精品解析：吉林省白城市第三中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学测试卷

名校调研系列卷·九年级第一次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 比0小1的数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 4. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_______________． 8. 某种细菌的直径是，数据0.000098用科学记数法表示为____________． 9. 如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则______________m． 10. 为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是______°． 11. 如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则___________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 13. 从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3、6、8、9，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率． 14. 某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，以线段为斜边画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 16. 如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数的图象于点（点在点下方），连接，的面积为． （1）求的值； （2）求反比例函数的解析式． 17. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 18. 如左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，求钢架支点到地面的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 19. 如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度． （2）求出图中出租车行驶时路程与时间的函数解析式． （3）求学校到瓯华站的路程． 20. 【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ． 【特例分析】（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°． 【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值； 【问题解决】（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长． 21. 如图，在中，，，，是斜边的中点，动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线的同侧，设点的运动时间为秒． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（、为常数）与轴交于点，顶点为，点为点右侧抛物线上的一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使取得最小值，求点的坐标； （3）若点的坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点按顺时针方向旋转得到点，连接，以、为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点落在矩形的边上时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第一次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 比0小1的数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：．   故选：B ． 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 从左面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出左视图图形即可． 【详解】解：它的左视图为A选项中的图形． 故选：A． 3. 如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 4. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【详解】解：点在第三象限， ，解得， 此不等式组的解集为：， 故选：B 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角的定义，角度的和差，利用直角的定义及角度的和差求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，直接根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 8. 某种细菌的直径是，数据0.000098用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：（，n为整数）进行表示即可．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则______________m． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75 10. 为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和的计算是解题的关键，由城五边形是正五边形，，再根据四边形为正方形，得到，，从而推出，，进而得到． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：99 11. 如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本考查了圆周角定理．连接．由是圆O的直径，可证 ,得到，由点C是弧的中点得到，则，即可得到，． 【详解】解：连接． ∵是圆O的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可化简，最后再代入值求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 13. 从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3、6、8、9，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图． 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的结果有2种， 所以抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率为． 14. 某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，再根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等建立方程求解即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，以线段为斜边画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 【答案】（1）如图①，等腰直角三角形即为所求． （2） 如图②，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图等腰直角三角形和轴对称图形，解题的关键是正确作出图形． （1）根据题意作出等腰直角三角形即可． （2）根据题意作出轴对称四边形即可． 【小问1详解】 解：理由：∵， ∴， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：如图，四边形是轴对称图形， ． 16. 如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数的图象于点（点在点下方），连接，的面积为． （1）求的值； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入求解即可； （2）设点的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点坐标求解即可； 【小问1详解】 解：∵正比例函数经过点， ， ． 【小问2详解】 解：∵轴，的面积为，点， ∴设点的坐标为， ， ， ， ， 将代入得，， ， 反比例函数的解析式． 17. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 【答案】（1），，40； （2）上午观众时间段的观众对电影的评分较高， ∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高； （3）此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【小问1详解】 解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 18. 如左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，求钢架支点到地面的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】钢架支点到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，解决本题的关键是构造适当的辅助线； 过作于点，得出四边形，四边形都为矩形，得出，，在 中，算出的长度，即可求解； 【详解】解：过点作于点， ，， 四边形、四边形都为矩形， ，． 在中， ， ， ， 钢架支点到地面的距离约为． 19. 如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度． （2）求出图中出租车行驶时路程与时间的函数解析式． （3）求学校到瓯华站的路程． 【答案】（1）米/分钟 （2） （3）米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发分钟时小州到达瓯华站，根据两人分别到达终点时的路程相等列关于m的方程并求解，将m的值作为t的值代入S与t的函数关系式，求出对应S的值即可． 【小问1详解】 解：（米/分钟）， 答：两人步行的速度是米/分钟； 【小问2详解】 解：（分钟）， （米）， 设与的函数解析式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与的函数解析式为； 【小问3详解】 解：设两人出发分钟时小温到达瓯华站，则两人出发分钟时小州到达瓯华站． ， 解得， 当时，． 答：学校到瓯华站的路程是米． 20. 【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ． 【特例分析】（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°． 【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值； 【问题解决】（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长． 【答案】（1）△PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8． 【解析】 【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，证明AF＝CP，利用旋转的旋转证明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，从而可得结论， （2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，再证明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性质可得答案， （3）分情况讨论：当P在CB的延长线上时，证明△APC≌△QPC，利用等边三角形的性质可得答案，当P在BC的延长线上时，连接AQ，利用等边三角形的性质，证明△ACQ≌△PCQ，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵PF∥AC， ∴∠BPF＝∠BFP＝45°， ∴△BPF是等腰直角三角形， ∴BF＝BP， ∴AF＝CP， 由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°， ∴∠QPC＝45°﹣∠APF， 又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF， ∴∠PAF＝∠QPC， ∴△APF≌△PQC， ∴∠PCQ＝∠AFP＝135°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠ACQ＝90°， 故答案为：△PQC，90； （2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则， 又∵AB＝BC， ∴AF＝CP， 又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB， ∴∠FAP＝∠CPQ， 由旋转可得，PA＝PQ， ∴△AFP≌△PCQ， ∴FP＝CQ， ∵PF∥AC， ∴△ABC∽△FBP， ∴， ∴ （3）如图，当P在CB的延长线上时， ∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠APC＝∠QPC， 又∵AP＝QP，PC＝PC， ∴△APC≌△QPC， ∴CQ＝AC， 又∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°， ∴BP＝AB＝BC＝PC＝2， ∴QC＝AC＝BC＝2； 如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ， 由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP， 又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°， ∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°， ∴∠CAP＝∠APA， ∴AC＝PC， ∴△ACQ≌△PCQ， ∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°， ∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8． 综上所述，线段CQ的长为2或8． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 21. 如图，在中，，，，是斜边的中点，动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线的同侧，设点的运动时间为秒． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】（1）当时，；当时， （2） （3）当时，；当，且时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，函数解析式的确定，掌握直角三角形的性质、解直角三角形的一般步骤是解题的关键． （1）由勾股定理得，由是斜边的中点可得，分和两种情况表示出的长； （2）当点Q落在上时，由，得，根据等腰三角形性质可得，即可得到答案； （3）分，，且时，三种情况，根据三角形的面积公式计算，得到S与t之间的函数关系式． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵是斜边的中点， ∴， ∵动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动， （秒）， ∴点P到达点D的时间为秒，点P到达点B的时间为秒， ∴当时，点从点向点运动， ∴， ∴； 当时，点从点向点运动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点落在边上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）； 【小问3详解】 解：①当时，与重叠部分图形的面积是四边形的面积，如图． 过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ 即； ②过点作交于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 由得 ∴， ∴， ∴， ∴，即点从点到点用时， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ③∵， ∴，即即点从点到点用时， 当时，如图， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，关于的函数关系式为：当时，；当，且时，；当时，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（、为常数）与轴交于点，顶点为，点为点右侧抛物线上的一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使取得最小值，求点的坐标； （3）若点的坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点按顺时针方向旋转得到点，连接，以、为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点落在矩形的边上时的值． 【答案】（1） （2） （3）①当时，；当时，；②或1或 【解析】 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点、是关于对称轴的对称点，连接点与点，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3）①根据点坐标为，点，线段的中点，得到，当即时，点在点的右侧，此时；当即时，点在点的左侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：把，点分别代入抛物线， 得， ， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【小问3详解】 解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点的左侧， 此时． 综上所述，关于的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在边上时，则点与点A重合， ∵， 此时，； 第二种情况，当点在边上时， 如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方， 点坐标为，， 则， ∴， ∴点P的纵坐标是， ∵点P为点右侧抛物线上一点， ∴， ∴解得或； 当点在点左边，此时矩形在直线上方， 点坐标为，， 则， ∴， ∴点P的纵坐标是， 同理解得或； 综上所述，当或或时，点落在矩形的边上． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程与，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $