17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣9＝0的解是（　　） A.x＝﹣3 B.x＝3 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.， 2.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 3.一元二次方程x2＝16的解为（　　） A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4 4.方程x2＝2的根是　　． 5.一元二次方程x2﹣49＝0的根是　　． 6.解方程：2x2﹣1＝7． 7.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 二、利用配方解决最值问题 1.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 3.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 4.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，则A的最小值是 　　． 5.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　　． 6.（1）若二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，其中k＞0，请直接写出字母k的值． （2）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2013的最小值 7.如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 三、利用公式法解简单的一元二次方程 1.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 2.利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A. B. C. D. 3.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 4.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 5.方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是　　，求根公式是　　． 6.用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 7.用公式法解方程：． 四、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 3.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 5.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 6.解方程：． 7.解一元二次方程． 五、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.一元二次方程（x+2024）2＝﹣1根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 3.方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A.x1＝3，x2＝9 B.x1＝﹣3，x2＝9 C.x1＝3，x2＝﹣9 D.x1＝﹣3，x2＝﹣9 4.方程的一个较小的根为   ． 5.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 6.解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 7.24（x﹣1）2﹣6＝0． 六、利用配方构成非负数求值 1.已知x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0，则x2y﹣xy2的值为（　　） A.16 B.﹣16 C.16或﹣16 D.18 2.已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则yx＝（　　） A.3 B.﹣3 C. D. 3.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 4.实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值        ． 5.已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9，则4x•32y的值为 　　． 6.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 7.先阅读下面的例题，再解决问题： 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2033是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 七、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.下列各数中，是方程x2+x﹣2＝0的根的是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 4.一元二次方程x2﹣2x﹣24＝0的根是 　　． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 6.解方程：x2﹣5x+6＝0． 7.解方程：x2+4x﹣5＝0． 八、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A.x B.x＝3 C.，x2＝3 D.，x2＝3 2.一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A.﹣1 B.0 C.1和2 D.﹣1和2 3.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 4.如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　　步开始出错．（填序号） 5.方程（x﹣1）2＝2x﹣2的根为 　　． 6.解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 7.解方程： (1)； (2)． 九、换元法解一元二次方程 1.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A.7 B.﹣1 C.7或﹣1 D.﹣2或1 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 3.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 4.若，满足方程，则      ． 5.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 6.解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为． 解得，． 当时，，解得，． 当时，，解得，． 所以原方程的解为，，，． 模仿材料中解方程的方法，求方程的解． 7.读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，求3a2+3b2﹣1的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣9＝0的解是（　　） A.x＝﹣3 B.x＝3 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.， 【答案】C 【解析】x2﹣9＝0， 移项得：x2＝9， 两边直接开平方得：x＝±3， ∴x1＝﹣3，x2＝3． 故选：C． 2.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵x2+16＝0， ∴x2＝﹣16， 由偶次方的非负性可知，原方程无实数根， 故选：D． 3.一元二次方程x2＝16的解为（　　） A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4 【答案】D 【解析】x2＝16， x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4． 故选：D． 4.方程x2＝2的根是　　． 【答案】± 【解析】x2＝2 解得：x＝±． 故答案为：±． 5.一元二次方程x2﹣49＝0的根是　　． 【答案】±7 【解析】移项得，x2＝49，开方得，x＝±7． 6.解方程：2x2﹣1＝7． 【答案】解：2x2＝8． x2＝4， x＝±2． 7.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 【答案】解：（1）∵x2﹣1＝80， ∴x2＝81， ∴x＝±9， 即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵9x2+12＝16， ∴x2， ∵x＝±， 即x1，x2． 二、利用配方解决最值问题 1.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 2.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 【答案】B 【解析】由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028 ＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023． 又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023． ∴p≥2023． ∴p的最小值是2023． 故选：B． 3.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 4.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，则A的最小值是 　　． 【答案】2015． 【解析】P＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019 ＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4+2015 ＝（x+y）2+（y﹣2）2+2015， ∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0， A的最小值是2015． 故答案为：2015． 5.如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　　． 【答案】2022． 【解析】∵p＝a2+4b2+2a+4b+2024＝（a+1）2+（2b+1）2+2022≥2022， 故答案为：2022． 6.（1）若二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，其中k＞0，请直接写出字母k的值． （2）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2013的最小值 【答案】解：（1）∵二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，k＞0， ∴x2﹣kx+9＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9， ∴k＝6； （2）m2﹣2m+2013＝m2﹣2m+1+2012 ＝（m﹣1）2+2012； ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+2012≥2012， ∴代数式m2﹣2m+2013的最小值为2012． 7.如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、利用公式法解简单的一元二次方程 1.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解析】由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 2.利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】2x2﹣4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， ∴， ∵一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b， ∴a的值为． 故选：A． 3.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 【答案】D 【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x， 所以x1，x2． 故选：D． 4.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 【答案】一． 【解析】原方程化为：x2﹣5x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝4． 故答案为：一． 5.方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是　　，求根公式是　　． 【答案】b2﹣4ac，． 【解析】方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为． 6.用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 【答案】解：a=2，b=﹣3，c=﹣1， ∴△＝（﹣3）2-4×2×（﹣1）＝9+8＝17>0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 7.用公式法解方程：． 【答案】解：．变形得：． ∵， ∴， ∴， ∴． 四、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 【答案】A 【解析】x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 2.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】由题意知，甲中x2+8x+16＝9+16， 丙中x+4＝±3， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， ∴x2﹣4x+4＝12， ∴（x﹣2）2＝12， ∴，x﹣2＝±2 解得：x＝±22， 故选：A． 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 【答案】x1＝2025，x2＝﹣2023． 【解析】x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 5.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1， 开方得：x﹣1＝±i， 解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 6.解方程：． 【答案】解： 化简为：， 因式分解为：， 即， ． 7.解一元二次方程． 【答案】解： ， 五、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.一元二次方程（x+2024）2＝﹣1根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】D 【解析】因为（x+2024）2＝﹣1，且﹣1没有平方根， 所以一元二次方程（x+2024）2＝﹣1没有实数根． 故选：D． 2.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 【答案】B 【解析】（x﹣5）2＝0 解得：x1＝x2＝5． 故选：B． 3.方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A.x1＝3，x2＝9 B.x1＝﹣3，x2＝9 C.x1＝3，x2＝﹣9 D.x1＝﹣3，x2＝﹣9 【答案】D 【解析】∵（x+6）2﹣9＝0， ∴（x+6）2＝9， 则x+6＝±3， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣9， 故选：D． 4.方程的一个较小的根为   ． 【答案】/ 【解析】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 5.方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　　． 【答案】x1＝6，x2＝﹣2． 【解析】∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝6，x2＝﹣2． 6.解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 【答案】解：由原方程，得 3x﹣1＝±2|2x+3|， 则3x﹣1＝4x+6或3x﹣1＝﹣4x﹣6， 整理，得 x＝﹣7或7x＝﹣5， 解得 x1＝﹣7，x2． 7.24（x﹣1）2﹣6＝0． 【答案】解：24（x﹣1）2﹣6＝0， ∴24（x﹣1）2＝6， ∴， ∴， 解得：或； 声【解析】 六、利用配方构成非负数求值 1.已知x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0，则x2y﹣xy2的值为（　　） A.16 B.﹣16 C.16或﹣16 D.18 【答案】B 【解析】x2﹣4xy+8y2+16y+16＝0， x2﹣4xy+4y2+4y2+16y+16＝0， （x﹣2y）2+（2y+4）2＝0， ∴x﹣2y＝0，2y+4＝0， 解得：x＝﹣4，y＝﹣2， ∴x2y﹣xy2＝（﹣4）2×（﹣2）﹣（﹣4）×（﹣2）2＝﹣32+16＝﹣16， 故选：B． 2.已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则yx＝（　　） A.3 B.﹣3 C. D. 【答案】C 【解析】∵x2+y2+2x﹣6y+10＝0， ∴（x+1）2+（y﹣3）2＝0， x+1＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣1，y＝3， ∴． 故选：C． 3.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0． ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1． ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 4.实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值        ． 【答案】8 【解析】∵a2+b2﹣2a＝0， ∴，2a＝a2+b2， ∴， ∵b2≥0， ∴， ∴0≤a≤2， ∴4a+b2=， ∵-1<0， ∴当a<3时，式子的值随a的增大而增大， ∴当时，4a+b2的最大值为8． 故答案为8． 5.已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9，则4x•32y的值为 　　． 【答案】8． 【解析】∵4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y﹣9， ∴（4x2+20xy+25y2）﹣6（2x+5y）+9＝0， ∴（2x+5y）2﹣6（2x+5y）+9＝0， ∴（2x+5y﹣3）2＝0， ∴2x+5y＝3， ∴4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8． 故答案为：8． 6.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 【答案】解：（1）∵a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0， ∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0． ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝4，b＝3， ∴长方形ABCD的面积为4×3＝12． 故答案为：12； （2）a2﹣10a+30 ＝a2﹣10a+25+5 ＝（a﹣5）2+5． ∵（a﹣5）2≥0， ∴（a﹣5）2+5≥5， ∴代数式a2﹣10a+30的最小值为5，此时a﹣5＝0，即a＝5； （3）（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7） ＝2x2+x﹣3﹣x2﹣3x+7 ＝x2﹣2x+1+3 ＝（x﹣1）2+3． ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+3＞0， ∴（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＞0， ∴2x2+x﹣3＞x2+3x﹣7． 7.先阅读下面的例题，再解决问题： 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2033是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+2＝0， ∴x＝y＝﹣2． （2）原式＝（4x2+4y2﹣4xy）+（x2﹣6x+9）+2024 ＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2024， ∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0， ∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2024≥2024， ∴当2x﹣y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝6时， 代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2023有最小值2024． 七、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.下列各数中，是方程x2+x﹣2＝0的根的是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】x2+x﹣2＝0， （x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝1． 故选：A． 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 【答案】B 【解析】方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】A 【解析】x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 4.一元二次方程x2﹣2x﹣24＝0的根是 　　． 【答案】x1＝6，x1＝﹣4． 【解析】x2﹣2x+1＝25， （x﹣1）2＝25， x﹣1＝±5， x1＝6，x1＝﹣4， 故答案为：x1＝6，x1＝﹣4． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 【答案】x1＝6，x2＝8． 【解析】x2﹣14x+48＝0， （x﹣6）（x﹣8）＝0， x﹣6＝0或x﹣8＝0， x1＝6，x2＝8， 故答案为：x1＝6，x2＝8． 6.解方程：x2﹣5x+6＝0． 【答案】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 7.解方程：x2+4x﹣5＝0． 【答案】解：x2+4x﹣5＝0， （x﹣1）（x+5）＝0， ∴x﹣1＝0或x+5＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣5． 八、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A.x B.x＝3 C.，x2＝3 D.，x2＝3 【答案】C 【解析】因式分解，得 （x﹣3）（2x﹣5）＝0 于是，得 2x﹣5＝0或x﹣3＝0， 解得x1，x2＝3， 故选：C． 2.一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A.﹣1 B.0 C.1和2 D.﹣1和2 【答案】D 【解析】x（x﹣2）＝2﹣x， x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：D． 3.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 【答案】B 【解析】x（x﹣1）＝2（x﹣1） （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 故选：B． 4.如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　　步开始出错．（填序号） 【答案】②． 【解析】如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 5.方程（x﹣1）2＝2x﹣2的根为 　　． 【答案】x1＝3，x2＝1． 【解析】∵（x﹣1）2＝2x﹣2， ∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝1， 故答案为：x1＝3，x2＝1． 6.解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【答案】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， ∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， ∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝2.5，x2＝2． 7.解方程： (1)； (2)． 【答案】（1）解：移项得，           提公因式得， 即或， 解得，； （2）， 解： 所以 所以， 九、换元法解一元二次方程 1.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A.7 B.﹣1 C.7或﹣1 D.﹣2或1 【答案】A 【解析】设x2﹣x＝y，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0， 解得y＝﹣2，y＝6； 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故y＝﹣2不合题意，舍去； 当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故y的值为6； ∴x2﹣x+1＝y+1＝6+1＝7． 故选：A． 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】C 【解析】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 3.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 【答案】C 【解析】由y＝x2+3x， 则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0， 分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0， 解得，y1＝﹣3，y2＝1， 当x2+3x＝﹣3时，经Δ＝32﹣3×4＝﹣3＜0检验，可知x不是实数 当x2+3x＝1时，经检验，符合题意． 故选：C． 4.若，满足方程，则      ． 【答案】 【解析】令，则， 原方程为 解得：或（舍去） 故答案为：． 5.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 【答案】3或﹣1． 【解析】设t＝x+y，则原方程转化为t2﹣2t﹣3＝0， 整理，得（t﹣3）（t+1）＝0． 解得t1＝3，t2＝﹣1． 所以x+y＝3或x+y＝﹣1． 故答案为：3或﹣1． 6.解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为． 解得，． 当时，，解得，． 当时，，解得，． 所以原方程的解为，，，． 模仿材料中解方程的方法，求方程的解． 【答案】设，则，， 解得，． 当时，，即， ∴，解得，； 当时，，， ∴，解得，． 综上，原方程的解为，，，． 7.读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，求3a2+3b2﹣1的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【答案】解：（1）设a2+b2＝m，则原方程变为m（2m﹣1）＝3， 整理得2m2﹣m＝3， 解得或m＝﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴， ∴， 故答案为：， （2）设最小正整数为x，由题意得x（x+1）（x+2）（x+3）＝24， 整理得（x2+3x）（x2+3x+2）＝24， 设x2+3x＝y，则方程化为y2+2y﹣24＝0， 解得y1＝﹣6，y2＝4， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝4， 解得x1＝1，x2＝﹣4＜0（舍去）， 故这四个连续正整数为1，2，3，4． 学科网（北京）股份有限公司 $$