精品解析：福建省莆田市哲理中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学卷

2024-2025学年哲理八年级上第一次月考试卷 一、单选题 1. 下列图形是用数学家名字命名的．其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 彭烈斯三角 D. 斐波那契螺旋线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行作答即可． 【详解】解：A选项， 赵爽弦图没有沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，因此不是轴对称图形； B选项， 笛卡尔心形线沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此是轴对称图形； C选项， 彭烈斯三角没有沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，因此不是轴对称图形； D选项，斐波那契螺旋线没有沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，因此不是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的定义知识内容，轴对称图形的定义是在为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 2. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 3. 如图2，、、分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等，不符合题意； B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等，符合题意； C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等，不符合题意； D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等，不符合题意． 故答案选B． 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：根据图形可得，该图形的对称轴为轴， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为 故选：C． 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 7. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 8. 如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ） A. 40º B. 35º C. 25º D. 20º 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可． 【详解】解：∵AC=AD， ∴∠ADC=∠C， ∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∠DAC=80°， ∴∠ADC=（180°-80°）÷2=50°， ∵AD=BD， ∴∠B=∠BAD， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°， ∴∠B=（50÷2）=25°． 故答案为C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 10. 如图，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，若AB=8，则CM的长为（ ） A. 3.2 B. 3.6 C. 4 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，先证明△DCM≌△EFM（AAS），得到CM＝FM，CD＝FE，再证明△ABC≌△FCE（SAS），得到FC＝AB＝8，利用CM＝FC得到答案． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∵ CD⊥AC，EF⊥AC ∴∠DCM＝∠EFM＝90° ∵M是DE的中点 ∴DM＝EM ∵∠DMC＝∠EMF ∴△DCM≌△EFM（AAS） ∴CM＝FM，CD＝FE ∵BC⊥CE，EF⊥AC ∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90° ∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90° ∴∠ACB＝∠FEC ∵AC＝CD ∴AC＝FE ∵BC＝CE ∴△ABC≌△FCE（SAS） ∴FC＝AB＝8 ∵CM＝FM ∴M是FC的中点 ∴CM＝FC＝4 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法是基础，添加辅助线构造全等三角形是关键． 二、填空题 11. 如图，点E，F在上，，请添加一个____________，使 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件中的一边一角，再添加一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴再添加，根据“角角边”就能证明． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，D为中点，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及三角形内角和定理，先根据等腰三角形性质得出是的平分线，，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=__cm． 【答案】3 【解析】 【分析】首先找到∠ECF=∠B，再判定△ABC≌△FEC，根据线段和差计算出结果即可． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°． ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°． ∴∠ECF=∠B， 在△ABC和△FEC中， ∵∠ECF=∠B，EC=CB，∠ACB=∠FEC=90°， ∴△ABC≌△FEC（ASA）． ∴AC=EF． ∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5﹣2=3（cm）． 【点睛】本题考查了判定三角形全等，运用线段的和差，解题的关键是找到判定三角形全等的条件． 14. 如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 【答案】##50度 【解析】 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，先根据垂直平分线的性质可得，即可求得的度数，从而可以求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【解析】 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 16. 如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立，②的值不变，③的长不变，④四边形的面积不变，其中正确的为 ________ ． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题侧重考查角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，，据此可得，定值，还可判断②④的正误；根据的形状确定，则当变化时，则变化，即可判断③． 【详解】解：如图，作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，故①正确． ∵，， ∴定值，故④正确． ∴定值，故②正确； ∵为定角， ∴为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故③错误， 故答案为：①②④． 三、解答题 17. 如图，，求证：. 【答案】 证明： 在与中， 【解析】 【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），（﹣1，1）． （1）作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1； （2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】 （1）如图△A1B1C1即为所示． （2）如图的△A2B2C2即为所示，C2的坐标是（-1，-1）． 【解析】 【分析】（1）根据平移规律找到各点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的规律找到各点关于x轴的对称点，然后顺次连接，再结合点在坐标系中的位置写出坐标即可． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点． （1）尺规作图：在第一象限内求作一个点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； ①点到A，两点的距离相等； ②点到两坐标轴的距离相等． （2）在（1）作出点后，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图， （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的作法和角平分线的作法； （1）点到A，两点的距离相等，即点P在的垂直平分线上；点到两坐标轴的距离相等，即点P在的角平分线上； （2）先求出线段中点坐标，再根据点到两坐标轴的距离相等即可求解． 【小问1详解】 解：点到A，两点的距离相等，即点P在的垂直平分线上；点到两坐标轴的距离相等，即点P在的角平分线上； 【小问2详解】 解：点，点， ∴线段中点坐标为， ∴点P横坐标为3， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴； 20. 如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证： 【答案】 已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD， 求证：AC=BD． 证明：在△ABC和△BAD中， ∵， ∴， ∴， 即命题得证． 【解析】 【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 21. 如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）二 （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【小问1详解】 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 22. 【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 23. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）连接，求证：平分； （3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵垂直平分，垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2） 证明:由（）知，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 同理， ∴，即平分； （3）． 【解析】 【分析】（）连接，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解； （）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， 设，， ∴，， 在中，，， ∴，即， 在四边形中，， ∴． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 24. 已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． （2）如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； （3）如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】（1），， （2） （3） 解：延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， 【小问2详解】 过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， 【小问3详解】 略 25. 如图1，已知点，C为上一点，， （1）求证：； （2）轴，交x轴于点D，求证：； （3）如图2 ，连接，N为上一点，过点N作，交x轴于点D，．求证，． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图1，过M点作轴于E点，则， ∵轴于点A， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵交x轴于D点，设垂足为H，则， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （3） 证明：如图2，过A点作轴交延长线于M点，过M点作轴于E点， 则， 由（2）得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 由（1）得，， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质， （1）根据算术平方根的非负性求出，即可求出结论； （2）过M点作轴于E点，证明四边形是矩形，再证明可得结论； （3）过A点作轴交延长线于M点，过M点作轴于E点，证明即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年哲理八年级上第一次月考试卷 一、单选题 1. 下列图形是用数学家名字命名的．其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 彭烈斯三角 D. 斐波那契螺旋线 2. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图2，、、分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是 A. B. C. D. 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 7. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ） A. 40º B. 35º C. 25º D. 20º 9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，若AB=8，则CM的长为（ ） A. 3.2 B. 3.6 C. 4 D. 4.8 二、填空题 11. 如图，点E，F在上，，请添加一个____________，使 12. 如图，在中，，D为中点，，则的度数为_____． 13. 在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=__cm． 14. 如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 15. 如图，在中，平分若则____． 16. 如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立，②的值不变，③的长不变，④四边形的面积不变，其中正确的为 ________ ． 三、解答题 17. 如图，，求证：. 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），（﹣1，1）． （1）作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1； （2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点． （1）尺规作图：在第一象限内求作一个点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； ①点到A，两点的距离相等； ②点到两坐标轴的距离相等． （2）在（1）作出点后，则点的坐标为______． 20. 如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证： 21. 如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 22. 【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 23. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）连接，求证：平分； （3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 24. 已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． （2）如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； （3）如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 25. 如图1，已知点，C为上一点，， （1）求证：； （2）轴，交x轴于点D，求证：； （3）如图2 ，连接，N为上一点，过点N作，交x轴于点D，．求证，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $