精品解析：2025年江苏省无锡市厚桥中学九年级中考二模数学试题

2025年春学期九年级第二次适应性练习试卷 数 学 2025．05 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴符合要求的为A， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．利用积的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则选项A不符合题意； ，则选项B不符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D符合题意； 故选：D． 4. 图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形而不是中心对称图形； B. 是中心对称图形而不是轴对称图形； C. 不是轴对称图形也不是中心对称图形； D. 是轴对称图形也是中心对称图形． 故选：D． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根． 【详解】去分母得， 解方程得， 检验:是原方程的解， 故选A． 【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根． 6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是（    ） A. 、1 B. 、 C. 1、1 D. 0、1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为，，0，1，1， 处于中间的数是0，则中位数为0， 出现次数最多的是1，即众数为1． 故选：D． 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，根据题中等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8. 如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，首先连接，因为是的直径，所以，根据同弧所对的圆周角相等得，根据直角三角形两个锐角互余，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 和所对的弧为， ， 在中，， ． 故选：B． 9. 下图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C，已知，，设这个实验得到一个放大至倍的蜡烛的像，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，证明出，，四边形是矩形，即可得出，，，求出，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ，， ∴，，四边形是矩形， ∴，，， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（ ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据新定义求伴随点坐标即可；②利用伴随点在函数的图象上的特征求值即可；③根据题意确定，求出点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为，确定点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为，利用待定系数法确定函数解析式即可；④同③方法类似得出M的关系式，然后再画出M的大致图象，然后将抛物线与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴点的伴随点坐标为，故①正确； ②解：当时，点A的伴随点为， 把代入得：， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，A的伴随点为， 把代入得：， 解得； ∴，故②错误； ③， 当时，，当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， ∴M是以点为端点的两条射线，其解析式为，故③正确； ④解：设直线l的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴直线l的解析式为， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， 所以新的图形M是以为端点的两条射线组成的图形，如图所示： 由和得： ①和②， 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点的位置关系可得： 当方程①无实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M没有交点； 当方程①有两个相等实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M有一个交点； 当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，解得， 即：当时，抛物线与图形M有两个交点； 当方程②有两个相等实数根或恰好经过经过点时， 解得：或， 即：当或时，抛物线与图形M有三个交点； 当方程②方程①均有两个不相等的实数根，且两根均小于2时，即：当时，抛物线与图形M有四个交点； 当时，抛物线与图形M有两个交点． 综上分析可知，当或时，抛物线与图形M有2个交点，故④错误； 综上可得：①③正确， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了伴随点的定义，一元二次方程根的判别式，求得M的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 五一黄金周第一天，就有人前来惠山古镇游玩，可将数字用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法． 按照科学记数法表示数的方法，将写成的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 13. 若点都在同一个正比例函数图像上，则m的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，设正比例函数解析式为，把点代入即可求解，熟练掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】设正比例函数为， 则， ∵点都在该正比例函数图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若圆柱的底面圆半径为，高为，则该圆柱的侧面展开图的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图．根据“圆柱侧面积底面周长高”解答即可． 【详解】解：圆柱的侧面积为 ． 故答案为：． 15. 如图，中，，，D为上任一点，连接，作B关于的对称点E，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、三角形外角的定义及性质，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，证明，得出，求出，再结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为_________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将向右平移到的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，F是的中点，若反比例函数的图象经过点C和点F，则k的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平移的性质，两点中点坐标公式，由平移的性质可得，设，则，则，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵点A的坐标是，点B的坐标是 ∴， ， 设，则， ∴，， 为的中点， ∴， ， 解得：， ， 故答案为：6． 18. 如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________ ． 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】过点P作轴于点H，连接，求出，，得，；求出，得，，证明，得，∴证明，得，是等边三角形，得,由，得的最小值为． 【详解】解：过点P作轴于点H，连接，则， ∵， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 对， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： ； （2）化简： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，特殊的三角函数值，分式的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简三角函数值与二次根式，再运算即可； （2）先将括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1） ； （2） ． 20. （1）解方程： ； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是： （1）根据公式法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， （2）解∶ 解不等式①，得∶， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 21. 如图，在中，E是边上一点，连接、、，与交于点O，，求证： （1）． （2） 【答案】（1） 中，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明即可． (2)根据全等三角形的性质，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” （1）求小宇猜对的概率 ； （2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：连续两天考试共有以下种情况：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五， 故在周四周五两天考试的情况只有种， 故小宇猜对的概率为； 【小问2详解】 解：列表可得： 周四上午 周四下午 语文 英语 音乐 美术 语文 语文，英语 语文，音乐 语文，美术 英语 英语，语文 英语，音乐 英语，美术 音乐 音乐，语文 音乐，英语 音乐，美术 美术 美术，语文 美术，英语 美术，音乐 共有12种等可能出现的结果，其中第一天考语文、英语的情况有2种， ∴． 24. 如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图——结合平行线的性质作一个角等于已知角，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 25. 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． （1）求投放塑料的奖励积分； （2）求的值； （3）若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】（1）； （2）； （3） 能，理由： 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； 【小问2详解】 解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； 【小问3详解】 略 26. 如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵切于是的半径， （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得； （2）连接，根据圆周角定理得出，求出，利用写出比例，列出方程即可求解． 本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为所对圆周角， ∴， ∴． 连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ∴设则 ， ∴， ， ， ， ． 27. 将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试： （1）如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明； （2）如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程； （3）如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长． 【答案】（1） ， 证明：根据旋转可得， ∴， ∴． （2） 证明：∵将绕点B旋转至，其中， ∴，，， ∴，， ∴， 过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， 所以， ∴， 即是的中点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，即可证明． （2）根据旋转的性质得出，，，证出，过作交的延长线于点，得出，即可得， 等角对等边得，证出，即可得，即是的中点． （3）过作交的延长线于点，连接，得出，根据是等边三角形，得出，，根据旋转可得，则是等边三角形，从而得，证明，得出，再证明，得出，设，求出，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作交的延长线于点，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 28. 已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上一点，若，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式、解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级第二次适应性练习试卷 数 学 2025．05 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是（    ） A. 、1 B. 、 C. 1、1 D. 0、1 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C，已知，，设这个实验得到一个放大至倍的蜡烛的像，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（ ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 五一黄金周第一天，就有人前来惠山古镇游玩，可将数字用科学记数法表示为_______． 12. 分解因式：_________． 13. 若点都在同一个正比例函数图像上，则m的值为______． 14. 若圆柱的底面圆半径为，高为，则该圆柱的侧面展开图的面积为____________． 15. 如图，中，，，D为上任一点，连接，作B关于的对称点E，若，则的长为_______． 16. 当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为_________________ ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将向右平移到的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，F是的中点，若反比例函数的图象经过点C和点F，则k的值是______． 18. 如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________ ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： ； （2）化简： ． 20. （1）解方程： ； （2）解不等式组： 21. 如图，在中，E是边上一点，连接、、，与交于点O，，求证： （1）． （2） 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 23. 先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” （1）求小宇猜对的概率 ； （2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 24. 如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ． 25. 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． （1）求投放塑料的奖励积分； （2）求的值； （3）若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 26. 如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 27. 将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试： （1）如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明； （2）如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程； （3）如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长． 28. 已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上一点，若，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $