精品解析：四川新高考联盟五校2026届高三上学期开学摸底检测数学试题

四川新高考联盟五校开学摸底检测 高三年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（ ） A. 充分不必要条 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，若，则m的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 8. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 随机变量，若，，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. 若的长度为，则点的轨迹长度为 D. 设，则的最大值为 11. 已知函数图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B作x轴的垂线，分别交x轴于，点C为该部分图象与x轴的交点，与y轴的交点为，此时．将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. 的图象在上单调递增 C. 在图2中，上存在唯一一点Q，使得面 D. 在图2中，若是上两个不同的点，且满足，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的常数项为，则________________. 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______． 14. 两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 16. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 17. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； 18. 已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求的数学期望． 19. 已知曲线，点在曲线上． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如图1，过曲线外一点A（不在轴上）作的两条切线，切点为，过曲线上一点的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”． ①连接交于点，请给出三点的纵坐标的关系； ②如图2，从点A出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川新高考联盟五校开学摸底检测 高三年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（ ） A. 充分不必要条 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有， 如图，，，但. 所以是的必要不充分条件. 故选：. 2. 已知集合，，若，则m的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据求解即可. 【详解】由，， 因为，所以，则m的最大值为1. 故选：C. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式及复数的除法运算即可求解； 【详解】， 所以虚部为， 故选：B 4. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 5. 已知函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数结合导数求出，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，， 则所求切线方程为，即. 故选：A 6. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题求出试验及事件的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件， 能构成等差数列的事件含有：公差为的个，公差为的个，公差为有个，共18个基本事件， 所以得到的数列为等差数列的概率为. 故选：A 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 8. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确. 判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 随机变量，若，，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用回归分析可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错； 对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对； 对于C选项，随机变量，若，， 解得，，C错； 对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为， 即，可得，故，，D对. 故选：BD. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. 若的长度为，则点的轨迹长度为 D. 设，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量投影的概念判断A；利用两点间距离结合倍角公式判断B；结合向量的运算，确定P点轨迹，可判断C；利用三角恒等变换结合三角函数性质可判断D. 【详解】由题意知， 则在上的投影向量为，故A正确； 因为，，所以 ，故B正确； 当的长度为时，，所以， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，长度为，故C错误； 由于，则， 则 ， 其最大值为，当时取等号，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知函数图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B作x轴的垂线，分别交x轴于，点C为该部分图象与x轴的交点，与y轴的交点为，此时．将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. 的图象在上单调递增 C. 在图2中，上存在唯一一点Q，使得面 D. 在图2中，若是上两个不同的点，且满足，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由题意读出，建立关于它们的等量关系，从而求出的值，进而求出根据三角函数由图像求解析式的思路依次求出和的值，得出的解析式，即可判断AB；CD需根据图像特征结合几何平行和垂直的判定方法和手段进行分析处理. 【详解】设函数的最小正周期为，则， 又，平方得，即， 所以，即，因为，解得， 故，即，所以，则，可得， 又因为函数在附近单调递减，且，所以，故A错误； 对于B选项，因为，当时，，此时单调递增，B符合题意； 对于C选项，在平面内，过点D作图象的切线，斜率为， 连线的斜率，连线的斜率, 过点D作交x轴于M，则该直线一定交于， 再在平面上，过M作平行于的直线交于，此时面，故C错误； 对于D选项，若均在上，由可知，平行于x轴，此时， 若均在上，作于点E，则， 又，从而面，故，而，因此，在图1中作直线，则为与的交点， 不妨设为与在y轴右侧最近的两个交点，则此时的最小值为， 若不在同一个面上，此时，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：涉及未知点（或动点）的平行（或垂直）关系求未知点（或动点）的位置或轨迹时，抓住平行（或垂直）的不变性和定点以及定直线作相应的平行面或垂面可助于找到未知点（或动点）的位置或轨迹. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的常数项为，则________________. 【答案】1 【解析】 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正态分布的性质得，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，则， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为9. 故答案为：9 14. 两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知为外接球的直径，做辅助线，可知，设，可得，结合两角和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，， 设平面，可知为等边的中心， 取的中点，连接， 则，可知二面角的平面角为， 设， 则，， 因为，即， 又因为，且， 则，解得， 所以的边长为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题只说明两个正三棱锥共底面，没有说明两个正三棱锥全等，不可以利用对称性解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式逆用以及商数关系化简运算即可求解； （2）由平方后结合基本不等式得，进一步结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 故， 因为，，， 所以，又，所以． 【小问2详解】 因为BC边的中线长为2，所以，两侧平方可得， 即，解得，当且仅当时取等号， 所以，可得， 所以a的最小值为． 16. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 【答案】（1） 由于平面平面故 因为，所以底面为直角梯形，故， 过，且与相交于， 则， 又， 故,所以, 由于平面，， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解， （2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接, 由于平面平面故， 平面， 故平面，平面，故， 故为二面角的平面角， 所以从而. 17. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； 【答案】（1） ，由，，所以在上单调递增，在上单调递减，要使有2个零点， 只需，得证； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得函数的单调性，即可求解最值，根据即可求解， （2）构造和，求导，得函数单调性，求解最值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，， 设，由，则， 将代入，则，结合， 所以， 设，则， 设，则，， 由，则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增，则，所以的最大值； 18. 已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求的数学期望． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意与全概率公式得到，再结合等比数列的定义求解通项公式即可. （2）结合题意得到，，再利用递推式得到，再求出对应事件的概率，得到分布列，最后求解数学期望即可. 【小问1详解】 当时， 因为， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 得到，即． 【小问2详解】 当时，，① ，② 由①－②得，， 而，可得， 结合题意得到，故， 则，递推可得，则， 而的可能取值为， 则，， 则的分布列为： 0 1 2 故． 19. 已知曲线，点在曲线上． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如图1，过曲线外一点A（不在轴上）作的两条切线，切点为，过曲线上一点的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”． ①连接交于点，请给出三点的纵坐标的关系； ②如图2，从点A出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系． 【答案】（1） （2）①三点的纵坐标成等差数列；②， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线斜率，再结合点斜式得到切线方程即可. （2）①结合上问结论求出的方程，再结合求出，再结合在上和在抛物线上得到，进而判断三点纵坐标成等差数列即可. ②利用已知结论结合平行线分线段成比例的性质得到，再结合相似三角形的性质得到，最后表示出，利用等比数列求和公式对其求和，证明不等式即可. 【小问1详解】 由题可得，则， 故点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ①设， 则由（1）可知直线为，直线为， 由A在上，同时A在上，可知， 则直线的方程为，故， 而直线是抛物线在点处的切线，则， 而，，即， 则直线为点横坐标为， 在上，，则， ，， 即三点的纵坐标成等差数列． ②由①可知三点的纵坐标成等差数列， 则，得到，即， 又，则，， 可得，且相似比为， 故，同理可得， 如图，连接，由已知得，又， 则与在底边与底边对应的高相同， 又，则， 则， 得到. 即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的， 同理每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的， 可得， 因,则,则,故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $