精品解析：广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 百万学子的理想学校清华大学、北京大学、浙江大学、上海交大的校徽中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 百步穿杨 C. 水中捞月 D. 水涨船高 5. 在、、、、这些数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 7. 父亲节当天，学校“文苑”栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图像是( ) A. B. C. D. 8. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 计算：已知，，则的值为______． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 11. 月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是______． 节次 班 班 班 班 班 班 第节 英语 语文 英语 数学 数学 英语 第节 生物 历史 数学 美术 英语 地理 第节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史 第节 语文 英语 日语 语文 语文 数学 12. 一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 13. 如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 16. 如图，在中，平分，过点D作交于点E，过点E作交于点F，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下： 解：∵，（已知） ∴ ．（ ） ∵，（已知） ∴ ，（ ） ．（ ） ．（等量代换） 又∵平分（已知） ∴．（ ） ∴ ．（等量代换） ∴ 平分．（角平分线定义） 17. 校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示． （1）图2两个变量中，自变量为 ，因变量为 ； （2） ， ， ； （3）当的面积为 时，求t的值． 18. 如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）请画出关于直线的对称图形； （2）请作出的中线； （3）在直线上找出一点，使得． 19. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． 问题探究一： （1）试说明：； （2）若点，，在同一条直线上，连接，则的度数为______． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点对应点落在长方形纸片内，连接，，． 问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由． 20. 在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与位置关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 百万学子的理想学校清华大学、北京大学、浙江大学、上海交大的校徽中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是成轴对称图形． 故选：B． 2. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次根式的加减乘除法运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可得到正确的选项． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. 2与，不是同类二次根式，不能合并，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 百步穿杨 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、百步穿杨，是随机事件，不符合题意； C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； D、水涨船高，是必然事件，符合题意； 故选：D． 5. 在、、、、这些数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可得，在、、、、这些数中，无理数有，、，共3个， 故选：C． 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 7. 父亲节当天，学校“文苑”栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图像是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正确理解函数图象即可得出答案． 【详解】解：同辞家门赴车站，父亲和学子的函数图象在一开始的时候应该一样，当学子离开车站出发，离家的距离越来越远，父亲离开车站回家，离家越来越近． 故选B． 【点睛】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象． 8. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 计算：已知，，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】∵，， ∴= 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法运算法则． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 11. 月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是______． 节次 班 班 班 班 班 班 第节 英语 语文 英语 数学 数学 英语 第节 生物 历史 数学 美术 英语 地理 第节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史 第节 语文 英语 日语 语文 语文 数学 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有种等可能结果，其中语文课有种结果， ∴恰好观摩到语文课的概率是， 故答案为：． 12. 一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，且AE=AB，连接交延长线于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式， ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根、平方差公式、完全平方公式及整式的化简求值等知识点．解题的关键在于熟练掌握各公式的应用，准确进行指数运算和根号运算，同时在化简过程中注意符号处理和同类项的合并，确保每一步计算无误． 15. 如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）12cm； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂平分线的性质定理得出AM=MC，BN=CN，故的周长等于AB得解； （2）根据三角形的内角和定理求出，根据等腰三角形的性质得出，进而求出． 【小问1详解】 解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N． ， 的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB， ∵AB=12cm， 的周长=12cm． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， = =． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能熟练运用相关性质进行推理运算是解题的关键． 16. 如图，在中，平分，过点D作交于点E，过点E作交于点F，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下： 解：∵，（已知） ∴ ．（ ） ∵，（已知） ∴ ，（ ） ．（ ） ．（等量代换） 又∵平分（已知） ∴．（ ） ∴ ．（等量代换） ∴ 平分．（角平分线定义） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等; ；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记相关结论即可完成推理过程． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） 又∵平分（已知） ∴．（角平分线的定义） ∴．（等量代换） ∴ 平分．（角平分线定义） 17. 校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示． （1）图2的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ； （2） ， ， ； （3）当的面积为 时，求t的值． 【答案】（1）运动时间t，的面积S （2），40，675 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可得； （2）根据图2函数分别分析出当点H运动到点B、C、D处的路程，求出，再求出当点H在上时的面积即可； （3）当的面积为 时，点H在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【小问1详解】 解：图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S， 故答案为：运动时间t，的面积S； 【小问2详解】 解：由图2得，当时，S随t的增大而增大， ∴当点H运动到点B时，， ∴， 当时，S的值不变， ∴当点H运动到点C时，， ∴， ∴，即， 当点H运动到点D处时，， ∴， 故答案为：，40，675； 【小问3详解】 解：当点H在上时，的面积， 当时，， ∴， ∴， 当点H在上时，的面积， 当时，， ∴， ∴， 综上，点H的运动时间为或． 18. 如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）请画出关于直线的对称图形； （2）请作出的中线； （3）在直线上找出一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟知轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据三角形中线的定义画出图形； （3）根据对顶角和轴对称的性质，连接交直线于点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 19. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． 问题探究一： （1）试说明：； （2）若点，，在同一条直线上，连接，则的度数为______． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，． 问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】问题探究一：（1）见解析；（2）；问题探究二：，理由见解析 【解析】 【分析】问题探究一：（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可； 问题探究二：根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，得出，根据，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可． 【详解】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）长方形纸片中，， 根据折叠可知：，， ∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题探究二：；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 20. 在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线取值范围是______． 拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $