精品解析：山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李倩 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 5. 在中，， 则这个三角形的最大内角为 A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线可由抛物线平移得到，若抛物线的焦点为，点在抛物线E上且，则点到轴距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ） A. B. 的渐近线方程是 C. 的焦距为 D. 的离心率为 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，则__________. 13. 已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________． 14. 将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最值. 16. 已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数为的导函数. （1）若，讨论在上的极值点个数； （2）设函数，若恒成立. ①求的取值范围； ②设函数的零点为的极小值点为，求证：. 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动． （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率； （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为． ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值． （取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李倩 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解. 【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数， 即. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可求解. 【详解】由，得. 故选：A. 3. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B，再由集合的交运算求解集合即可. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 4. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法，移项，通分，转化为整式不等式即可求解. 【详解】由可得，即， 所以， 因为方程的两根为，， 因为，所以，可得， 所以不等式的解集为：， 即不等式的解集为， 故选：A. 5. 在中，， 则这个三角形的最大内角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角满足 考点：余弦定理解三角形 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及通项公式列出关于首项和公差的方程，求出与，再利用前项和公式求出. 【详解】根据是等差数列的前项和，由等差数列前项和公式可得.所以，化简可得.  ，即.得.  将代入中，解得. 将代入，可得. 可得： 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得. 【详解】因为， 则，即， 所以， 则. 故选：B. 8. 已知抛物线可由抛物线平移得到，若抛物线的焦点为，点在抛物线E上且，则点到轴距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到抛物线平移后的抛物线，再利用抛物线的焦半径公式求得对应点平移后的纵坐标，进而得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】依题意，将抛物线的图象向左平移2个单位， 再向下平移3个单位，可得抛物线，即的图象， 记抛物线的焦点为，记点为点平移后的点， 由平移的性质可知，则，即， 所以点的纵坐标为，即点到轴距离为. 故选：C. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ） A. B. 的渐近线方程是 C. 的焦距为 D. 的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的值，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程是，B正确； 对于C，的焦距为，C错误； 对于D，的离心率为，D正确. 故选：ABD 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用等比数列通项公式求解，，进而求得，，，从而判断各选项. 【详解】由等比数列通项公式得， 解得，或， 又公比为整数，故，，故A选项正确； ，故数列是公差为的等差数列，故B选项错误； ，故，故C选项错误； ，故为等比数列，即D选项正确； 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用真数大于0即可求得结果；对于B：利用偶函数定义即可证明； 对于C：举反例即可判断；对于D：令函数，利用导数求得单调性再结合负负得正即可判断 【详解】对于选项A：因为对数的真数大于0，故，故定义域为，故选项A正确； 对于选项B:因为，定义域为关于原点对称， 又，且， 故为偶函数，故选项B正确； 对于选项C：因为，故，故选项C正确； 对于选项D：令，求导得， 故函数在区间上单调递减，而当时，， 当时， 当时，，所以，所以， 当时，，所以，所以， 故选项D正确； 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标，接着可求. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13. 已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分，和三种情况，结合二次函数的图象性质与极值的定义判断即可. 【详解】由题意当时不成立，当时有两个零点与. ①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值； ②当时，开口向下； 当时，，无极大值； 当时，在区间上，上，故在处取到极大值； 当时，在区间上，上，故在处取到极小值. 综上有或. 故答案为： 14. 将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知当两球外切且与正方体包装盒对角的三个面相切时盒子棱长最小，作出正方体的对角面即得. 【详解】由题可知当两球外切且与正方体包装盒对角的三个面相切时盒子棱长最小， 过正方体对角作截面如图， 设此时盒子棱长为，则，， ∴()，即盒子棱长最小值为 . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式将函数的解析式化简为，然后解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由，可计算出，然后由余弦函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）， 解不等式，得， 因此，函数的单调递增区间为； （2）当时，. 当时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值. 【点睛】本题考查三角函数单调区间以及在定区间上最值的求解，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并借助正弦函数或余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16. 已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，方法一：代入点解得，，即可得方程；方法二：根据椭圆的定义可得，即可得方程； （2）由题意可得直线方程为，联立方程结合弦长公式可得，结合点到直线的距离公式求面积. 【小问1详解】 因为焦距为，即， 方法一：由题意可得：，解得，， 所以椭圆方程． 方法二：由题意可知：，右焦点，则， 可得， 即，可得， 所以椭圆方程． 【小问2详解】 因为，，直线方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得， 且到直线的距离为， 所以的面积． 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形为平行四边形，可得∥，可证结论； （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，， ∵，，点为中点， ∴， 又∥，∴四边形为平行四边形， ∴∥，，∵为正方形， ∴∥，，∴∥，， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面． 【小问2详解】 以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知函数为的导函数. （1）若，讨论在上的极值点个数； （2）设函数，若恒成立. ①求的取值范围； ②设函数的零点为的极小值点为，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构造，应用导数研究其区间单调性及最值，分类讨论参数，确定极值点个数； （2）①根据已知有，结合恒成立得，再应用导数求其最值，即可得参数范围；②构造，对其求导，再构造，应用导数研究其单调性，进而确定的极小值点，再由不等式恒成立得，结合的单调性，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，令，则， 由且，则，所以在上单调递减，则， 若，则，故在上恒成立，此时在上单调递减，故无极值点， 若，则，且趋向，，，即， 所以，存在使，则时，时， 故在上，在上单调递增，在上，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点，无极小值点； 综上，时在上无极值点，时在上有1个极大值点，无极小值点； 【小问2详解】 ①由题设，可得，显然时不合题设， 当时，趋向，，，即，不符合， 所以，且， 所以，即在上单调递减，，即在上单调递增， 所以； ②由，令，则， 令且、，则， 所以在上单调递增，则，， 所以存在使， ，即有，，即有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时的极小值点，因此， 由①，当有，即，整理得，则， 所以，即 所以在上单调递增，由，即， 所以， 综上，. 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动． （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率； （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为． ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值． （取） 【答案】（1）； （2）①；②的最大值为，此时． 【解析】 【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可； （2）①首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率； ②记事件表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得． 【小问1详解】 设表示共抽了3次且最后一次抽到C，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， 所以， 而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，除了最后一次，其它抽到， 故对应概率依次为、、、， 设表示事件最后一次抽到，则， 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，他共抽了3次的概率为． 【小问2详解】 ①这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况， 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： 情况一：最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况； 情况二：最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置， 有种情况，综上，所求概率为； ②记事件表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最适合的灯谜在前条中，不会被摘到，此时； 当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时， 此时，所以， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当时，取得最大值，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $