专题2.8 圆与圆的位置关系（8类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.8 圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 3 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 6 【考点3：两圆的公切线长】 8 【考点4：求两圆的公切线方程】 12 【考点5：两圆的公切线条数问题】 17 【考点6：相交圆的公共弦方程】 20 【考点7：相交圆的公共弦长】 24 【考点8：圆系方程及其应用】 28 【知识梳理】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 ，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 若圆C1与C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点 满足x02＋y02＋D1x0＋E1y0＋F1＝0且x02＋y02＋D2x0＋E2y0＋F2＝0，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（  　  ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】利用圆心距跟半径的和差关系，判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆心距 ， 所以两圆外切. 故选：D 2．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（     ） A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 【答案】C 【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断. 【详解】由两圆的标准方程可得，，，； 则，所以两圆不可能内含. 故选：C. 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】D 【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可. 【详解】由，则，半径， 由，则，半径， 所以，即两圆相交. 故选：D 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西渭南·期末）圆与圆的位置关系是（　　　　） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】A 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，与半径和与差比较得答案. 【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为2； 圆的圆心坐标为，半径为7. ； ∴圆与圆的位置关系是内切. 故选：A. 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键，是基础题. 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【答案】 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 3．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是 . 【答案】或2 【分析】先由圆的标准方程得到两圆的圆心与半径，再利用两圆内切得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径， 因为圆与圆内切， 所以，解得或. 故答案为：或2. 4．（24-25高二上·北京·期中）已知和相交，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】求出圆的圆心与半径，由题意可得两圆圆心距小于半径 之和且大于半径之差，分别讨论或列出关系式，即可解得的取值范围. 【详解】由得圆心为，半径为， 因为和相交， 当，所以，解得； 当，所以，解得. 故答案为：或. 5．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 【考点3：两圆的公切线长】 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 3．（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 4．（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    5．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 6．（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 【考点4：求两圆的公切线方程】 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 3．（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两圆相切求得公切线方程即可． 【详解】解：、， ， ∴ 两圆相切， 的中点坐标为，， 所以内公切线方程为， 整理得． 设外公切线方程为， 到外公切线的距离为， 解得或， ∴ 外公切线方程为或． 故选：ACD． 4．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 5．（2025·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 【答案】 【分析】由对称性，设圆心在直线，，，则，利用两圆的交点，可得是方程的两根，根据韦达定理，结合半径之积即可求解. 【详解】由题意，圆心都在轴与直线组成角的角平分线上． 若直线的斜率，设，则． 圆心在直线上，可设． 交点在第一象限，， 所以． 所以 即 所以是方程的两根，于是． 由半径的积，得，故． 所以，直线的方程为． 【考点5：两圆的公切线条数问题】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【点睛】知识点点睛：两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    2．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的公切线的条数为 . 【答案】4 【分析】由已知对称性求得值，求出圆心距，确定两圆的位置关系后可得公切线的条数． 【详解】圆的圆心为，半径，圆的标准方程为， ，半径为， 圆关于直线对称，，， ，半径为，， 两圆相离，公切线有4条． 故答案为：4. 4．（24-25高二上·山西·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数是 【答案】4 【分析】由题意，明确两圆的圆心和半径，根据两个圆的位置关系，可得答案. 【详解】即，则圆心，半径， 即，则圆心，半径， 圆心距，两圆外离 故圆与圆的公切线条数是4. 故答案为：4. 5．（2025高二·黑龙江·学业考试）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是 . 【答案】 【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数. 【详解】解：由圆，可得：， 可得其圆心为，半径为； 由，可得， 可得其圆心为，半径为2； 所以可得其圆心距为：， 可得：， 故两圆相交，其公切线条数为, 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题. 6．（24-25高二下·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 【考点6：相交圆的公共弦方程】 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 5．（多选）（24-25高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 【答案】 【分析】连接，根据已知求出相应线段的长度，判断出为两个圆的公共弦所在直线，求出即可. 【详解】连接，如图所示， 中，，， 又因为为圆的切线，所以， 于是，同理， 即在以为圆心，4为半径的圆上, 所以有， 所以是和的公共弦， 联立 两式相减得所在直线的方程为： ，即. 【考点7：相交圆的公共弦长】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 3．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 4．（24-25高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 【考点8：圆系方程及其应用】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 【答案】ABC 【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆. 【详解】因为圆和圆：相交于，两点， 所以两圆有两条公切线，故A正确． 圆和圆的方程相减得， 所以直线的方程为，故B正确． 圆心到直线的距离为，所以线段的长为： ，故C正确． 因为，，所以，恒成立， 即过，两点的圆的方程可化为， 而恒成立， 所以方程表示圆系， 但此圆系不包括圆，故D不正确． 故选：ABC． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程． 【答案】 【分析】设两圆交点系方程为，求得圆心坐标代入直线求得圆的方程. 【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 ．所以圆的方程为． 故所求圆方程为： 3．（24-25高三下·吉林延边·阶段练习）求过两圆与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程. 【答案】直线方程为：；圆的方程为：. 【分析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程. 【详解】由题意，过两圆交点的圆系方程为：， 令，得， 故所求直线方程为：； 对圆系方程化简整理得：， ∴圆心的坐标为， 而圆心在直线上， 从而，解得， 代入圆系方程得，. 故所求圆的方程为：. 4．（2025高三下·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 5．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知圆，与圆和直线：． （1）求过两圆的交点的直线方程； （2）求圆心在直线上且过两圆交点的圆的方程． 【答案】（1）；（2）（或）． 【分析】(1)两圆的方程作差即为答案. (2)方法一：两圆联立方程求得两圆交点的所在弦的中垂线方程，在于已知直线联立即可得所求圆圆心坐标，进而得答案； 方法二：采用圆系方程，再根据圆心在直线：上求解即可. 【详解】（1）圆与圆方程作差得：， 即：，故过两圆的交点的直线方程为： （2）方法一： 设两圆交点为，，由方程组 ，求得或， 故点、，因此的中垂线方程为． 再由，求得， 故圆心为，， ∴所求的圆的方程为， 方法二：设经过圆和圆的交点的圆的方程为 ， 即，则圆心坐标为． 由圆心在直线上，得， 解得，故所求圆的方程为． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，圆的方程的求解，考查运算求解能力，是中档题. 圆系方程：过圆和圆的交点的圆的方程为：. 6．（24-25高二·全国·单元测试）已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距C1C2 大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和，证得两圆相交． （2）设过两圆交点的圆的方程为 x2+y2+4x-4y+4+λ（x2+y2+2x）=0，把点（-2，3）代入求得，可得所求的圆的方程． 【详解】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交． （2）设过两圆交点的圆的方程为． 把点代入，求得． 故所求圆的方程为， 即． 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系的判断方法，用待定系数法求圆的方程，属于中档题． 7．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程及弦长； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）两圆方程作差即可整理得到所求直线方程； （2）由过两圆交点的圆系方程求出圆心，代入直线方程可求出，由此可得圆的方程. 【详解】（1）两圆方程作差可得：，即， 由可得， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 即过两圆交点直线为，弦长为. （2）设过两圆交点的圆的方程为，且， 则，， 由圆心在直线上，则， 解得， 所以所求圆的方程为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 3 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 4 【考点3：两圆的公切线长】 5 【考点4：求两圆的公切线方程】 6 【考点5：两圆的公切线条数问题】 7 【考点6：相交圆的公共弦方程】 7 【考点7：相交圆的公共弦长】 8 【考点8：圆系方程及其应用】 10 【知识梳理】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 ，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 若圆C1与C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点 满足x02＋y02＋D1x0＋E1y0＋F1＝0且x02＋y02＋D2x0＋E2y0＋F2＝0，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（  　  ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（     ） A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．内切 D．相交 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．（24-25高一上·陕西渭南·期末）圆与圆的位置关系是（　　　　） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 3．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是 . 4．（24-25高二上·北京·期中）已知和相交，则的取值范围是 . 5．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【考点3：两圆的公切线长】 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 3．（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 4．（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 6．（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【考点4：求两圆的公切线方程】 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 3．（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 【考点5：两圆的公切线条数问题】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的公切线的条数为 . 4．（24-25高二上·山西·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数是 5．（2025高二·黑龙江·学业考试）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是 . 6．（24-25高二下·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【考点6：相交圆的公共弦方程】 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 5．（多选）（24-25高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 【考点7：相交圆的公共弦长】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 3．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 4．（24-25高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【考点8：圆系方程及其应用】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 2．（24-25高二上·全国·课后作业）求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程． 3．（24-25高三下·吉林延边·阶段练习）求过两圆与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程. 4．（2025高三下·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 5．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知圆，与圆和直线：． （1）求过两圆的交点的直线方程； （2）求圆心在直线上且过两圆交点的圆的方程． 6．（24-25高二·全国·单元测试）已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 7．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程及弦长； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$