5.3 第2课时 盈不足问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步教案(北师大版2024)河南专版

3 一元一次方程的应用 第2课时 盈不足问题 课题 第2课时 盈不足问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P149-150 教学目标 1.能在具体盈不足问题中准确找出等量关系列一元一次方程求解，并根据所求方程的解来解释和分析盈不足问题中的具体现象。 2.会从问题情境中探索等量关系，经历和体验运用一元一次方程解决实际问题的过程，培养抽象、概括、分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点： 1.理解盈不足问题中物价、人数、每人所出钱数之间的关系。 2.能在具体盈不足问题中准确找出等量关系列方程求解，并根据所求方程的解来解释和分析具体现象。 难点： 能利用一元一次方程解决简单的盈不足问题。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 《九章算术》成书于公元一世纪左右，是古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。 这节课我们就来学习《九章算术》中的“盈不足”章。（教师板书课题： 第2课时 盈不足问题） 数学史引入，让学生了解数学的产生过程，以及数学在社会生活中的作用和意义，为下面学习内容做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究】 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？ （1） 问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ （2） 设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 教师活动：引导学生设出未知数，找出本题的等量关系，并根据等量关系列出方程求解。 设人数为x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得x= 。 因此，人数为 ，物价为 。 如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 学生活动：根据理解，填空，列出方程，写出解答过程，并与同学交流。 【教材例题】 例2 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3 400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x-3 400，还可表示为300x-100，根据等量关系，列出方程： 400x-3 400=300x-100。 解这个方程，得x=33。 300×33-100=9 800。 因此，人数为33，金价为9 800钱。 谈一谈 （1）对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？ （2）《九章算术》给出了一种算法： 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数， 物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。 教师活动：提出问题，你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 学生活动：根据所设的未知数，列出方程与同学交流，并解出方程，先回答问题再进行交流。 【归纳总结】 盈不足问题 1.一般未知数有两个，等量关系也有两个。 2.用其中一个等量关系设未知数，用另一个等量关系列方程。 3.《九章算术》给出的一种算法： 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数， 物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。 根据教师引导，让学生尝试列方程并解方程，进一步熟练解题步骤。 3.学以致用，应用新知 考点 盈不足问题 例 《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为(　 　) 答案：A 变式训练 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空。”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，则可列方程为(　 　) A．7x－6＝8x－1　　　B．7x－6＝8(x－1)　　　 C．7x＋6＝8x－1　　　D．7x＋6＝8(x－1) 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 1.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸)意思是：现有一根长木，不知道其长短。用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4．5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺。问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　 　) A．x＋4．5＝2(x－1)　　　　B．x＋4．5＝2(x＋1) C．x－4．5＝2(x＋1) D．x－4．5＝2(x－1) 答案：A 2.某班学生分组，若每组7人，则有2人分不到组里；若每组8人，则最后一组差4人，若计划分x组，则可列方程为(　 　) A．7x＋2＝8x－4 B．7x－2＝8x＋4 C．7x＋2＝8x＋4 D．7x－2＝8x－4 答案：A 3.某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位。求参加研学的学生人数。 解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x＋30＝5x－10，解得x＝40，故4x＋30＝190。 答：参加研学的学生有190人。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 盈不足问题 1.一般未知数有两个，等量关系也有两个。 2.用其中一个等量关系设未知数，用另一个等量关系列方程。 3.《九章算术》给出的一种算法： 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数， 物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P155习题5.3中的T6、T7。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 盈不足问题 盈不足问题 题目特点 投影区 找等量关系 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 同学们对于《九章算术》中的“盈不足”章往往会理解不到位，特别是对于题目中的等量关系难以把握。这需要教师慢慢地引导学生，让学生在解决实际问题的过程中一步步熟练掌握列方程的步骤和方法。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$