精品解析：安徽省合肥四十六中南校区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

安徽省合肥四十六中南校区2024-2025学年（下）七年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小到原来的 6. 五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是元，可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（　　） A. ﹣2π B. 1﹣2π C. ﹣π D. 1﹣π 8. 如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A. B. C. D. 9. 若不等式组的整数解共有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中错误的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 12. 一种微型电子元件的半径约为0.000025米，把0.000025用科学记数法可表示为_____． 13. 如图，AB、CD相交于点O，OB平分．若，则的度数是________． 14. 如图，将一块含45°的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，则∠2的度数是_____． 15. 如果解关于x的分式方程时出现了增根，那么a的值为______. 16. 如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则_______． 三、解答题（本题共6小题，共46分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF． （1）画出平移后的三角形DEF； （2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同． （1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价； （2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？ 21. 已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 22. 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形． （1）用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；利用上面所得的结论解答：已知，，求的值． （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ． ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 附加题（本题5分，计入总分，但总分不超过100分） 23. 一个三位数正好等于它的各位数字和的13倍，满足条件的正整数是__ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥四十六中南校区2024-2025学年（下）七年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； B．，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D．，是正整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故不符合题意， B．，原式计算错误，故不符合题意， C．，原式计算正确，故符合题意， D．，原式计算错误，故不符合题意， 故选：C． 3. 已知，下列不等式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， 两边同时加上2得，则A不符合题意， 两边同时乘以2得，则B不符合题意， 两边同时除以得，则C不符合题意， 两边同时乘以2再同时减去1得，则D符合题意， 故选：D． 4. 下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 5. 若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 6. 五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是元，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设该纪念品的原价是元，表示出现价，然后利用购买的个数的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设该纪念品的原价是元，根据题意得， ， 故选：A． 7. 如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（　　） A. ﹣2π B. 1﹣2π C. ﹣π D. 1﹣π 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点及π的值即可解答． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边． ∴A点对应的数是1﹣2π． 故选B． 【点睛】本题考查的是数轴的特点及圆的周长公式．圆的周长公式是：L＝2πr． 8. 如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 9. 若不等式组的整数解共有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数得出的范围即可． 【详解】解：解不等式组得：， 不等式组的整数解共有两个是和， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出是解此题的关键． 10. 已知实数a，b满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中错误的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，不等式，根据等式的性质求出c值是本题解题的关键 先根据完全平方的非负性判断①，再根据两个等式求出c的值，根据c的正负判断③，最后根据完全平方式判断④即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故①正确； ∵a，b满足， ∴， ∵， ∴， ∴ 故②正确； ∵ ∴ ∴； 故③错误； ∵， ∴不一定等于3，即不一定等于， 故④错误； 综上所述，错误的有两个． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义即分母不为0，由此列式计算即可． 【详解】解：若要使分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 12. 一种微型电子元件的半径约为0.000025米，把0.000025用科学记数法可表示为_____． 【答案】2.5×10﹣5 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 025＝2.5×10﹣5 故答案为2.5×10﹣5 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 如图，AB、CD相交于点O，OB平分．若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得出∠BOD的度数，根据角平分线的性质可得出∠DOE． 【详解】解：∵∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴∠BOD=∠AOC=30°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE=2∠BOD=60°． 故答案为：60°． 【点睛】此题考查了对顶角及角平分线的性质，属于基础题，比较简单． 14. 如图，将一块含45°的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，则∠2的度数是_____． 【答案】80° 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠2 的度数． 【详解】解：如图，由平行线的性质，可得∠3＝∠2， ∵∠1＝∠4＝35°，∠A＝45°， ∴∠3＝∠A+∠4＝80°， ∴∠2＝80°， 故答案为80°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 15. 如果解关于x的分式方程时出现了增根，那么a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据增根使分母为0，可求出增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求值即可. 【详解】解：分式方程变形为 分式方程有增根 方程两边同乘以得： 将代入得 故答案为 【点睛】本题考查了分式方程的增根，已知增根求方程中参数值分三步计算①由分母等于0确定增根的值；②将分式方程化为整式方程；③将增根代入整式方程求值.正确理解增根的含义是解题的关键. 16. 如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ． 图① 图② 三、解答题（本题共6小题，共46分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握零指数幂和算术平方根的定义是解题的关键． 先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简所求式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF． （1）画出平移后的三角形DEF； （2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值． 【答案】 （1）如图所示，△ABC即为所求； （2）3或4. 【解析】 【分析】（1）根据平移的定义作出三顶点分别平移得到对应点，再顺次连接可得； （2）根据所作图形可得结论． 【详解】（1）略 （2）由图知，n=3或4． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，准确找出对应点的位置是解题的关键，熟悉网格结构对解题也很关键． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同． （1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价； （2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？ 【答案】（1）金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； （2）最多可以购进哪吒磁性书签80个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解 ∴ ∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； 【小问2详解】 设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个 根据题意得， 解得 ∴最多可以购进哪吒磁性书签80个． 21. 已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【答案】；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 22. 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形． （1）用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；利用上面所得的结论解答：已知，，求的值． （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ． ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 【答案】（1）；6 （2）① ②90 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，根据面积以及体积关系，列代数式得出等式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积可以用边长乘边长表示，也可以用一个大正方形和四个小长方形的面积的差来表示可得到结果；根据获得的等式代入求值即可， （2）①根据该正方体的体积以及该几何体可以拆为8个小几何体，即可得到结果； ②根据①得到公式变形，代入已知数据即可求得结果； 【小问1详解】 解：由图1可知， 小正方形的边长为，所以图1中阴影部分的面积可表示为：． 图1中大正方形的面积为，周围四个小长方形的面积之和为，所以图1中阴影部分的面积可表示为：， 由此可得：． 因为，， 所以， 所以（舍负）． 故答案为：． 【小问2详解】 ①由图2可知， 大正方体的体积可表示为：． 大正方体的体积还可表示为八个小长方体的体积之和： ， 所以． ②因为， ∴ 又∵，， ∴， 故． 附加题（本题5分，计入总分，但总分不超过100分） 23. 一个三位数正好等于它的各位数字和的13倍，满足条件的正整数是__ ． 【答案】117或156或195 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，设这个正整数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，根据这个正整数正好等于它的各位数字和的13倍，可列出关于x，y，z的三元一次方程，由（且为整数），可确定，代入后可得出，再结合（且为整数），即可得出结论． 【详解】解：设这个正整数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z， 根据题意得：， ∴，即， ∵（且为整数）， ∴， ∴， ∵（且为整数）， ∴， ∴， ∵（且为整数）， ∴或或， ∴满足条件的正整数是117或156或195． 故答案为：117或156或195． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $