精品解析：河北省邢台市内丘县永安中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

河北省邢台市内丘县永安中学2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题1给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式计算正确的是( ) A B. C. D. 2. 下列函数：①y＝；②y＝－；③y＝3－x；④y＝3x2－2．其中是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 4. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 9. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A 4 B. C. 4.5 D. 5 10. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（　　） A. B. C. D. 11. 若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（  ） A. ab＞0 B. a﹣b＞0 C. a2+b＞0 D. a+b＞0 12. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某舞蹈团有甲、乙两个小组可以表演“天鹅湖”，两组成员身高方差分别为，，则__________组的成员身高比较集中． 14. 如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标是_____． 15. 四边形的对角线相交于点，且，，则_______． 16. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9． （1）求CD长． （2）求AD的长． （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 20. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元； （2）计算这次调查获取的样本数据的平均数； （3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？ 21. 如图，在中，D是边的中点，E、F分别在及其延长线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 22. 如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=. （1）求点B坐标； （2）若△ABC的面积为4，求的解析式． 23. 某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 24. 四边形 ABCD 正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市内丘县永安中学2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题1给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，∵不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误； B选项中，∵，∴本选项正确； C选项中，∵，而不是等于，∴本选项错误； D选项中，∵，∴本选项错误； 故选B. 2. 下列函数：①y＝；②y＝－；③y＝3－x；④y＝3x2－2．其中是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 【详解】解：由题可得，是一次函数的有：①y＝；③y＝3－x， ∴一次函数有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再估计的范围即可. 【详解】解：， . 故选：C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键. 5. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴． ∵点E、F分别是BD、CD的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 6. 若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是， 故选：A． 7. 一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查算术平均数的求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 由题意可知，将这组数据扩大为原来的2倍，它的平均数也扩大为原来的2倍，据此即可解答． 【详解】解：一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为：． 故选：B． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 10. 王芳同学为参加学校组织科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到王芳家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项． 解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程； 由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到王芳家的距离不变，所以只有选项B符合题意； 故选B． 主要考查了函数图象的读图能力．能够根据函数的图象准确的把握住关键信息是解答此题的关键． 11. 若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（  ） A. ab＞0 B. a﹣b＞0 C. a2+b＞0 D. a+b＞0 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴ab＜O，故A错误， a﹣b＜0，故B错误， ，故C正确， a+b不一定大于0，故D错误． 故选C． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE． 【详解】连接DE、BD，如图所示： 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB， ∴PE+PB=PE+PD=DE， 即DE就是PE+PB的最小值， ∵∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AE=BE， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）， 在Rt△ADE中，DE=. 故选B 【点睛】考查了有关最短路线问题，解决本题的关键是熟悉运用菱形的基本性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某舞蹈团有甲、乙两个小组可以表演“天鹅湖”，两组成员身高方差分别为，，则__________组的成员身高比较集中． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断． 此题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，， ∴ ∴乙组的成员身高比较集中． 故答案为：乙． 14. 如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，点坐标的平移，直角坐标系下将点向右（或左）平移a个单位长度，对应点的横坐标加上a，(或减去a)，纵坐标不变或． 直角坐标系下将点，向上（或下）平移a个单位长度，对应点的纵坐标加上a，(或减去a)，横坐标不变或． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴点C的坐标是B点左移5个单位． ∴． 故答案为：． 15. 四边形的对角线相交于点，且，，则_______． 【答案】1：2 【解析】 【分析】求出，判定四边形是矩形，求出是等边三角形，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形矩形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 16. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 【答案】且且且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三条直线能够围成三角形的条件，一元一次方程．利用了数形结合及分类讨论的思想． 先求得C的坐标，然后讨论不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C时，；②平行时，；③l1，l3平行时， ；进而得出可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 解得m， ∴ 一次函数的图象为，如果不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②平行时， ， ③平行时，， 又是一次函数，所以． 故可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． 故答案为：且且且． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质及运算法则计算，再算加减即可． 【详解】解： 18. 已知，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 19. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9． （1）求CD长． （2）求AD的长． （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）12；（2）16；（3）△ABC是直角三角形，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）在Rt△BCD中运用勾股定理即可求出CD的长； （2）在Rt△ACD中运用勾股定理即可求出AD的长； （3）已知△ABC的三边，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）∵ CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°． 在Rt△CDB中，CD＝＝＝12． （2）在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12， ∴AD＝ ＝＝16． （3）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25， ∴AC2＋CB2＝202＋152＝625， AB2=252=625， ∴AC2＋CB2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，比较简单，解题关键在于熟练运用勾股定理及其逆定理． 20. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元； （2）计算这次调查获取的样本数据的平均数； （3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？ 【答案】（1）30；40 （2）平均数为48元 （3）估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元 【解析】 【分析】（1）由出现次数最多的数据是30元，可得众数，由排在最中间的两个数分别是30元与50元，可得中位数； （2）利用样本平均数公式进行计算即可； （3）利用样本平均数估计总体即可. 【小问1详解】 解：因为购买课外书的花费最多的是30元，有14人， 所以众数是30元， 因为总人数有（人）， 排在最中间的两个数据是第20个与第21个，分别是30元与50元， 所以中位数是（元）， 故答案为： 【小问2详解】 解：平均数为：（元） ∴这次调查获取的样本数据的平均数为48元． 【小问3详解】 解：200×48＝9600（元） 答：估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，众数，中位数，平均数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键. 21. 如图，在中，D是边的中点，E、F分别在及其延长线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由、的内错角相等，可得出和的两组对应角相等；已知D是的中点，即，由即可证得两三角形全等； （2）若，则是等腰三角形，而D是底边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得；由（1）的全等三角形，易证得四边形的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等腰三角形； 又∵， ∴（三线合一）， 由（1）知：， 则，； ∴四边形是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）． 【点睛】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法． 22. 如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=. （1）求点B的坐标； （2）若△ABC的面积为4，求的解析式． 【答案】（1）（0，3）；（2）． 【解析】 【分析】（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标； （2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式． 【详解】（1）在Rt△AOB中， ∵， ∴， ∴OB=3， ∴点B的坐标是（0，3） ． （2）∵=BC•OA， ∴BC×2=4， ∴BC=4， ∴C（0，-1）． 设解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入得：， ∴， ∴的解析式为是． 23. 某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1）购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元． 【解析】 【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可； （2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可． 【详解】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得： 5x+9（140﹣x）=1000， 解得：x=65， ∴140﹣x=75（千克）， 答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； （2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元， 设总利润为W，由题意可得出：W=3x+4（140﹣x）=﹣x+560， 故W随x的增大而减小，则x越小W越大， 因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍， ∴140﹣x≤3x， 解得：x≥35， ∴当x=35时，W最大=﹣35+560=525（元）， 故140﹣35=105（千克）． 答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元． 24. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形结合正方形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：如下图所示： 作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； 【小问2详解】 如图2： 在Rt△ABC中AC＝AB＝， ∵EC＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 ①如图3： 当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4： 当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $