世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动2024-2025学年上学期九年级数学B卷

绝密★启用前 2024-2025年度世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动 (2024年12月) 温馨提示： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计 20分：第三部分：解答题，共计66分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置。 3、选拔考试时不能使用计算工具。 4、选拔考试结束时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 得分 九年级试题(B卷) (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得 分 一、填空题（每题8分，共计64分） 评卷人 1、据最新监测数据显示，我国广东省正处于登革热流行季节。某兴趣小组，通 过收集数据，发现最开始如果有一个人感染了登革热，经过两轮传染后共有81人患 了登革热，请问每轮传染中平均一个人传染了 个人。 2、定义：若x,y满足且x=4y+1,y=4x+1,且x≠y(t为常数)，则称点M(x,y) 为“和谐点”，若有一个函数满足k=y(-3<x<-15),其上存在“和谐点”，则k的取值 范围是 3、已知x=2024-2023,则2W2023x-+-2√2024r+2x√2024的值 为 4、抛物线y=r2-4r经过原点，且与x轴的正半轴交于点A,顶点C的坐标为 (2,-4)。若点P为抛物线上一动点，其横坐标为1，作PQ⊥x轴，且点2位于一次函 数y=x-4的图像上。当1<4时，PQ的长度随t的增大而增大，则1的取值范围 是 九年级 第1页 5,如图，函数：y=2x与函数y=2的图象交于A,B两点，点P在以C(-2,0)为 圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则O0长的最小值为 6、如图，在矩形ABCD中， =号，动点N从A出发，沿边AD向点D匀速 运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN。动点N,M同时出发， 点N运动速度为”，点M的运动速度为2，且”<”2。当点M到达C时，M,N两点同 时停止运动。在运动过程中，将四边形MBAW沿MN翻折，得到四边形MB'A'N。若 在某一时刻，点B的对应点B恰好与CD的中点重合，则：的值是 D B 7、对于任意一个非负整数N,都定义有N*且W+)W-》=N*+1,若0=0， 2 100*=20000,记P=200*,，则 100 8、如图，矩形ABCD中，AD=√2AB,点E在BC边上，且AE=AD,DF⊥AE于 点F,连接DE,BF的延长线交DE于点O,交CD于点G,则△= SADFG 九年级 第2页 二、计算题（每题10分，共计20分） 得分 评卷人 9解方程：2+字(+引1=0 7 9 4049 10、1P+2+P+2+3+P+22+3+车++P+2+3++202 得分 三、解答题（第11题~第13题每题12分，第14题14分，第15题16分，共计66分） 评卷人 11、如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根 比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”。例如，一元二次方程x2+x=0的 两个根是，=0，，2=-】，则方程x2+x=0是“邻根方程”。 (1)已知关于x的一元二次方程2-(k-3)x-3k=0(k是常数)是“邻根方程”，求 k的值， (2)若关于x的方程m2+x+2=0(m,n是常数，m>0)是“邻根方程”，令t=m2-4m2, 试求t的最人值。 九年级 第3页 I2、如图，正方形ABCD内接于⊙O,在AB上取一点E,连接AE,DE。过点A作 AG⊥AE,交⊙O于点G,交DE于点F,连接CG,DG。 (I)求证：△AFD≌△CGD: (2)若AB=2,∠BAE=30°，求阴影部分的面积。 13、正在建设的北京环球影城主体乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊 猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施。过 山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位。如图所示，F→E→G为过山车的一 部分轨道，它可以看成一段抛物线。其中OB=2空米，OF=2米（轨道厚度忽略不计）. 8 16 (1)求抛物线F→E→G的函数关系： (2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和G,当过山车运动到G处时，平行于地 面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H(接口 处轨道忽略不计)。已知轨道抛物线K→H→Q的形状 F 与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中， 当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有 多远？ CM GK (3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加周， 建造某种材料的水平和竖直支架AM,CM,BN,DN,且 要求OA=AB。己知这种材料的价格是8000元/米，如何 D 设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ OABE H 九年级。第4页 14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，点F是BC边上一点，过点A作射线AD∥BC, 点E为CD中点，连接EF交AC于G。 当时 BF 1 ①求证：GF=GC。 ②连接DC,若此时AB=AD,DG=CG,求 FG 九年级 第5页 15、如图，抛物线y=2+br+(a≠0)与x轴交于点4(-2,0)，点B(3,0),交y轴于点 C0,3)。 图1 (1)求抛物线的解析式。 (2)如图1，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC,PF⊥x轴于点F, 求号PE+兮4F的最大值，以及此时点P的坐标： 2 (3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C,点B的对 应点为B,点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的 距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M,使得∠MNB=∠CBN,请直接写出 所有符合条件的点M的坐标。 九年级 第6页 20242025年度世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动 九年级参考答案(B卷) 一、填空题。 1 2 3 4 5 6 8 3<k<4 √2023 5-1 2 3-5 600 2W2 二、计算题。 9解+字-x+10, ++2-2+3=0,即（-+}=0… 设x+二=m,则m2-2m-3=0, 因式分解得：(m-3)(m+1)=0, ∴.m-3=0或m+1=0, 解得：m=3或m=-1, 当m=3时，则x+二=3， 整理得：x2-3x+1=0, 解得535,535 2 2 经检验，计5，飞5都是方程x+3的解3： 1 2 当m=-1时，则x+上=-1， 整理得：x2+x+1=0, △=b2-4ac=1-4=-3<0, “x+=-1时，方程无解 综上，该方程的解为：x=3+5 .3-5 2 10、P+2=2x2+x2×2+5, 6 P+22+3=3x3+)x2×3+）14, 6 P+2+3+4.4x4+k2x4+30, 6 … 以此类推可知，P+2+32++=n+2m+ 6 f”】 5 7 9 4049 六P+2+P+2+3+P+2+3+4+…+P+22+32+…+2024 20242025 =传) 2023 675 三、解答题。 11、解：由方程x2-(k-3)x-3k=0得(x+3)(x-k)=0, 解得：x=k,为2=-3， 由于方程x2-(k-3)x-3k=0是“邻根方程“， 则k-（-3)=1或-3-k=1, 解得k=-2或k=一4： (2)解：解方程m2+x+2=0得：x=-n±Vm2-8m 2m 关于x的方程mx2+x+2=0(m,n是常数，m>0)是"邻根方程”， :n+P-8m_-n-R-8m-1, 2m 2m 整理得n2=m2+8m, t=n2-4m2, 1e-3m+8m-30m-争+ ， :当时，有最大值曾 12、(1)证明：如图，连接EG, ,AE⊥AG,则∠EAG=90°， E .∠EDG=∠EAG=90=∠EDC+∠CDG, 正方形ABCD, ∴.∠ADC=90°，AD=CD, ∴.∠ADF+∠EDC=90°， ∴.∠ADF=∠CDG, .∠DAF=∠DCG, ∴.△AFD≌△CGD (2)解：如图，连接OA,OD,过F作FK⊥AD于K,设FK=x,在AD上取Q,使OF=OD, D G B 0为正方形中心， ∴.∠OAB=∠OAD=∠ODA=459,∠AOD=90°，而∠BAE=30°， ∴.∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°， .∠EAG=90°， ∴.∠FAD=120°-90°=30°， AF =2x,AK=3x, :BD-40=45, .∠AFD=∠AED+∠EAF=45°+90°=135S, .∠ADF=180°-30°-135°=15°，而2F=2D, ∴.∠QFD=∠QDF=19, .∠K0F=30° ∴F2=2x=D,QK=V3x, 而正方形的边长AB=2=AD, ∴.2W3x+2x=2, 解得：x=5- 2 i.S.=ADxx 2 22 ,AD=2,∠AOD=90°，OA=OD, ∴0A=0D=ADx5.2, 2 5m-5x5=l, 90*回-x 360 2 is-1+月1463 1 2 2 13、解：由题可知： 管0小，r0》且点(0为地物线的项点， 设抛物线函数关系式为y=(-,将点F0昭)代入其中， 解得：a= 5' 播简线P→8→G的属数关系政一(-萄 (2)解：由图象可设抛物线K→H→2的顶点H坐标为(h,0), 抛物线K→H→？与抛物线P→E→G完全一样， 抛物线K→H→卫解析式：为-(x-, 又地物线P→B→G解折式为y-(x-百)。 当5时，得(x)=5。 45 解得：= 85 8