5.3一元一次方程的应用（第3课时）（教学课件）数学北师大版2024七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，核心内容为行程问题中的追及问题，涵盖环形跑道、计费套餐等拓展类型。课堂导入先回顾行程问题基本公式与类型，以小明上学追及情境为载体，通过已知量未知量分析、线段图直观呈现，搭建“理解题意—找等量关系—列方程”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，借助线段图、环形跑道位置图示等几何直观手段，发展抽象能力与模型观念。如追及问题用线段图标注路程关系，环形跑道总结同向背向公式，计费套餐问题建立费用等量关系模型。助力学生养成用数学眼光分析问题的习惯，为教师提供系统案例与可操作的教学流程。

第五章 一元一次方程 第3课时 5.3一元一次方程的应用 学 习 目 标 1 2 3 经过“追及问题”的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力。 进一步体会选择某个量，用不同的表达式去表示它，就可得到相应的方程。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念。 体会一元一次方程的应用价值。 1.基本关系式：_________________ 3.航行问题的数量关系： 顺水（风）速度=_______________________ 逆水（风）速度=_______________________ 路程=速度×时间 静水（无风）速 + 水（风）速 静水（无风）速 —水（风）速 行程问题 相遇问题 追及问题 2.基本类型：：_________________ 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤包括: 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。 今天我们一起来学习列一元一次方程解决行程问题 知识回顾 家 学校 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 中途 出发后5min 小明家离学校的距离、 小明的速度、 爸爸的速度、 小明比爸爸多用的时间 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1）问题中有哪些已知量和未知量 已知量 行程问题 路程=速度×时间 小明的时间、路程， 爸爸的时间、路程 未知量 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 行程问题 路程=速度×时间 （2）问题中已知量和未知量之间有哪些等量关系 小明的速度×小明的时间=小明的路程 爸爸的速度×爸爸的时间=爸爸的路程 小明的路程=爸爸的路程 小明的时间-爸爸的时间=小明比爸爸多用的时间 小明家离学校的距离-爸爸的路程=爸爸追上小明时离学校的距离。 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （3）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗? 家 学校 中途 小明先走5分钟的路程 爸爸追小明走的的路程 爸爸追小明期间小明的路程 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 新知探究 议一议 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （4）你能否用小学里学习过的用线段图直观表示等量关系,画出线段图,并列出方程求解？ 家 学校 设爸爸追上小明用了 80×5 小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝爸爸追小明的路程 等量关系 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 解：设爸爸追上小明用了，由题意得： 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 家 学校 80×5 化简，得：100x = 400 解这个方程，得 ： 新知探究 探究点1 追及问题 议一议 答：爸爸追上小明用了4min，此时距离学校还有280m。 （5）追上小明时，距离学校还有多远？ 解： 1000－180×4= 280（m） 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 家 学校 1000m ？ 180×4 利用线段图可以帮助分析问题中的相等关系,是列方程的常用方法。 探究点1 追及问题 典例分析 例1 小明和小华两人在 400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 小明 起跑线 小明起跑后1min 小华 相遇点 【分析】 （1）如图，等量关系： 小华的路程 =小明1min的路程＋小华追小明期间小明的路程 解：设小华用了x min追上小明，由题意可得： 260+260x=300x 解得 ：x=6.5 答：小华用6.5 min追上小明 11 探究点1 追及问题 典例分析 例1 小明和小华两人在 400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 小明 起跑线 小明起跑后1min 小华 相遇点 【分析】 （2）如图，等量关系： 小华的路程+小华跑步期间小明的路程 ＝跑道一圈的长－小明1min的路程 解：设小华起跑后x min两人首次相遇，由题意可得： 260x+300x=400-260 解得：x=0.25 答：小华起跑后0.25min两人首次相遇. 12 新知探究 探究点1 追及问题 归一归 (1)环形跑道问题： 设v甲>v乙，环形跑道长s m，经过t s，甲、乙第一次相遇 （2）同时同地背向而行 甲 乙 ①同时同地同向而行： v甲t- v乙t =s ②同时同地背向而行： v甲t + v乙t=s （1）同时同地同向而行 甲 乙 思考•交流 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 议一议 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ *运用方程解决实际问题，首先要分析问题中的各种数量关系，寻找等量关系，列出方程，将实际问题抽象成数学问题（一元一次方程）； *接着解方程，求出这一数学问题的解； *最后检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需重新回到开始。 思考•交流 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 议一议 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 (一元一次方程的解) 寻找等量关系 抽象 解方程 解释 用框图表示 思考•交流 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 议一议 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 设未知数 列方程 解方程 检验所得结果 检验所得结果 确定答案 具体步骤归纳如下： 新知探究 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 议一议 （2）回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？ 在分析数量关系时，首先要弄清楚问题中有哪些量，这些量之间有怎样的等量关系 寻找等量关系的基本策略： 从关键字句中发现等量关系 发掘问题中涉及的基本数量关系 注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系 借助图表等直观分析问题中的数量关系 列方程的基本策略就是用不同的代数式表达同一个量或相等的量。 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例2.甲、乙两人在一条 400米长的环形路道上竞走，甲的速度为 120米 分，乙的速度为 80米/分． (1)两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？ (2)两人同时同地反向出发，在第一次相遇前，经过多少时间两人相距40 米？ 解：（1）设经过分钟两人第一次相遇， 根据题意得： ， 解得 ：， 答：经2 分钟两人第一次相遇； （2）设在第一次相遇前，经过分钟两人相距 米，根据题意得： 或 ， 解得或， 答：在第一次相遇前，经过 分钟或 分钟两人相距40 米． 18 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例3.下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）   月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 MB 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分 （元/MB ） 方式一 49 200 500 免费 0.2 0.3 方式二 69 250 600 免费 0.15 0.2 (1)若某月小萱主叫通话时间为 分钟，上网流量为 ，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需 元，主叫通话时间为 0分钟，则上网流量为________ ． (2)若上网流量为 ，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为 ，直接写出当月主叫通话时间 （分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 19 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例3.下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）   月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 MB 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分 （元/MB ） 方式一 49 200 500 免费 0.2 0.3 方式二 69 250 600 免费 0.15 0.2 (1)若某月小萱主叫通话时间为 分钟，上网流量为 ， 则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元； 若她按方式二计费需 元，主叫通话时间为 0分钟，则上网流量为_____ ． （1）解：由题意可得， ∴ 方式一收费为：49+(240−200)×0.2+(800−500)×0.3=147 （元）； 方式二收费为：69+(800−600)×0.2=109 （元）； 设上网流量为x ，由题意可得: ，解得: ， 20 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例3.下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）   月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 MB 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分 （元/MB ） 方式一 49 200 500 免费 0.2 0.3 方式二 69 250 600 免费 0.15 0.2 (2)若上网流量为 ，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 2）解：假设存在， 解得：𝑡=240 ， ∴假设成立，上网流量为 当时，方式一和方式二的计费相等； 21 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例3.   月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 MB 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分 （元/MB ） 方式一 49 200 500 免费 0.2 0.3 方式二 69 250 600 免费 0.15 0.2 (3)若上网流量为 ，直接写出当月主叫通话时间 （分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． （3）解：∵上网流量为 当时 方式一和方式二的计费相等为 元， ①当 时，方式一费用为： ， 方式二费用为： ， ∴当𝑡>240 方式二比较划算． 22 探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 典例分析 例3.   月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 MB 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分 （元/MB ） 方式一 49 200 500 免费 0.2 0.3 方式二 69 250 600 免费 0.15 0.2 (3)若上网流量为 ，直接写出当月主叫通话时间 （分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． ②当时，方式一费用为： ， 方式二费用为： ， 当时， ， ∴当 时方式一比较划算，当方式二比较划算. 23 拓展提升 1.材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (1)图1是一个“幻方”，则 a=________；b= ________；c= ________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系； 解:（1） 斜对角线上的三个数字之和为 ， 该方格的“幻和”为9， ， ， ∵每行数字之和为9，共3行， ∵图1中所有数字之和为 ， ∴图1中所有数的和为其“幻和”的3倍； 1 -1 5 拓展提升 1.材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (2)小明要将 － 6 ，－ 4 ，－ 2 ，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数m 是上述9个数的平均数. ①求中心数 m的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满. （2）①， ∴中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2，则3个方格之和为6， ∴幻和为6， 填方格如图 巩固练习 教材P152 随堂练习 今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺. 问：几何？(选自《孙子算经》) 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺. 这根木材有多长？ 解：方法一设绳子的长度为x尺 根据等量关系， 列出方程： x-4.5=+1 解得 :x=11， x-4.5=11-4.5=6.5(尺) 方法二设绳子的长为 y尺， 根据题意， 列出方程： 解得 :y=11 11-4.5=6.5 (尺) 答：这根木材长6.5尺. 真题感知 解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 1．（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） A 真题感知 2．（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭） 解：根据题意得：xx＝1． 所提问题：“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”， 如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 A 课堂小结 问题的已 知条件 解决行程问题的基本步骤： 画出线 段图 找出等 量关系 列方程 并求解 回 答 同向追及问题 同地不同时： 同时不同地： 甲路程＋路程差＝乙路程； 甲路程＝乙路程 相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程=总路程 课后练习 8.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6 m. (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？ 解：（1）设经过x 秒两人相遇 根据等量关系，列出方程： 4x＋6x=100 解得 ： x=10 答：10秒后两人相遇. 解（2）设经过x 秒小强能追上小彬 根据等量关系，列出方程： 4x＋10=6x 解得 ： x=5 答：经过5秒小强能追上小彬. 习题5.3 教材P155 课后练习 9.古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： 他生命的是幸福的童年； 再度过了生命的， 他两颊长起了细细的胡须； 又度过了一生的他结婚了； 5年后，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他全部年龄的一半； 儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了. (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决. 习题5.3 教材P155 解： （1）设丢番图去世时x岁，由题意可得： + x+ x+5+ x+4=x 解得： x=84 答：丢番图去世时84岁 课后练习 9.古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： 他生命的是幸福的童年； 再度过了生命的， 他两颊长起了细细的胡须； 又度过了一生的他结婚了； 5年后，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他全部年龄的一半； 儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了. (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决. 习题5.3 教材P155 解： （2）求丢番图结婚时的年龄 设丢番图结婚时的年龄y岁 根据等量关系，列出方程： 84+ 84 + =y 解得 y=33 答：丢番图结婚时的年龄33岁. 感谢聆听! $