精品解析：安徽省合肥市厚德中学2024～2025学年八年级下学期期末数学试卷

安徽省合肥市厚德中学2024~2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据为6、7、8、8、11，若再增加一个数8，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于的方程的根，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 16 5. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 在中，所对的边分别为a，b，c，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为______． 13. 如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 14. 如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是___________； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再代入求值：，其中． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的面积． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了学生健康成长和全面发展，2024年秋季学期义务教育阶段学校每天开设一节体育课，提高同学们的身体素质，现对七年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为______； （2）请把条形统计图补全； （3）若该校七年级共500名学生，请估计七年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数． 20. 观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… （1）第四个等式为： ； （2）请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． （1）求m和b的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格． 请在所给网格中按下列要求操作： （1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； （2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是______，线段的长是____（结果保留根号）； （3）作出关于轴对称的． 八、（本题满分14分） 23. 已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市厚德中学2024~2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 一组数据为6、7、8、8、11，若再增加一个数8，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，方差定义．根据题意计算平均数，中位数，众数，方差分别是多少，再增加一个数8进行对比，即可查看哪个统计量发生变化． 【详解】解：∵一组数据为6、7、8、8、11， ∴平均数为：， 中位数：8，众数：8， 方差：， 若再增加一个数8，这组数据变为：6、7、8、8、8、11， ∴平均数为：， 中位数：8，众数：8， 方差：， ∴方差发生了改变， 故选：D． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B. 与不是同类项，，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意； D. ，选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 若是关于的方程的根，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法解方程，正确掌握方法是解题关键．使用配方法解方程时，先将常数项移到右边，二次项系数化为1后，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：， 移常数项：， 配方： ， 左边化为完全平方：． 故选：A． 6. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 7. 在中，所对的边分别为a，b，c，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理即可判断B和D；根据三角形的内角和定理即可判断A和C． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项不符合题意； B、∵， ∴设， ，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； C、∵， 最大角， 是直角三角形，不符合题意； D、，，，， 是直角三角形，不符合题意 故选：B． 8. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 即， 解得：， 故选：D． 10. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理及垂线段最短，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．在上取点M，使，进而得出为的中位线，将的最小值转化为的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在上取点M，使，连接，如图所示， ∵点C为的中点，点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． 过点M作的垂线，垂足为N， 则当点P在点N处时，取得最小值，即为的长． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为， ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数值变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故答案为：． 12. 对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元二次方程和解一元一次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 13. 如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键．利用正方形的性质证明得，再利用勾股定理得出，得出，根据等面积可得的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是___________； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为_________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短： （1）勾股定理求出的长即可； （2）连接，等积法求出的长，再根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，最小，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵于点O，，， ∴； 故答案为：10； （2）连接， ∵于点M， 于点H， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长，即， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由，可知该方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为，则，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， ∵， ∴，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，则，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三线合一得到，然后利用勾股定理求得，进而利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了学生健康成长和全面发展，2024年秋季学期义务教育阶段学校每天开设一节体育课，提高同学们的身体素质，现对七年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为______； （2）请把条形统计图补全； （3）若该校七年级共500名学生，请估计七年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数． 【答案】（1）40；198 （2）补画条形统计图如下： （3）425 【解析】 【分析】（1）利用“组学生人数其占比”，即可求得该校此次调查的学生人数；利用“C组学生人数占比”，即可求得扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数； （2）首先求得组学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）利用“七年级学生总数每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 即该校此次调查共抽取了40名学生， ， 即扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为． 故答案为：40；198； 【小问2详解】 组学生人数为（人）， 【小问3详解】 （人）， 答：估计七年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为425人． 20. 观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… （1）第四个等式为： ； （2）请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】（1） （2） 第n个等式： 证明： 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索； （1）根据题目规律直接得出答案即可； （2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可； 准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键． 【小问1详解】 解：由题意得第四个等式为： 故答案为： 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． （1）求m和b的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①7秒；②存在，或或8 【解析】 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； 【小问2详解】 ①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 七、（本题满分12分） 22. 如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格． 请在所给网格中按下列要求操作： （1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； （2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是______，线段的长是____（结果保留根号）； （3）作出关于轴对称的． 【答案】（1） 解：建立坐标系如图所示： （2） 如图所示：即为所求； ， （3） 解：如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，坐标与图形－轴对称变换，等腰三角形的定义，正确得出对应点位置是解题关键． （1）由于点的坐标为，点的坐标为，根据坐标和正方形网格即可确定坐标系； （2）根据等腰三角形的定义得到，结合点C在第二象限内，且腰长是无理数，根据正方形网格和垂直平分线的性质即可确定C的坐标，再利用勾股定理求出即可； （3）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据坐标系得：，； 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质得到，根据平行线的性质推出，根据等腰三角形的判定得出，则，根据菱形的判定定理即可得解； （2）连接交于点M，根据轴对称图形的性质得到，则是的中位线，，根据三角形中位线性质得出，根据三角形中位线的判定与性质及直角三角形的性质求出，设，则，根据勾股定理推出，据此求出x的值，再根据三角形中位线性质即可得解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点M， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ∵，C是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练运用轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $