专题3.4 双曲线的标准方程及其性质（12类必考点）讲义-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题3.4 双曲线的标准方程及其性质 【知识梳理】 1 【考点1：判断方程是否是双曲线】 3 【考点2：由方程是双曲线求参数范围】 5 【考点3：求双曲线的标准方程】 7 【考点4：求双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点坐标】 9 【考点5：利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值】 11 【考点6：双曲线中的焦点三角形问题】 14 【考点7：利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 18 【考点8：求双曲线的轨迹方程】 22 【考点9：双曲线中x，y的范围】 26 【考点10：双曲线的渐近线】 29 【考点11：求双曲线的离心率或离心率范围】 31 【考点12：双曲线的实际应用】 35 【知识梳理】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 4．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 5．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 6．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 7．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【考点1：判断方程是否是双曲线】 1．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 3．（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆的标准方程得出相应的的取值范围，可得ABD正确，再根据抛物线标准方程可C错误. 【详解】由椭圆标准方程可知当且时， 即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确； 由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确； 由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误； 根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确. 故选：ABD 4．（多选）（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知方程：其中m为参数，下列正确的有（    ） A．若，则方程表示y轴 B．若，则方程表示圆 C．若，则方程表示椭圆 D．若，则方程表示双曲线 【答案】BD 【分析】对于A、B、C，将的值代入方程即可判定；对于D，由双曲线方程特点可分析的取值范围. 【详解】当时，方程为 ，即，表示x轴，故A错误； 当时，方程为 ，即，表示圆，故B正确； 当m 且m 时，方程为 ， 若且 时，即且m 时，方程表示椭圆，故C错误； 若，即或时，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BD 【考点2：由方程是双曲线求参数范围】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 5．（2025·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 【考点3：求双曲线的标准方程】 1．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 3．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 4．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·阶段练习）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法来求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质，通过已知条件建立方程组求出双曲线方程中的参数、的值，进而得到双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得， ，.因此双曲线的方程为. 故答案为：. 【考点4：求双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点坐标】 1．（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解. 【详解】由 可得其焦点坐标为：，顶点坐标 所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为， 所以椭圆方程为：， 故选：C 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，， 故答案为：4． 4．（25-26高二上·全国·课前预习）双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义及已知可得，即可得. 【详解】由题设，双曲线参数，又， 则，所以. 故答案为：2 5．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】根据双曲线可得，可知可知椭圆焦点在y轴上，且，即可得结果. 【详解】因为双曲线与的焦距相等， 则，可得，即， 对于椭圆可知其焦点在y轴上，且， 所以椭圆的焦点坐标为. 故答案为：. 【考点5：利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值】 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．18 C．2或18 D．以上均不对 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由，得， 根据双曲线的定义得，则或18， 又，故. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A.    3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 5．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】考虑点P在双曲线的两支，左支时，由双曲线定义可得，右支时，，据此可得答案. 【详解】因双曲线为，则. 为双曲线上一点，当在左支上时，由双曲线定义可得: , 当且仅当三点共线时取等号； 当在右支上时，， 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 又，则的取值范围为． 【考点6：双曲线中的焦点三角形问题】 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理和双曲线定义可求得，采用面积法可构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：，    在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则 ． 【答案】9 【分析】不妨设在右支在左支上，设，，在、中，由余弦定理求出可得答案. 【详解】双曲线中，， 由于渐近线方程为,一三象限的渐近线倾斜角为，故直线与双曲线交于左右两支， 不妨设在右支在左支上，如图所示， 设，， 则，， 在中，由余弦定理得， 化简得， 在中， 由余弦定理得， 可得，所以． 故答案为：9.    3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率.    故选：D 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【详解】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 【考点7：利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 4．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 【考点8：求双曲线的轨迹方程】 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到为等腰三角形，从而，进而得到的轨迹是一条双曲线，求出，，从而得到轨迹方程. 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点的轨迹方程. 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 4．（2025·全国·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】讨论，结合双曲线、椭圆及圆的性质求对应轨迹即可. 【详解】当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以． 所以点的轨迹是以为焦点，实轴的双曲线； 当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以是以为焦点，长半轴的椭圆； 当时，的垂直平分线必过圆心，此时； 当时，点的轨迹为圆. 【考点9：双曲线中x，y的范围】 1．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 3．（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意可得，，，从而可得到的取值范围，进而即可判断A；根据题意整理双曲线方程即可判断B；根据题意即可求得双曲线的渐近线方程，进而即可判断C；当时，有，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意得，，，所以，故A正确； 对于B，依题意得，则，所以，故B正确； 对于C，依题意得双曲线的渐近线方程为，所以，故C正确； 对于D，依题意得，则当时，有，此时，故D错误． 故选：ABC． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解； （2）设出坐标，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴，坐标为，， 所以可设双曲线的方程为， 由已知，所以， 又因为双曲线与双曲线有公共的焦点，所以， 解得， 所以双曲线的方程为； （2） 由，可得或， 设，因为是双曲线上的任意一点， 所以，则或， ， 因为或， 所以当时，有最小值. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据相同渐近线方程可得双曲线方程为，即可根据实轴求解， （2）根据点点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为, ①当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为,即 ②当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为或 （2）设P点的坐标为，则满足， . 则当时，有最小值为. 【考点10：双曲线的渐近线】 1．（2025·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 . 【答案】2 【分析】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知其右焦点为， 其中一条渐近线方程为，即， 故右焦点到这条渐近线的距离为. 故答案为：2. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 3．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：； 故选：C 4．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 5．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角为求出，再根据必要不充分条件的概念进行判断. 【详解】双曲线的两渐近线夹角为， 所以或，所以或. “或”是“”的必要不充分条件. 故选：C 【考点11：求双曲线的离心率或离心率范围】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线与离心率的关系即可求解． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴， ∴双曲线的离心率为， 故选：B． 2．（2025高三·北京·专题练习）若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，则. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且，    所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 5．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 【考点12：双曲线的实际应用】 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm. 【答案】/ 【分析】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 2．（24-25高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 【答案】 【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为， 即可得，因此离心率为； 设双曲线的方程为，将代入计算可得， 解得； 所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出实半轴长. 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 4．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案. 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 5．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 6．（24-25高二上·山东潍坊·期末）、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【答案】P在北东方向 【分析】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，求得点所在的曲线方程，再与线段的垂直平分线联立解得的坐标，从而求得炮击的方位角． 【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意， ∴在以为焦点的双曲线的右支上． 其中，其方程为， 又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：， 由方程组解得，即. 由于，可知在北东方向．    第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 双曲线的标准方程及其性质 【知识梳理】 1 【考点1：判断方程是否是双曲线】 3 【考点2：由方程是双曲线求参数范围】 3 【考点3：求双曲线的标准方程】 4 【考点4：求双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点坐标】 5 【考点5：利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值】 5 【考点6：双曲线中的焦点三角形问题】 6 【考点7：利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 8 【考点8：求双曲线的轨迹方程】 8 【考点9：双曲线中x，y的范围】 9 【考点10：双曲线的渐近线】 11 【考点11：求双曲线的离心率或离心率范围】 11 【考点12：双曲线的实际应用】 12 【知识梳理】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 4．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 5．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 6．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 7．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【考点1：判断方程是否是双曲线】 1．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 4．（多选）（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知方程：其中m为参数，下列正确的有（    ） A．若，则方程表示y轴 B．若，则方程表示圆 C．若，则方程表示椭圆 D．若，则方程表示双曲线 【考点2：由方程是双曲线求参数范围】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 5．（2025·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【考点3：求双曲线的标准方程】 1．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·阶段练习）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 5．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【考点4：求双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点坐标】 1．（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 4．（25-26高二上·全国·课前预习）双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 5．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 【考点5：利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值】 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．18 C．2或18 D．以上均不对 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 5．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【考点6：双曲线中的焦点三角形问题】 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则 ． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【考点7：利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 2．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 4．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【考点8：求双曲线的轨迹方程】 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 4．（2025·全国·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 【考点9：双曲线中x，y的范围】 1．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 3．（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 【考点10：双曲线的渐近线】 1．（2025·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 . 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为 ． 3．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点11：求双曲线的离心率或离心率范围】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·北京·专题练习）若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点12：双曲线的实际应用】 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm. 2．（24-25高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 5．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（24-25高二上·山东潍坊·期末）、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $