浙江杭州市萧山区第八高级中学2025届高三上学期期初考试数学模拟卷1

北斗联盟学校25届高三第一学期期初考试模拟卷1 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知,则在复平面内,复数对应的点位于( ) A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 直线上 D. 直线上 3.若为一组从小到大排列的数,,,,,的第百分位数,在的展开式中,的系数为( ) A. B. C. D. 4.已知,则( ) A. B. C. D. 5.若函数为上的奇函数,且当时,,则( ) A. B. C. D. 6.已知随机变量,若,,,则的最小值是( ) A. B. C. D. 7.已知实数,满足,则下列关系一定正确的是( ) A. B. C. D. 8.在长方体中,已知,点为底面内一点,若和底面所成角与二面角的大小相等,点在底面的投影为点,则三棱锥体积的最小值为 A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.有两组数据,数据:,,,,和数据:,,,,,则( ) A. 数据的平均数小于数据的平均数 B. 数据的方差小于数据的方差 C. 数据的极差小于数据的极差 D. 数据的中位数小于数据的中位数 10.已知圆,为圆上的动点,则( ) A. 圆心关于直线的对称点为 B. 动点到直线的距离最大值为 C. 以为直径的圆与圆有条公切线 D. 分别过,两点所作的圆的切线长相等 11.已知曲线,则下列结论正确的是( ) A. 曲线不经过第三象限 B. 曲线的渐近线方程为和 C. 曲线在第二象限内的点的纵坐标的最小值为 D. 若圆与曲线交于,两点,则直线的斜率小于 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若,均为单位向量,且,则 . 13.记为数列的前项和,且,若每个数字出现的概率相同,则是奇数的概率为 . 14.已知双曲线的右焦点,过点作直线交双曲线左右两支于两点,且,过点作直线的垂线交双曲线于点,若点、两点关于原点对称,则双曲线的离心率为 . 四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知在中,角,,的对边分别是,,,且. 求角的大小; 若,,求的面积. 16.本小题分 如图所示的四棱锥中,平面,,. 证明:平面平面 若,,,,,,在同一个球面上,设该球面的球心为. 证明:在平面上 求直线与直线所成角的余弦值. 17.本小题分 某次投篮游戏,规定每名同学投篮次,投篮位置有,两处,第一次在处投,从第二次开始,若前一次未投进,则下一次投篮位置转为另一处若前一次投进,则下一次投篮位置不变在处每次投进得分,否则得分在处每次投进得分,否则得分已知甲在,两处每次投进的概率分别为,,且每次投篮相互独立记甲第次在处投篮的概率为,第次投篮后累计得分为. 求的分布列及数学期望 求的通项公式 证明:. 参考公式:若,是离散型随机变量,则. 18.本小题分 已知函数,正实数数列满足,,数列的前项和为. 求证:; 求证:. 19.本小题分 已知双曲线的左顶点在直线上,的左焦点为,点.为的右支上一动点. 求双曲线的渐近线方程; 过点且斜率为的直线与的左支交于,两点,求的面积的最小值; 设为的左支上与不重合的一动点,若直线平分,证明:直线恒过定点.