精品解析：上海市华东理工附属中学2024-2025学年七年级上学期数学第三次月考试卷

2024学年第一学期八年级数学学科第二次适应练习 （时长：90分钟） 一、单项选择题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知、、是常数，且，关于的方程有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 5. 在下列各组数中，是勾股数组的是（ ） A. 、、 B. C. D. 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分，那么下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 分母有理化：______． 8. 函数的定义域为 ___________________． 9. 不等式的解集是___________． 10. 某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了15场比赛，设八年级共有个班级，那么列出方程是___________． 11. 在实数范围内分解因式___． 12. 已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________． 13. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 14. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 15. 到点的距离等于2厘米的点的轨迹是__________________． 16. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为___________． 17. 已知直角坐标平面内的点、点，点在轴上．如果是等腰三角形，那么点C的坐标为___________． 18. 如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么___________． 三、简答题 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 22. 甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． （1）甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； （2）甲种机器人每小时工作量是___________吨； （3）直线的表达式为___________； （4）如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 四、解答题 23. 已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： （1）平分； （2）． 24. 已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点， （1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式； （2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求的值． 25. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），且，连接，交边于点，过点作，交边于点． （1）求证：； （2）如图，过点作，交边于点，设，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）当在（2）的条件下，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学学科第二次适应练习 （时长：90分钟） 一、单项选择题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：C． 2. 已知、、是常数，且，关于的方程有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据关于x的方程有实数根的条件是即可得出正确的选项． 【详解】解：∵、、是常数，且， ∴关于x的方程有实数根的条件是：， 故选：C． 3. 已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知当时，随的增大而减小是解题的关键． 根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴正比例函数中，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 5. 在下列各组数中，是勾股数组的是（ ） A. 、、 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股定理，理解勾股数的定义是解题的关键．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A. ∵，不能构成三角形，不是勾股数，不符合题意； B. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D. ∵，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分，那么下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，证明，然后判断解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分， ∴，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7. 分母有理化：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分母有理化（ 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化），把分子分母同乘以，然后利用平方差公式计算即可．解题的关键是根据分母有理化的意义找到分母有理化的因式． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 函数的定义域为 ___________________． 【答案】x≤2. 【解析】 【分析】有意义，可得2-x≥0，解不等式即可得到所求定义域． 【详解】解：有意义， 可得2-x≥0， 解得x≤2. 故答案为x≤2. 【点睛】本题考查求函数的定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，从而求出定义域来． 9. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式分母有理化，解一元一次不等式，正确理解不等式性质是解题关键．直接根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、化系数化为1进行即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了15场比赛，设八年级共有个班级，那么列出方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．设有个班级参赛，每两班之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数。每个班需与其他个班比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 【详解】解：设共有x个班参赛，根据题意，得， 故答案为：． 11. 在实数范围内分解因式___． 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式分解即可得到答案． 【详解】解：原式＝ ， 故答案为． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 12. 已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了解一元二次方程，方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得或， 故答案为：2或． 13. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得：． 14. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 【答案】“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形” 【解析】 【分析】将题设与结论对调即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 逆命题为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”， 故答案为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”； 【点睛】本题考查逆命题的定义：将题设与结论对调得到的命题叫逆命题． 15. 到点的距离等于2厘米的点的轨迹是__________________． 【答案】以点为圆心，2厘米长为半径的圆 【解析】 【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答． 【详解】解：到点的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 16. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，斜边长为， 故答案为：． 17. 已知直角坐标平面内的点、点，点在轴上．如果是等腰三角形，那么点C的坐标为___________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】利用等腰三角形的定义，分类计算即可． 本题考查了等腰三角形的分类计算，勾股定理，线段垂直平分线的性质，两点间的距离公式，平移，熟练掌握平移，分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于点， 则； 过点A作轴于点，此时， 故，也是符合题意的，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时B，关于对称， 则； 综上所述，存在点C，且分别为或或或． 18. 如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握定理和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 三、简答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，分母有理化，二次根式的乘法计算即可．本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整理后根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理为， 则， ∴或， 解得：． 21. 有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【答案】如图： 【解析】 【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点． 【详解】解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个． （1）作两条公路夹角的平分线OD或OE； （2）作线段AB的垂直平分线FG； 则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置． 考点：作图-应用与设计作图 22. 甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． （1）甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； （2）甲种机器人每小时工作量是___________吨； （3）直线的表达式为___________； （4）如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 【答案】（1）3 （2）5 （3） （4）50 【解析】 【分析】（1）根据，判定甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时； （2）甲种机器人每小时工作量是吨/小时； （3）设直线的表达式为，把代入解析式解答即可； （4）根据题意，得，解得，于是得到工作量相等时位置，设直线的解析式，把和分别代入解析式，得，解答即可． 本题考查了一次函数的应用，准确识别函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据，得甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：甲种机器人每小时工作量是吨， 故答案为：5． 【小问3详解】 解：设直线的表达式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故， 故答案为：． 【小问4详解】 解：根据题意，得， 解得，于是得到工作量相等时位置， 设直线的解析式， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式， 当时，， 解得， 故乙机器人的工作效率为（吨/小时）． 故5小时的工作量为（吨）， 故答案为：50． 四、解答题 23. 已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： （1）平分； （2）． 【答案】（1） 证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2） 证明：∵是边上的高， ∴， ∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分； （2）根据，得，结合，得到即可得证． 本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点， （1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式； （2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）过A作AC⊥OB，根据三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标； （3）由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值． 【详解】解：（1）如图1，过A作AC⊥OB，交x轴于点C， ∵OA=AB，∠OAB=90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AC=OC=BC=OB=3， ∴A（3，3）， 将x=3，y=3代入反比例解析式得：3= ，即k=9， 则反比例解析式为y=； （2）如图2，过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAE+∠BAD=90°， ∵∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠BAD=∠AOE， 在△AOE和△BAD中， ∴△AOE≌△BAD（AAS）， ∴AE=BD=n，OE=AD=m， ∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n， 则B（m+n，n-m）； （3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m）， 整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0， 这里a=1，b=1，c=-1， ∵△=1+4=5， ∴= ， ∵A（m，n）在第一象限， ∴m＞0，n＞0， 则=． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 25. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），且，连接，交边于点，过点作，交边于点． （1）求证：； （2）如图，过点作，交边于点，设，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）当在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质，得到等角，根据等腰直角三角形的性质，得到等边，最后利用三角形全等的判定和性质可证； （2）设，则，根据，得，利用勾股定理解答即可； （3）根据题意，得平分，证明，后根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 整理，得． 【小问3详解】 解：∵，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $