精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年七年级上学期开学测试数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年度上学期七年级九月份学科活动（数学） 一、选择题（每题3分，共27分） 1. 如果上升2米记作＋2米，那么下降5米记作( ) 米． A. ＋2 B. －2 C. ＋5 D. －5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从上面看如图几何体得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 了解某班学生的身高情况 5. 如图，点O在直线上，，其中相等的角有（　　） A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 6. 轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船C的北偏东30°方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则∠ACB＝（ ） A. 75° B. 105° C. 125° D. 145° 7. a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；②连接两点的线段叫两点间的距离；③若，则点P是线段的中点；④三条直线两两相交，有三个交点；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共27分） 10. 的倒数是__________． 11. 数字470300用科学记数法表示为___________． 12. 计算：的结果为___________． 13. 如果与是同类项，那么的值是___________． 14. 某校七年级共有学生685人，为了调查该年级学生的视力情况，随机抽取了50名学生作为样本进行调查，则在这次调查中，样本容量为___________． 15. 已知线段MN＝12，点P在直线MN上，PM＝3，点Q为MN中点，则线段PQ的长为 ______． 16. 如图，将边长为a的正方形剪去两个小长方形得到S图案，再将这两个小长方形拼成一个新的长方形，求新的长方形的周长________． 17. 用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如图一列图案：按这种规律排列第个图案中有白色纸片______张． 18. 如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝30°，∠DOE＝90°，若∠AOC：∠BOE＝19：7，则∠BOD的度数为 ______． 三、解答题 19. 计算 （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 已知非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，求式子的值． 22. 为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试，测试结果分四个等级：优秀、良好、及格、不合格，根据测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽取测试的学生人数； （2）求测试的学生中及格人数，并补全条形统计图： （3）若该校九年级共有1350名学生，若他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不合格的人数． 23. 某工厂从生产的袋装商品中抽取部分样品，检测抽取样品每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，准确记录如下表： 与标准质量的差值/克 0 1 3 6 袋数/袋 1 4 3 4 5 3 （1）这批样品的总质量比按标准质量计算的总质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋袋装商品的标准质量为50g，成本为6元/克，则抽取样品的总成本是多少元？ （3）在（2）的条件下，该袋装商品正常情况下按每克加价50%后，按克称重出售．但这批袋装商品是抽检过的样品，所以在出售时打八折，并且在售出过程中还会有10%的质量损耗，求这批抽检的袋装商品的总利润是多少元？ 24. 数学活动课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图． 第一步：用直尺画射线； 第二步：用圆规在射线上依次截取，，． （1）用含a，b，c的式子表示线段的长度是___________． （2）老师在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，现请聪明的你将解答题的过程补充完整． 添加条件：如图，点P，Q分别是线段，的中点，且，，， 提出问题：求线段的长度． 因为，，所以； 因为点P是线段的中点，且，所以， 因为点Q是线段的中点，且， 所以______________________=___________， 所以___________=___________-________=___________． 25. 阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 26. 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则_____； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①_____秒，边落在边上； ②当边平分时，_____秒； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 27. 【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年度上学期七年级九月份学科活动（数学） 一、选择题（每题3分，共27分） 1. 如果上升2米记作＋2米，那么下降5米记作( ) 米． A. ＋2 B. －2 C. ＋5 D. －5 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数和负数的符号表示的意义解决此题． 【详解】解：∵上升2米记作＋2米， ∴“-”表示下降， ∴下降5米记作-5米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查正数和负数的符号表示的意义，熟练掌握正数和负数的符号表示的实际意义是解决本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数部分保持不变，去括号时，若括号前面是“”，那么去括号时，括号里面的每一项都不变号，若括号前面是“”， 那么去括号时，括号里面的每一项都变号，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 从上面看如图几何体得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看如图几何体得到的平面图形为： 故选：A． 【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 4. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 了解某班学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，不符合题意； B．调查春节联欢晚会的收视率，由于调查的工作量大，此调查适合抽样调查，不符合题意； C．调查某批次汽车的抗撞击能力，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，不符合题意； D．了解某班学生的身高情况，由于工作量不大且普查收集的数据更加准确，此调查适合全面调查，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 如图，点O在直线上，，其中相等的角有（　　） A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角，掌握互为余角的两个角的和等于，互为补角的和等于是关键．根据互余的两个角的度数之和为90度结合等角的余角相等进行推理即可． 【详解】解：根据题意可知，， ，，，， ，，，，， 相等的角的对数共有5对． 故选：B． 6. 轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船C的北偏东30°方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则∠ACB＝（ ） A. 75° B. 105° C. 125° D. 145° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到∠ACD=60°，∠BCD=45°，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：由题意得，∠ACD=60°，∠BCD=45°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°+45°=105°， 故选：B． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是根据题意作出图形进行求解． 7. a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：D． 8. 如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查余角和补角的定义，一元一次方程的应用，结合已知条件列出方程是解题的关键． 设这个角为，结合已知条件列得方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角为，那么其补角为，余角为， 根据题意，得， 解得：， 即这个角为， 故选：A． 9. 下列说法：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；②连接两点的线段叫两点间的距离；③若，则点P是线段的中点；④三条直线两两相交，有三个交点；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质，根据两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质逐个判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式，说法正确； ②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，原说法错误； ③若且点P在线段上，则点P是线段的中点，原说法错误； ④三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，原说法错误； ⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有，说法正确； 综上所述，正确的有①⑤，共个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共27分） 10. 的倒数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将题目中的带分数化为假分数，再根据倒数的定义计算得到结果． 【详解】解：首先将带分数化为假分数：． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数．由有理数除法运算法则可得：． ∴的倒数是． 11. 数字470300用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时,n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：470300用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 计算：的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的度分秒运算，熟练掌握角的度分秒计算是解题的关键．根据角度是60进制的特点计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如果与是同类项，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，可得：，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 某校七年级共有学生685人，为了调查该年级学生的视力情况，随机抽取了50名学生作为样本进行调查，则在这次调查中，样本容量为___________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量，掌握相关定义是解答本题的关键． 样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．根据样本容量的定义解答即可． 【详解】解：某校七年级共有学生685人，为了调查该年级学生的视力情况，随机抽取了50名学生作为样本进行调查，则在这次调查中，样本容量为50． 故答案为：50． 15. 已知线段MN＝12，点P在直线MN上，PM＝3，点Q为MN中点，则线段PQ的长为 ______． 【答案】3或9##9或3 【解析】 【分析】分当P点在M点左侧和P点在M点右侧两种情况,利用线段的和差进行计算． 【详解】解：如图1， 当P点在M点左侧时，PM＝3， ∵点Q为MN中点，MN＝12， ∴MQ＝6， ∴PQ＝PM+MQ＝9； 如图2， 当P点在M点右侧时， PQ＝MQ﹣PM＝3； 综上所述：PM＝3或9， 故答案为3或9． 【点睛】本题考查线段的和差以及中点的定义，根据点P的位置正确画出图形是解决问题的关键． 16. 如图，将边长为a的正方形剪去两个小长方形得到S图案，再将这两个小长方形拼成一个新的长方形，求新的长方形的周长________． 【答案】4a-8b 【解析】 【分析】先根据题意列出算式，再根据整式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：新长方形的周长是2(a-3b)+2(a-b)=2a-6b+2a-2b=4a-8b， 故答案为：4a-8b． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，能正确根据题意列出算式是解此题的关键． 17. 用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如图一列图案：按这种规律排列第个图案中有白色纸片______张． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律变化问题，由图形可得第个图形中有白色纸片有张，再把代入计算即可求解，找出图形的规律变化问题是解题的关键． 【详解】解：第个图形中有白色纸片有张，， 第个图形中有白色纸片有张，， 第个图形中有白色纸片有张，， ， ∴第个图形中有白色纸片有张， 当时，， 故答案为：． 18. 如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝30°，∠DOE＝90°，若∠AOC：∠BOE＝19：7，则∠BOD的度数为 ______． 【答案】55° 【解析】 【分析】设∠BOE＝7x，则有∠AOC＝19x，∠BOD＝90°﹣7x，根据∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，列方程求解即可． 【详解】解：设∠BOE＝7x，则有∠AOC＝19x， ∵∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOE＝90°﹣7x， ∵O是直线AB上一点，∠COD＝30°， ∴∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°， 19x+30°+90°﹣7x＝180°， 解得：x＝5°， ∴∠BOD＝90°﹣7×5°＝55°． 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了角的计算和方程思想，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 三、解答题 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题即可； （2）先运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，约分计算解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 21. 已知非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，求式子的值． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值．根据有理数的乘方运算，可得，，然后分别代入代数式，即可求解． 【详解】解：因为非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16， 所以，， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，． 所以式子的值为5或． 22. 为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试，测试结果分四个等级：优秀、良好、及格、不合格，根据测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽取测试的学生人数； （2）求测试的学生中及格人数，并补全条形统计图： （3）若该校九年级共有1350名学生，若他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不合格的人数． 【答案】（1）． （2）， 补全统计图如图所示： （3）． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，“优秀”的有10人，占调查人数的20%，根据“优秀”的人数除以所占的百分比即可求出答案； （2）求出“及格”的人数，即可补全统计图； （3）求出样本中“不及格”的所占的百分比，从而估计总体中“不及格”所占的百分比，用总数乘以“不及格”所占的百分比即可求出答案． 【小问1详解】 解：10÷20%＝50（人）， 答：本次抽取测试的学生人数为50人； 【小问2详解】 50﹣10﹣20﹣5＝15（人）， 答：测试的学生中及格的有15人； 【小问3详解】 1350××100%＝135（人）， 答：该校九年级1350名学生中，成绩为不合格的大约有135人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，读懂题意，数形结合是正确解答的关键． 23. 某工厂从生产的袋装商品中抽取部分样品，检测抽取样品每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，准确记录如下表： 与标准质量的差值/克 0 1 3 6 袋数/袋 1 4 3 4 5 3 （1）这批样品的总质量比按标准质量计算的总质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋袋装商品的标准质量为50g，成本为6元/克，则抽取样品的总成本是多少元？ （3）在（2）的条件下，该袋装商品正常情况下按每克加价50%后，按克称重出售．但这批袋装商品是抽检过的样品，所以在出售时打八折，并且在售出过程中还会有10%的质量损耗，求这批抽检的袋装商品的总利润是多少元？ 【答案】（1）这批样品的总质量比按标准质量计算的总质量多，多24克 （2）抽取样品的总成本是6144元 （3）全部销售完这批抽检的袋装商品的总利润是491.52元 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，有理数混合运算的实际应用．理解题意和正负数的意义，正确列出算式是解题关键． （1）计算出超过和不足的质量和，如果是正数，即多，如果是负数，即少； （2）先求出抽取样品的总质量，再乘以6元/克即可； （3）求出售出的总质量和售价，再根据总利润=售价×总质量求解即可． 【小问1详解】 解：， 答：这批样品的总质量比按标准质量计算的总质量多，多24克； 【小问2详解】 解：克， 元， 答：抽取样品的总成本是6144元； 【小问3详解】 解：克， 元， 元， 答：全部销售完这批抽检的袋装商品的总利润是491.52元． 24. 数学活动课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图． 第一步：用直尺画射线； 第二步：用圆规在射线上依次截取，，． （1）用含a，b，c的式子表示线段的长度是___________． （2）老师在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，现请聪明的你将解答题的过程补充完整． 添加条件：如图，点P，Q分别是线段，的中点，且，，， 提出问题：求线段的长度． 因为，，所以； 因为点P是线段的中点，且，所以， 因为点Q是线段的中点，且， 所以______________________=___________， 所以___________=___________-________=___________． 【答案】（1） （2）；4；2；QC；5；2；3 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段的和差，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由作图可知，，进而可得答案． （2）根据线段中点的定义、线段的和差关系填空即可． 【小问1详解】 解：由题意得，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：因为，， 所以； 因为点是线段的中点，且， 所以， 因为点是线段的中点，且， 所以， 所以． 故答案为：；4；2；；5；2；3． 25. 阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值． 【详解】解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 26. 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则_____； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①_____秒，边落在边上； ②当边平分时，_____秒； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①15 ②31.5（3）或或 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角、角的平分线，掌握角的和差是解题的关键． （1）根据角的和差列式计算； （2）根据“时间=路程÷速度”计算求解； （3）根据t的取值进行分类讨论，根据“”列方程求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）①（秒）， 故答案为：15； ②（秒）， 故答案为：31.5； （3）当三角尺的边首次落在直线上时，所需要的时间为：（秒）， 当秒或秒时，在的上方，当时，在的下方， 当秒时，或， 解得：或； 当秒时，或， 解得：，舍去，或； 综上所述：当t的值为或或时，． 27. 【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】①8，②，（1）8或4，（2）12或28 【解析】 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论. 问题提出：①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； 知识迁移：（1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论. 【详解】解：问题提出：， ①当时，， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴. 故答案为：； 知识迁移：（1）∵线段的长为，设在数轴上对应的数为， ∴点到点的距离表示为：， 又∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为， ①若在点左侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴； ②若在点右侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴， 综上，线段的长为或； （2）如图， ①在上， ∵点为线段的中点，， ∴， ∵点是折线的“折中点”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在线段上， 同理：，，， ， ， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $