精品解析：江苏省无锡市积余实验学校2024-2025学年九年级下学期3月练习数学试题

3月练习·九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑.） 1. 2的相反数为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 的计算结果是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 下列四个选项中，符合直线的性质与特征的是（ ） A. 经过第二、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与y轴交于点 D. 经过点 6. 下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①对角线相等的四边形是矩形 ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形 ④四角相等的四边形是矩形 A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 9. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，在半圆上，， 相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分【其中第18题第一空1分，第二空2分】，共计24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应位置.） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知一张纸的厚度大约为，这个数用科学记数法表示为______． 13. 因式分解：______． 14. 若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 _________． 15. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则_____°． 16. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支过的中点D交于点E，连接，若的面积为8，则_________． 17. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段．若点C的坐标为，则m的值为________． 18. 如图，中，，，，则_____，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组 21. 如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证： （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 为丰富同学们的校园生活，某校积极开展了体育类、文艺类、文化类等形式多样的社团活动（每人仅限参加一项）．李老师在九年级随机抽取了2个班级100名学生，对这2个班级参加体育类社团活动的人数情况进行了统计，并绘制了如图的统计图．已知扇形统计图中“足球”项目扇形圆心角为． （1）请在图中将表示“棒球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图中“篮球”项目扇形圆心角为 ． （3）若该校九年级共有12个班级，请你根据上述信息估计该校九年级共有多少名学生参加“棒球”项目？ 23. 某公司开展4种户外拓展活动，分别记为A，B，C，D．现甲、乙两人各自从4种活动中随机选择2项． （1）求甲选择“A，B”的概率； （2）甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的概率是____________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． （1）若点C与点B重合，求k的值． （2）若，在图中只用直尺作出点C． （3）若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 25. 如图，是的外接圆，，点D在上，，连接并延长交于点E，点F在的延长线上，且． （1）连接，求证； （2）求证：是的切线； （3）若，则的长为 ． 26. 某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 27. 已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． （1）当点在对角线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出折痕并求x的值； （2）设与矩形重叠部分的面积为，求S与x的函数表达式． 28. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点， （1）求二次函数的表达式； （2）点是二次函数图象上位于直线上方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． 求的最大值； 当以、、为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3月练习·九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑.） 1. 2的相反数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：2的相反数为． 2. 的计算结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方的运算方法，求出的计算结果即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①（m，n是正整数）；②（n是正整数）． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是47，据此解答即可． 【详解】解：A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意； B、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意； C、数据中出现次数最多的数是47，即众数是47，与被涂污数字无关； D、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故D不符合题意； 故选：D． 5. 下列四个选项中，符合直线的性质与特征的是（ ） A. 经过第二、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与y轴交于点 D. 经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而增大是解题的关键．根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：直线中，， A．∵， ∴函数图象经过第一、三、四象限，原说法错误，故本选项不符合题意； B．∵， ∴y随x的增大而增大，原说法错误，故本选项不符合题意； C．∵当时，， ∴与y轴交于，原说法错误，故本选项不符合题意； D．∵当时，， ∴直线经过点，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题叫做反证法．根据反证法的要求举一个反例即可． 【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴B正确； 故选：B． 7. 如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由俯视图知，该几何体有3层，3列，2行，找从左面看到的图形，应该看俯视图有几行，每行上的小正方体有几个. 【详解】解：从左面看可得到2列正方形，从左往右的个数分别是2个和3个 故答案为：D. 【点睛】本题考查了三视图的概念，左视图是指从左面看得到的视图. 8. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①对角线相等的四边形是矩形 ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形 ④四角相等的四边形是矩形 A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定条件，菱形判定包括：四条边都相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形和有一组邻边相等的平行四边形等；矩形判定包括：有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形，以及有三个角是直角的四边形等；正方形判定包括：四条边相等且四个角都是直角的四边形、对角线相等且互相垂直的平行四边形、对角线互相垂直的矩形、一个角是直角的菱形等． 【详解】解：根据题意有矩形、菱形和正方形判定的阐述如下： ①对角线相等的四边形是矩形，该判定没有说对角线互相平分，所以①不符合题意； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，该条件是菱形判定条件，所以②符合题意； ③四边相等的四边形是正方形，该判定只能说明四边形为菱形，若增加条件，一个角为或对角线相等才能说明四边形为正方形，所以③不符合题意； ④四角相等的四边形是矩形，由于四边形内角和为，每个角相等则都为，依矩形定义可知，该四边形为矩形，所以④符合题意． 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 10. 如图，点，在半圆上，， 相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，连接交于M，先证明，则，由圆周角定理得到，进而证明是等腰直角三角形，推出，进一步证明是等腰直角三角形，则，设，则，，，证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，连接交于M， ∵， ∴， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分【其中第18题第一空1分，第二空2分】，共计24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应位置.） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 已知一张纸的厚度大约为，这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此作答即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14. 若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 15. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则_____°． 【答案】105 【解析】 【分析】本题主要考查对平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解此题的关键．根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支过的中点D交于点E，连接，若的面积为8，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数与几何的综合题，求得点E的坐标为是解决问题的关键．设，则，根据点D在反比例函数的图象上，可得D点的坐标为，所以；过点E作于点N，交于点M，则，已知的面积为8，，根据三角形的面积公式求得，即可求得；设，则，证明，根据相似三角形的性质求得，即可得点E的坐标为，根据点E在反比例函数的图象上，可得，解方程求得k值即可． 【详解】解：设，则， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 过点E作于点N，交于点M，则， ∵的面积为8，， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段．若点C的坐标为，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含的代数式表示相关线段的长度．过作轴于点，轴于点，根据将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又，，即得，可得，，从而，即可解得． 【详解】解：过作轴于点，轴于点，如图： 轴，轴，， 四边形是矩形， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ，， ，，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 化简变形得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴或（舍去）， ， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，则_____，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ______． 【答案】 ①. 10 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆的有关计算，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解直角三角形即可求出的长，由勾股定理即可求出的长，利用特殊角度度角的正切值为切入点，构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值，解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】解：如图，作，过点作于点，延长交于点，过点作垂足为点，过点作于点，延长交于点， 当点与点重合，点在点处时，取得最大值， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或 （舍去）， ∴， ∵， ∴， 在上取不同于点的一点，过点作于点，过点作 所在的直线于点，并延长交于点， ∵，， ∴， 则或， ∵，， ∴，， ∴，， 由图可知：， ∴， ∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长， ∵， ∴取得最大值， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根、绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握相应的解法步骤是解本题的关键； （1）利用公式法解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ∵，，， ∴ ∴ ∴ （2）， 解不等式①，得， 解得：， 解不等式②，得， 解得：， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证： （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明出，结合已知条件即可证明； （2）由（1）得到，，再由等角的补角相等得到，从而，证明出四边形是平行四边形，再由，得出结论． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ 在和中， ∴ 解：（2）四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∴ 即 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形全等的判定与性质以及矩形的判定，证明出四边形是平行四边形是解题的关键． 22. 为丰富同学们的校园生活，某校积极开展了体育类、文艺类、文化类等形式多样的社团活动（每人仅限参加一项）．李老师在九年级随机抽取了2个班级100名学生，对这2个班级参加体育类社团活动的人数情况进行了统计，并绘制了如图的统计图．已知扇形统计图中“足球”项目扇形圆心角为． （1）请在图中将表示“棒球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图中“篮球”项目扇形圆心角为 ． （3）若该校九年级共有12个班级，请你根据上述信息估计该校九年级共有多少名学生参加“棒球”项目？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）估计该校九年级约有名学生参加“棒球”项目 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清统计图中的数据是解本题的关键． （1）用足球人数除以所占的百分比求出总人数，再求出“棒球”的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘“篮球”项目所占百分比即可； （3）根据已知每个班个参加，进而估算出个班有多少名学生参加“棒球”项目． 【小问1详解】 解： 2个班参加体育类社团活动人数为（人）， 表示“棒球”项目的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校九年级约有名学生参加“棒球”项目． 23. 某公司开展4种户外拓展活动，分别记为A，B，C，D．现甲、乙两人各自从4种活动中随机选择2项． （1）求甲选择“A，B”的概率； （2）甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的概率是____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：先用列表法或树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． （1）列出所有可能出现的结果，利用概率公式求出概率即可； （2）设六种结果分别为1，2，3，4，5，6，用列表法展示所有36种等可能的结果数，再找出甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 所有可能出现的结果有：、、、、、共6种，它们出现的可能性相同， 所有的结果中，满足“甲选择、”（记为事件的结果有1种， 所以 【小问2详解】 设六种结果分别为1，2，3，4，5，6， 列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36种等可能的结果数，其中甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的结果数有6种， 所以甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的概率是． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． （1）若点C与点B重合，求k的值． （2）若，在图中只用直尺作出点C． （3）若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 【答案】（1） （2） 如图所示，C点即为所求． （3）．（或者．） 【解析】 【分析】（1）若C与B重合，则，把代入中，求出k的值即可； （2）构造相似三角形，则，则C点即为所求． （3）过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点，则可得，则可得．设，则可求出，．再将代入中即可求出k与m的关系式． 本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式以及相似三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：若C与B重合，则， 把代入得， ， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点， 则， 又， ， ， 设， 则， 解得，， ， 把 代入中， 得， 解得，或． ∴k与m之间的关系式为（或）． 25. 如图，是的外接圆，，点D在上，，连接并延长交于点E，点F在的延长线上，且． （1）连接，求证； （2）求证：是的切线； （3）若，则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可证得，，进而得出，从而推出； （2）连接，可推出，，从而，从而推出，可推出，从而，从而，从而得出结论； （3）作于，可求得，，，进而求得，根据，得出，从而求得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问3详解】 解：如图2，作于， ，，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26. 某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 【答案】（1） （2）32000 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于800件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； 【小问3详解】 解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 27. 已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． （1）当点在对角线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出折痕并求x的值； （2）设与矩形重叠部分的面积为，求S与x的函数表达式． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，过点D作垂线交于点E，交于点O，在上截取，连接即可，根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： ∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点， （1）求二次函数的表达式； （2）点是二次函数图象上位于直线上方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． 求的最大值； 当以、、为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） ；或 ． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①过点作轴交于点，设，则，由等积法得到，则，当时，有最大值； ②分两种情况讨论：当△△时，，，；当△△时，，，． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 将点、代入中， ， 解得， ； 【小问2详解】 ①过点作轴交于点， 设，则， ， ， 当时，有最大值； ②当时，， 解得或， ， ，，， ， ， 当△△时，， ， 解得或（舍， ，； 当△△时，， ， 解得或（舍， ，； 综上所述：点坐标为，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $