是等腰直角三角形，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故结论①正确； ②， ， ， ， 故结论②错误； ③， ， ， ， ， ， 要使成立，即使成立， 即使成立， 即使， 但不一定与相等， 不一定成立， 不一定成立， 故结论③错误， 综上所述：正确的结论是①． 故答案为：① 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知直接开平方法和配方法是解题的关键． （1）利用直接开平方解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②， 证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】略． 19. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的方程（m为常数）． ∴，即， ∴不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． 20. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 21. 如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）如图所示，作，交于点， （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角； （1）作，交于点，即可求解; （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，作，交于点， 根据作图可得 又∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵，． ∴ 解得： 22. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 23. 求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：（______）______； （2）如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． （3）如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】（1）， （2）， 理由：由题知，， ， ， ， ． （3）当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 由题知，， 矩形的面积； ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 24. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）倍根方程 （2）c的值是8 （3）方程的两个根是，或， 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； 【小问2详解】 解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，连接、分别交于M，N，，，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）5； （3）24． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论． （2）证明，得出，则，求出，则可求出． （3）延长与延长线交于点，证得四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，则，令，则，再根据平行线的性质，即可得到的长． 【详解】证明（1）略 （2）在中， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）延长与延长线交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 令，则， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、菱形的性质．证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $