精品解析：湖南省长沙市一中东山学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期期末监测试卷 七 年 级 数 学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中：0，，0.3，，无理数是（ ） A. 0 B. C. 0.3 D. 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 企业招聘，对应聘人员的面试 D. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）     A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. ＜ C. 2－a＞2－b D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 今年某市有万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ） A. 万名学生的问卷调查结果是总体 B. 名学生的问卷调查结果是样本 C. 每一名学生的问卷调查结果是个体 D. 名学生是样本容量 9. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 已知二元一次方程组，则的值为__________． 13. 点到轴的距离为______． 14. 如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是________cm． 15. 不等式2x+3<-1的解集是：__________． 16. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解二元一次方程组： 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 20. 根据题意结合图形填空： 已知：如图，DEBC，∠ADE＝∠EFC，试说明：∠1＝∠2． 解：∵DEBC　 　 ∴∠ADE＝　 　 ∵∠ADE＝∠EFC　 　 ∴　 　＝　 　 ∴DBEF　 　 ∴∠1＝∠2　 　． 21. 某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度，随机选取了名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数(人数) 第组 第组 第组 第组 第组 （1）请直接写出 ，第组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； （2）请补全上面的频数分布直方图： （3）假设该市现有岁的市民万人，问岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少？ 22. 如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）画出平移后的图形，并直接写出坐标；（___________，___________）， （2）三角形的面积为___________； （3）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标． 23. 今年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”，一时间，地摊兴起．小王决定采购甲、乙两种文具到学校附近开摊经营，若采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；若采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元． （1）求甲、乙两种文具每件各多少元？ （2）小王想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小王共有哪几种进货方案？请列举出来． 24. 对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知 ，， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围； （2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？ 25. 汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1） ， ； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？ （3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C， ①用含t的代数式表示 ②过C作交PQ于点D，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末监测试卷 七 年 级 数 学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中：0，，0.3，，无理数是（ ） A. 0 B. C. 0.3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无理数； 0.3是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数定义：无限不循环的小数是无理数是解题的关键． 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 企业招聘，对应聘人员的面试 D. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，应采用全面调查； B、了解全班同学每周体育锻炼的时间，应采用全面调查； C、企业招聘，对应聘人员的面试，应采用全面调查； D、了解某批次灯泡的使用寿命情况，具有破坏性，应采用抽样调查； 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规律解决问题即可． 【详解】解：将点P（1，-2）向上平移3个单位长度，得到点P′的坐标是（1，-2+3），即（1，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 4. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组. 根据二元一次方程组的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是三元一次方程组，故本选项错误； B、是分式方程组，故本选项错误； C、是二元二次方程组，故本选项错误； D、是二元一次方程组，故本选项正确． 故选D． 5. 如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）     A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行可得∠5的度数，利用三角形的内角和与∠2的对顶角，求出∠3． 【详解】解：如图， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠4＝35°． ∵∠2＝∠5＝80°， 又∵∠3+∠5+∠4＝180°， ∴∠3＝180°-∠5-∠4 ＝180°-80°-35° ＝65°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质．利用平行线的性质得到∠4的度数，是解决本题的关键． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. ＜ C. 2－a＞2－b D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次判断即可，熟记不等式的性质是解题的关键 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴， 故A，B， C错误；D正确， 故选D 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式4x+2＞6，得：x＞1， 解不等式7-3x≥1，得：x≤2， 则不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8. 今年某市有万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（ ） A. 万名学生的问卷调查结果是总体 B. 名学生的问卷调查结果是样本 C. 每一名学生的问卷调查结果是个体 D. 名学生是样本容量 【答案】D 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：．万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，故该选项不符合题意； ．名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，故该选项不符合题意； ．每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，故该选项不符合题意； ．是样本容量，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的等量关系：精加工的天数+粗加工的天数=15，精加工的蔬菜吨数+粗加工的蔬菜吨数=140，列方程组，即可求解． 【详解】解：设安排天精加工，天粗加工，根据题意得： 故选：D 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 10. 已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为；；则有奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，然后通过规律即可求出连续经过次变换后点的坐标，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为； 第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为； ； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．直接由即可得出答案． 【详解】解：原方程组为， 由得即． 故答案为：3． 13. 点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“点到轴的距离等于横坐标的长度”即可求解，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 14. 如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴P到l的距离是垂线段的长度， 故答案为：5． 15. 不等式2x+3<-1的解集是：__________． 【答案】x<-2． 【解析】 【详解】解：解不等式2x+3<-1， 移项得：2x<-1-3， 合并得：2x<-4， 系数化成1得：x<-2， 故答案为：x<-2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式． 16. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为_____． 【答案】125° 【解析】 【分析】根据三角形外角性质求出∠BCQ，根据平行线的性质得出∠2=∠BCQ，代入求出即可． 【详解】解：如图： ∵∠1=35°，∠A=90°， ∴∠BCQ=∠A+∠1=90°+35°=125°， ∵EF∥MN， ∴∠2=∠BCQ=125°， 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】原式利用完全平方、平方根、立方根性质，绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 两个方程相加，消去，可得，代入原方程组中的其中一个方程，可得． 【详解】解： 将得：， 解得 将代入得：， 解得 ∴该方程组的解为． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【答案】3≤x<4 【解析】 【分析】分别解出不等式组中不等式的解集，然后在坐标轴上表示它们的公共部分，公共部分就是不等式的解集． 【详解】 由①得：x≥3， 由②得：x<4， ∴不等式的解集为3≤x<4. 不等式组的解集在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，要求在坐标轴上表示不等式解集，很容易看出不等式的解集． 20. 根据题意结合图形填空： 已知：如图，DEBC，∠ADE＝∠EFC，试说明：∠1＝∠2． 解：∵DEBC　 　 ∴∠ADE＝　 　 ∵∠ADE＝∠EFC　 　 ∴　 　＝　 　 ∴DBEF　 　 ∴∠1＝∠2　 　． 【答案】已知；∠ABC；已知；∠ABC，∠EFC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】由 可得 结合 证明，从而可得 从而可得结论． 【详解】解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠ADE＝∠EFC（已知）， ∴∠ABC＝∠EFC， ∴DB∥EF （同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；∠ABC；已知；∠ABC，∠EFC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质与平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 21. 某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度，随机选取了名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数(人数) 第组 第组 第组 第组 第组 （1）请直接写出 ，第组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； （2）请补全上面的频数分布直方图： （3）假设该市现有岁的市民万人，问岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少？ 【答案】（1）20，； （2）a=25人， 补全频数分布直方图如下图： （3）岁年龄段的关注创建文明城市的人数约万 【解析】 【分析】（1）第4组的频数是20，调查总数是100，可求出第4组人数所占的百分比，确定m的值；第3组占总数的，进而求出对应的圆心角的度数； （2）求出a的值，即可补全频数分布直方图； （3）样本中岁年龄段的关注创建文明城市的人数占20%，用样本估计总体，因此估计总体180万人的20%即为所求. 【详解】（1）解：∵20÷100=20%， ∴m=20， =126°， 故答案为：20，； （2）a=100-5-35-20-15=25（人）； 万万． 答：岁年龄段的关注创建文明城市的人数约万. 【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图的意义，理解图表中的各个数据之间的关系是解题的关键. 22. 如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）画出平移后的图形，并直接写出坐标；（___________，___________）， （2）三角形的面积为___________； （3）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离，并掌握平移变换的定义及其性质，据此得到变换后的对应点． （1）由点经平移后对应点为知，向左平移个单位、向上平移个单位即可得到，据此得出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）设点P坐标为，根据“三角形的面积等于三角形面积的一半”得出，解之可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； ，， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 23. 今年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”，一时间，地摊兴起．小王决定采购甲、乙两种文具到学校附近开摊经营，若采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；若采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元． （1）求甲、乙两种文具每件各多少元？ （2）小王想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小王共有哪几种进货方案？请列举出来． 【答案】（1）甲种文具每件10元，乙种文具每件5元； （2）有三种方案． 第一种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件； 第二种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件； 第三种方案：购A种纪念品53件，B种纪念品47件； 【解析】 【分析】（1）设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元即可列出方程组，解方程组即可求出结果； （2）设小王采购甲种文具t件，根据采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元即可列出关于t的不等式组，解不等式组即可求出t的取值范围，再由t为正整数即可得出进货方案． 【详解】解：（1）设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据题意， 得，解得． 答：甲种文具每件10元，乙种文具每件5元． （2）设小王采购甲种文具t件，则采购乙种文具（100﹣t）件，根据题意， 得：750＜10t+5(100－t)≤765，解得50＜t≤53， ∵t为正整数， ∴t＝51，52，53． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合运用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． 24. 对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知 ，， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围； （2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：①根据题意得： ；， 解得：， ②根据题意得： 由①得：， 由②得：， ∵关于m的不等式组恰好有4个整数解 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵对任意有理数x，y都成立 ∴ ∴ ∴，即． 25. 汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1） ， ； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？ （3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C， ①用含t的代数式表示 ②过C作交PQ于点D，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系． 【答案】（1）3，1 （2）A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行； （3）①； ②，理由如下： 由题意可知，点一定在的右侧，，即， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，进而得出a、b的值； （2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质可知，解方程求得x的值即可； （3）①过点C作，则由得到，则可得，经过秒，，得到； ②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：3，1； 【小问2详解】 解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒， 设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质， 可知， 解得； ∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行； 【小问3详解】 解：①过点C作， 则 ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 经过秒，， 故答案为：； ②略． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质和数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $