专题3.5 直线与双曲线的位置关系讲义（12类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题3.5 直线与双曲线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】 4 【考点2：求双曲线的切线方程】 6 【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 9 【考点4：求双曲线的弦长】 12 【考点5：双曲线的中点弦问题】 17 【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 21 【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】 26 【考点8：双曲线中的定点问题】 33 【考点9：双曲线中的定值问题】 40 【考点10： 双曲线中的动点在定直线上问题】 48 【考点11： 双曲线中的向量问题】 56 【知识梳理】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 4．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 5．三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 6．四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 7．求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. 8．涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 9．圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 10．解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】 1．（25-26高三上·北京海淀·阶段练习）与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 2．（24-25高二下·广东·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得的坐标和渐近线方程，得到，进而得到直线与双曲线的交点个数. 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）双曲线与直线的公共点个数 ； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 故答案为：0或1. 4．（24-25高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 5．（2025高三·全国·专题练习）直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示，    所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 【考点2：求双曲线的切线方程】 1．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 3．（2025高三·全国·专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程． 【答案】 【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解 【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线； 若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：， 由已知，即， 解得：，故所求切线的方程为：，即：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程． 【答案】. 【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立后用求出，从而求出切线方程. 【详解】设出切线方程为， 与联立得：， 由， 解得：，代入得切线方程为． 5．（2025高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】 （1）由双曲线上一点处的切线方程为， 所以双曲线在点处的切线方程为， 化简可得. （2）设切点，则，， 又点在直线上，代入可得，， 所以点均在直线上， 所以直线的方程为，即. 【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）直线l：与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和双曲线有一个公共点，得到直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切，然后进行求解即可． 【详解】解：由得，即双曲线的渐近线为， 当直线l：与渐近线，平行时，直线l：与双曲线仅有一个公共点， 此时时， 当时， 直线l：恒过定点，且在双曲线的内部， 则直线l不可能与双曲线相切， 满足条件的k的值为， 故选C． 【点睛】本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，结合直线和双曲线只有一个公共点，转化为直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切是解决本题的关键． 2．（2025·北京·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线，若过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，则该双曲线离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，点在双曲线C上. 【详解】直线为双曲线的两条渐近线， 由于点不在双曲线的渐近线上，且只能作双曲线的一条切线，所以该点在双曲线上， 则有，所以，双曲线方程为，. 则， 离心率. 故选：D. 4．（25-26高二上·山西运城·阶段练习）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，联立直线与曲线方程，设两交点为，，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果. 【详解】由消去得，整理得， 设直线与曲线的两交点为，， 其中，，则，解得， 又，解得， 综上，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定，考查学生的计算能力，属于常考题型. 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得出答案. 【详解】解：由曲线得，当时，； 当时，；直线恒过点， 所以直线与曲线的图象如图. 当直线与相切时， 此时，得，解得， 当直线与平行时，， 直线与曲线要恰有2个公共点，可得. 故选:A. 【考点4：求双曲线的弦长】 1．（2025高三·全国·专题练习）过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】根据题意，分直线斜率不存在与存在时，设，，联立得，利用弦长公式得到，再根据方程求解即可. 【详解】由题知双曲线右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，， ， ， ， 则或， 综上，这样的直线有4条. 故答案为：4. 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【答案】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】    设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 4．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求，由关系求，写出方程； （2）由已知可得，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由已知可得，所以，所以， 所以的方程为. （2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以， 所以直线的斜率，方程为， 由，得， 设，则， 所以. 5．（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1)曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线 (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． （2）根据已知作图如下．    由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 【考点5：双曲线的中点弦问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 2．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 3．（25-26高二下·上海·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的直线，理由见解析 【分析】（1）设直线与椭圆的交点为，代入椭圆方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程； （2）设，代入双曲线方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然后将直线方程代入双曲线方程检验即可. 【详解】（1）设直线与椭圆的交点为． 因为，所以点在椭圆内， 为的中点，． 又两点在椭圆上，则， 两式相减得， 于是， ，即， 故所求直线的方程为，即． （2）设存在被点平分的弦，且， 则，， 两式相减，得， 故直线． 由，消去得， ． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为. (1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求. (2)当直线的斜率为3时，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解； （2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解. 【详解】（1） 因为，所以. 又设，因为， 所以. 而圆心不在坐标轴上，从而， 所以. 所以， 又，所以. （2）设直线，与联立，化简并整理得：， 其中. 设， 所以， 即点坐标为. 因为，所以，而， 即，解得. 因此，所以. 【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 1．（25-26高三上·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 2．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据双曲线上的点，结合三角形面积求法，数形结合分析判断的面积最值情况. 【详解】的渐近线方程为，点，在渐近线上，如下图， 当点在点处时，点到渐近线的距离取得最大值， 当点远离轴时，点到渐近线的距离趋于0， 所以的面积有最大值，但无最小值. 故选：A 3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 4．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【详解】（1）由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 5．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【详解】（1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. （2）由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. 【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，设出点的坐标，再结合二次函数性质分段求解即得. 【详解】求解双曲线的方程有两种方法： 法一：设的标准方程为， 依题意，，解得，， 因此的标准方程为； 法二：由渐近线与平行，可设渐近线方程为， 设双曲线的方程为，即， 由焦点为，得且，解得， 因此的标准方程为， 设，，则，因, 则， 当，即时，则当时，，则（舍去）； 当，即时，则当时，，不合题意. . 故答案为：2 2．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 3．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由，求得，再由题意，得到，求得的值，即可求得的方程； （2）（ⅰ）设直线，联立方程组求得，，结合直线的斜率公式，进行化简，即可求解； （ⅱ）设直线，得到，联立方程组，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为．    5．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D． （ⅰ）求证：直线过定点E； （ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义确定双曲线参数，即可得的轨迹； （2）（i）设，则，直线，联立双曲线并写出韦达定理，结合化简整理得，即可证；（ii）设，，联立双曲线并应用韦达定理，结合得到，应用换元法及对勾函数性质求其最小值. 【详解】（1）由在线段的垂直平分线上，则， 点是圆上任意点，则，， 所以， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线， 对应双曲线参数为，则轨迹方程为； （2）（i）设，则，直线， 联立双曲线，得， ，且，， 由，则， 整理得， 又，， 所以，显然直线过定点，得证； （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 所以，可设，，联立双曲线， 整理得，，则， 则，， ， 令，则， 又在上单调递减，则，此时，即， 所以最小. 【考点8：双曲线中的定点问题】 1．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N.  证明：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的概念和离心率的定义，求出双曲线参数，求出结果. （2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由题设且，则， 由轴时，， 不妨令，代入双曲线得，所以， 则所求方程为； （2） 设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线，消去得， 则， 所以，由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，因为，所以， 而，则，所以过定点； 2．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得，即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得，即可判断定点. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 3．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【分析】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得．    4．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； （2）利用点差法求直线的方程即可； （3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 【考点9：双曲线中的定值问题】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 2．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可知，，解方程即可求出双曲线方程； （2）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再可得两根之和与两根之积的关系，求出的表达式，化简即可求解定值. 【详解】（1）由双曲线E的焦距为，可得，即， 又其中一条渐近线方程为，可得， 而，则，解得，， 所以双曲线E的方程为； （2）由（1）可知，设，． 因为C、D与A、B不重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，， 所以，，， 所以， 即为定值．    3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）将点代入求参数即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，联立得到，，再利用弦长求参数即可求解； （ⅱ）由题知直线，进而得到，同理可得，利用，代入计算即可证明. 【详解】（1）由题可知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为， 联立，得， 设，， 则且， 解得，，， ， 解得，所以l的方程为． （ⅱ）证明：直线，令，得， 同理可得，故，． 记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为， 所以 由（1）知，，， 所以 ， 所以，为定值． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的上、下焦点分别为，．已知点，均在双曲线上，其中e为双曲线的离心率．    (1)求双曲线的离心率； (2)设A，B是双曲线上位于y轴右方的两点，且，与交于点P．证明：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点，代入双曲线方程，结合，可以解出的值，进而求出离心率 （2）设B关于原点对称的点为C，则，再利用三角形相似和双曲线的性质，将转化为，然后结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）将点，代入双曲线方程， 得结合， 解得，，， 故双曲线的离心率为． （2）由（1）得双曲线的方程为， 如图，设B关于原点对称的点为C，则，， 故四边形为平行四边形，则，    设直线的方程为，，， 联立消去得， 则，， 且，， 解得． 因为， 由相似三角形得， 所以 ． 因为 ． 所以，为定值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线l的方程为，由点到直线的距离公式即可求得. （2）①假设直线的斜率为0，可得，②当直线，的斜率均不为0时，设的方程为，的方程为，，，，，分别联立与双曲线方程，可得，同理，由A，P，C三点共线，可得，同理得，化简即可求解. 【详解】（1）由焦点坐标得． 根据对称性可设直线l的方程为． 由到l的距离为得， 将代入得，所以， 故E的方程为． （2）①根据对称性假设直线的斜率为0，则A，B分别为E的两个顶点，故无论的斜率为多少总能得到P，Q分别与A，B重合， 由（1）得，即； ②当直线，的斜率均不为0时，如图：    设的方程为，的方程为，，，，， 联立，消去得，，解得， 此时，同理． 设，， 因为A，P，C三点共线， 所以，即， 将，代入得． 因为B，Q，D三点共线，所以，即， 将，代入得． 故 ， 综上，为定值0． 【考点10： 双曲线中的动点在定直线上问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 【答案】 【分析】解法一：利用导数得出在和在的切线方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上； 解法二：利用阿基米德三角形的结论直接求解即可. 【详解】解法一：依题意得直线AB的斜率必不为0，设直线AB的方程为， 不妨设在第一象限，在第四象限， 因为，所以，则， 且，求导得，则， 所以在点的切线方程为， 即，即， 同理在点处的切线方程为， 由，得点的横坐标为， 又， 所以， 所以的横坐标为，即点在定直线上． 解法二：已知双曲线的弦， 过A，B分别作双曲线的切线，两切线交于点，则为双曲线中的阿基米德三角形， 当弦AB过点时，点落在直线上． 由题意知此处，则所求定直线为直线． 故答案为：. 2．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解； （2）（i）设出直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式可证明，即可得证； （ii）设直线方程，联立圆的方程可得点坐标，求出，得出直线方程，联立方程求出点横坐标为定值得证. 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 5．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 【考点11： 双曲线中的向量问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ． 【答案】 【分析】不妨设为右焦点，写出弦所在直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，利用可得，联立即可求得答案；另解：可利用相关结论求解. 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设为右焦点，由双曲线方程得， 过且斜率为1的直线交于两点， 则弦所在直线方程为，与双曲线方程联立， 消去得．设，， 由根与系数关系得，， 由知， 则，由知，联立， 解得或（舍去）． 另解：由题意得，，则，所以． 因为直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则， 又双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线一支交于两点． ，故令， 因为，则． 由，得，所以． 故答案为： 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 4．（25-26高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）依题意求出和，进而求出，即可得双曲线方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元后根据韦达定理可得，，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，即可求出的值. 【详解】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，，所以． 因此，的方程为． （2）设，， 联立方程消去，得， 因为直线与相交于两点， 所以即且， 由韦达定理，得，， 又，， 所以， 即，所以， 将韦达定理代入上式，得，即， 解得，满足且， 因此，的方程为或． 5．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 直线与双曲线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】 4 【考点2：求双曲线的切线方程】 4 【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 6 【考点4：求双曲线的弦长】 6 【考点5：双曲线的中点弦问题】 8 【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 10 【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】 11 【考点8：双曲线中的定点问题】 15 【考点9：双曲线中的定值问题】 18 【考点10： 双曲线中的动点在定直线上问题】 22 【考点11： 双曲线中的向量问题】 25 【知识梳理】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 4．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 5．三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 6．四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 7．求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. 8．涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 9．圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 10．解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】 1．（25-26高三上·北京海淀·阶段练习）与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）双曲线与直线的公共点个数 ； 4．（24-25高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【考点2：求双曲线的切线方程】 1．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 3．（2025高三·全国·专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程． 5．（2025高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）直线l：与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为 A． B． C． D． 2．（2025·北京·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线，若过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，则该双曲线离心率（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西运城·阶段练习）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点4：求双曲线的弦长】 1．（2025高三·全国·专题练习）过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 4．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 5．（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【考点5：双曲线的中点弦问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 2．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 3．（25-26高二下·上海·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为. (1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求. (2)当直线的斜率为3时，求点坐标. 【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 1．（25-26高三上·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 4．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 5．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ． 2．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 3．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 5．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D． （ⅰ）求证：直线过定点E； （ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值． 【考点8：双曲线中的定点问题】 1．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N.  证明：直线过定点； 2．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 3．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【考点9：双曲线中的定值问题】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 2．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的上、下焦点分别为，．已知点，均在双曲线上，其中e为双曲线的离心率．    (1)求双曲线的离心率； (2)设A，B是双曲线上位于y轴右方的两点，且，与交于点P．证明：是定值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 【考点10： 双曲线中的动点在定直线上问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 2．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 5．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【考点11： 双曲线中的向量问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 5．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $