精品解析：河北省邢台市内丘县六校联考2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年河北省邢台市内丘县六校联考八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 2 2. 下列四个点中，在函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 3. 对于调查“从一批乒乓球（1000个）中抽取10个，调查这批乒乓球的直径大小”，有以下说法：①这项调查是抽样调查，②这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体，③样本容量是10，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E为的中点，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A. 18 B. 9 C. 6 D. 12 6. 托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ） 甲：点，的运动速度相同； 乙： A. 甲、乙都可行 B. 甲、乙都不可行 C. 甲可行，乙不可行 D. 甲不可行，乙可行 8. 将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A. B. y随x增大而增大 C. 方程的解为 D. 图象不经过第二象限 9. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 10. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的面积为（　　） A. B. 8 C. D. 11. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A. B. 3 C. D. 4 12. 图1是变量y与变量x函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 14. 如图，C处在B处的北偏东方向上，若，则D处在C处的 ___________方向上． 15. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数． （1）若用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，求y与x之间的函数表达式； （2）求的值． 18. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求度数． 19. 为了解某种小麦长势，随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：）进行了测量，根据获取的数据，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的麦苗株数为 株； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，苗高对应的扇形圆心角的度数为 ； （4）若每公顷麦田约有麦苗20000株，估计每公顷麦田中麦苗高不低于的有多少株？ 20. 如图，已知A，B两点的坐标分别为． （1）在网格图中建立平面直角坐标系，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标； （2）平移线段使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； （3）若x轴上存在一点P，使得，直接写出点P的坐标． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求m和k的值； （2）直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； （3）设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 23. 某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． （1）点A的坐标为 ； （2）求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； （3）直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 24. 如图1，在矩形中，，E是边上一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G． （1）若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； （2）如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年河北省邢台市内丘县六校联考八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点到轴的距离为， 故选：D． 2. 下列四个点中，在函数的图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项A不符合题意； B．当时，， ∴点不在函数图象上，选项B不符合题意； C．当时，， ∴点在函数的图象上，选项C符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项D不符合题意． 故选：C． 3. 对于调查“从一批乒乓球（1000个）中抽取10个，调查这批乒乓球的直径大小”，有以下说法：①这项调查是抽样调查，②这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体，③样本容量是10，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查总体，个体，样本，样本容量，根据相应定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：从一批乒乓球中抽取10个，调查这批乒乓球的直径大小属于抽样调查，故①正确； 这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体，故②正确； 样本容量是10，故③正确； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E为的中点，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：B． 5. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A. 18 B. 9 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】小长方形的高度比等于各组的人数比，即可求得分数在70.5到80.5之间的人数所占的比例，乘以总数48即可得出答案． 【详解】解：分数在70.5到80.5之间的人数是：， 故答案为：A． 【点睛】此题考查了频率分布直方图，了解频数分布直方图中小长方形的高度比与各组人数比的关系是解答问题的关键． 6. 托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据题目已知可写出：托运1千克费用为2元；托运2千克行李的时候，2千克行李的费用为元；托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 【详解】解：根据题意，知：托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 故选：C． 7. 如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ） 甲：点，的运动速度相同； 乙： A. 甲、乙都可行 B. 甲、乙都不可行 C. 甲可行，乙不可行 D. 甲不可行，乙可行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知，从而推出，，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据可证，知道，从而推出，然后结合矩形对边平行，即可判断． 【详解】若添加甲条件，可证四边形为平行四边形，理由如下： 四边形是矩形 ， 又点，分别从点，同时出发且运动速度相同 即 四边形为平行四边形； 若添加乙条件，可证四边形为平行四边形，理由如下： 四边形是矩形 ，，， 在和中 即 四边形为平行四边形． 故选A． 8. 将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A. B. y随x的增大而增大 C. 方程的解为 D. 图象不经过第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴直线，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意 D、∵直线经过第二、三、四象限， ∴直线不经过第一象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解． 【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得： ， ∴这个多边形的内角和为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的面积为（　　） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，连接、交于点O，根据正方形的性质利用勾股定理求出的长，根据菱形的性质求出的长，即可得出的长，最后根据菱形的面积等于对角线长的积的一半即可求解． 【详解】解：连接、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：D． 11. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的点的坐标的特征、勾股定理以，熟练掌握一次函数的点的坐标的特征、勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得出四边形是矩形，连接，则，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，结合勾股定理，可求出的长，再利用点到直线垂线段最短，可求出长的最小值，即长的最小值． 【详解】解：连接，由题意可知， 则四边形为矩形， 则，如图所示， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴长的最小值为． 故选：A． 12. 图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由图1可设（k，b为常数，且，），由图2可设（m为常数，），将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【详解】解：由图1可设（k，b为常数，且，），由图2可设（m为常数，）， 将代入得：， ∴z与x的函数关系为一次函数关系， ∵，，， ∴，， ∴z与x的函数图象过一、二、四象限． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 14. 如图，C处在B处的北偏东方向上，若，则D处在C处的 ___________方向上． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、方向角问题，根据平行线的性质和方向角的定义即可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D处在C处的南偏东方向上． 故答案为：南偏东． 15. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边形的性质得出点的坐标即可． 【详解】解：，，， ，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形性质求得点D坐标． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】联立，解得：，求出点P的坐标为，得出点P在直线上，求出直线的解析式为，联立，求出，即可得出答案． 【详解】解：联立， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴直线与直线的交点为， ∴当点在内部（不包括边界）时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是求出点P的坐标为，说明点P在直线上． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数． （1）若用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，求y与x之间的函数表达式； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，以及求自变量和函数值． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据函数解析式，求出的值，进而求出的值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 由题意，得：图象过， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，，即， 当时：， 解得：，即， ∴． 18. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，根据角平分线得到，即可证得． （2）根据角平分线得到，根据平行线可得，再根据得，再利用平行四边形性质，即可证得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， 即， 又∵， ∴，解得， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、角平分线，熟练掌握其性质是解题的关键． 19. 为了解某种小麦长势，随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：）进行了测量，根据获取的数据，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的麦苗株数为 株； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，苗高对应的扇形圆心角的度数为 ； （4）若每公顷麦田约有麦苗20000株，估计每公顷麦田中麦苗高不低于有多少株？ 【答案】（1）50 （2）见解析 （3） （4）12800株 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体． （1）根据苗高的株数除以所占的百分比即可答案； （2）用总数分别减去其它高度的数量，可得苗高16cm的株数即可补全条形统计图； （3）用乘苗高所占的百分比，即可得出答案； （4）用总数乘麦苗高不低于所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的麦苗株数为（株）； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：苗高的株数为：（株）； 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：高所占的百分比为：， 苗高对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（株）， 答：估计每公顷麦田中麦苗高不低于的约有12800株． 20. 如图，已知A，B两点的坐标分别为． （1）在网格图中建立平面直角坐标系，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标； （2）平移线段使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； （3）若x轴上存在一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中坐标与图形，平移等知识； （1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标． （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为=3，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：如图，平面直角坐标系、点C即为所求． 由图可得，． 【小问2详解】 由题意知，线段是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到的线段， 如图，线段即为所求． 由图可得，． 【小问3详解】 设线段与x轴交于点E， 可知． 设点P的坐标为， ， 解得或6， ∴点P的坐标为或． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理成为解题的关键． （1）由菱形的性质得，因为，且，所以，且，则四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由，证明是等边三角形，则，所以，则，因为，所以． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴， ∵且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 小问2详解】 解：∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长是． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求m和k的值； （2）直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； （3）设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识； （1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）可将四边形的面积转化为与的面积之差． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入正比例函数解析式得， ， 所以点A的坐标为． 将点A的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 【小问2详解】 由所给函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值， 所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为： ． 【小问3详解】 由（1）知， 一次函数的解析式为， 所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为 ． 由得， ， 所以点E的坐标为． 将代入得， ， 所以点D的坐标为． 将代入得， ， 所以点C的坐标为． 所以， 所以． 23. 某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． （1）点A的坐标为 ； （2）求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； （3）直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 【答案】（1） （2）直线的解析式为，运动员下坡的速度为每分钟， （3）时长为分，即7分40秒 【解析】 【分析】本题主要考查矩形，等腰直角三角形，勾股定理，一次函数等知识； （1）过点A作轴于点D，根据勾股定理即可得到结论． （2）利用作垂直构造矩形，等腰直角三角形，根据矩形，等腰直角三角形边的性质找到相等线段，从而找到坐标，设出直线的函数解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题干所给的条件确定的长度就是运动员下坡时无人机飞行的距离，根据无人机的速度，求出无人机的飞行时间即是运动员下坡的时间，根据的长度求出运动员的下坡的速度． （3）求出直线的函数解析式，根据问题的要求做减法，求出运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的距离范围，根据速度求出时间即可． 【小问1详解】 解：过点A作轴于点D， ∵平地段距离地面的高度为，． ∴ ∴点A的坐标为， 【小问2详解】 过点A作轴于D，过点B作轴于E， ∵轴，轴， ∴， ∵是平坡， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入解析式中， 解得 ∴直线的解析式为， ∵，无人机的速度以每分， ∴， ∴运动员下坡的时间的分，即1分40秒， 在中，， ∴， ∴， ∴运动员下坡的速度为每分钟， 【小问3详解】 ∵， 设直线的解析式为， 将点代入中，解得， ∴直线的解析式为， ∵无人机的高度为， 令 ，解得， 令，即， 解得， ， ∴运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的时长为分，即7分40秒， 24. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G． （1）若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； （2）如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②12； （2）①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【小问1详解】 证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； 【小问2详解】 ①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$