精品解析：湖南省长沙市雨花区金海中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期期末质量监测卷 七 年 级 数 学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版七下全部． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在实数0，，，中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 期中考试以后，为了了解我区七年级的数学成绩，从全区名同学中抽出名同学的数学成绩来估计全区的数学成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 本次抽样的总体是 B. 本次抽样的样本容量是名同学的数学成绩 C. 本次抽样的样本是 D. 本次抽样的个体是每名同学的数学成绩 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共名学生购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每件元，二等奖奖品每件元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，直线与直线，分别交于，两点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点F在AD上，则与的度数差为（ ） A. B. ° C. D. 9. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ） A. （44，4） B. （44，3） C. （44，2） D. （44，1） 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ___________． 12. 已知在轴上，在轴上，则的坐标为__________． 13. 已知与互为相反数，则的值是___________． 14. 李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为______． 15. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 16. 小明和小华同时解方程组，小明看错了m，解得，小华看错了n，解得，则关于t的不等式组的正整数解的和的算术平方根为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 某市为了解初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）；E组（）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）求出这次抽样调查的学生总人数； （2）补全频数分布直方图； （3）C组所在扇形的圆心角的度数为______度； （4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名． 21. 在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，位置如图． （1）请写出，，三点的坐标； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，请在图中作出平移后的三角形，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 22. 已知，如图，，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°． （1）求证：； （2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数． 23. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24. 若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． （1）已知点为“横和点”，求的值； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 25. 已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图1，若，则___________°； （2）若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末质量监测卷 七 年 级 数 学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版七下全部． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在实数0，，，中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较的方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握正数大于零，零大于负数，负数比较时，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项． 【详解】解：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】题目主要考查求不等式组解集以及解集在数轴上的表示，难点是对在数轴上表示实心点和空心圈的区分． 3. 期中考试以后，为了了解我区七年级的数学成绩，从全区名同学中抽出名同学的数学成绩来估计全区的数学成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 本次抽样的总体是 B. 本次抽样的样本容量是名同学的数学成绩 C. 本次抽样的样本是 D. 本次抽样的个体是每名同学的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义解答：总体：所要考查对象的全体；个体：每一个考查对象；样本：从总体中抽取的部分考查对象；样本容量：样本所含个体的数目（不含单位）． 【详解】解：A、本次抽样的总体是全区5070名同学的数学成绩，此选项错误； B、本次抽样的样本容量是500，此选项错误； C、本次抽样的样本是500名同学的数学成绩，此选项错误； D、本次抽样的个体是每名同学的数学成绩，此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，要熟记各概念方可正确进行解答． 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 5. 在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共名学生购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每件元，二等奖奖品每件元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据学校为获得一等奖和二等奖共名学生购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每件元，二等奖奖品每件元，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，理清数量关系列出方程组是解本题的关键． 6. 如图，已知直线，直线与直线，分别交于，两点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有平行线性质可得，由垂直的定义，可得，从而推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的意义，熟记平行线的性质是解答本题的关键． 7. 若，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出，进而得到方程组，然后利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程组即为， 得，，解得， 把代入①得，，解得， ∴方程组的解为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，非负数的性质，正确求出是解题的关键． 8. 将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点F在AD上，则与的度数差为（ ） A. B. ° C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角板的特征可得，根据平行线的性质可得，即可求出，，即可求解． 【详解】解：根据三角板的特征可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角板的角度特征和平行线的性质． 9. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有解且每一个的值均不在的范围中， ∴或， 解得：或， 不等式组有解集， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点． 10. 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ） A. （44，4） B. （44，3） C. （44，2） D. （44，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意依次写出第一象限内从运动过的点坐标及其对应的运动时间，分析后发现，点，对应运动的时间为分钟．当为奇数时，运动方向向左；当为偶数时，运动方向向下．利用该规律，将2022写成，可以看做点向下运动42个单位长度，进而求出结果． 【详解】解：由题意及图形分析可得， 当点时，运动了2分钟，，方向向左， 当点时，运动了6分钟，，方向向下， 当点时，运动了12分钟，，方向向左， 当点时，运动了20分钟，，方向向下， …… 点，运动了分钟，当为奇数时，方向向左；当为偶数时，方向向下． ，方向向下，则当运动在第2022分钟时，可以看做点再向下运动42分钟，，即到达． 故选：C． 【点睛】本题考查点的坐标的规律变化的分析推理能力．合理寻找特殊点与序号变化间的关系是解题的关键． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【详解】解：，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知在轴上，在轴上，则的坐标为__________． 【答案】（4，2） 【解析】 【分析】根据x轴上的点的坐标规律：纵坐标为0，y轴上的点的坐标规律：横坐标为0，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵A（，）在y轴上，B（，）在x轴上， ∴，， 解得，， ∴C（a，b）的坐标为：（4，2）． 故答案为（4，2）． 【点睛】此题考查的是坐标轴上点的坐标规律，掌握x轴上的点的坐标规律为纵坐标为0， y轴上的点的坐标规律为横坐标为0，是解决此题的关键． 13. 已知与互为相反数，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【解析】 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 16. 小明和小华同时解方程组，小明看错了m，解得，小华看错了n，解得，则关于t的不等式组的正整数解的和的算术平方根为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，把两组解分别代入原方程组，得m，n的方程求解，再解关于t的不等式组得到正整数解即可解答． 【详解】解：依题意得： 解得：， 所以关于t的不等式组为 ， 即， 故不等式组的正整数解为4，5，和为9， 关于t的不等式组的正整数解的和的算术平方根为3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组、算术平方根．根据方程组的解定义正确求出m、n是解题关键． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，先化简绝对值，计算算术平方根、立方根及乘方，再计算加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解一元二次方程即可． 【详解】解： ①+②得：3x＝9， ∴x＝3， 将x＝3代入②得：3+y＝6， ∴y＝3， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法的一般步骤，是解题的关键． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分，最后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 20. 某市为了解初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）；E组（）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）求出这次抽样调查的学生总人数； （2）补全频数分布直方图； （3）C组所在扇形的圆心角的度数为______度； （4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名． 【答案】（1）500 （2） 补全图形如下： ． （3） （4）8400 【解析】 【分析】（1）由B组人数及其所占百分比可求出这次抽样调查的学生总人数； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，然后补全图形即可； （3）用360°乘以C组人数所占比例即可解答； （3）用总人数乘以样本中C、D、E组人数和所占比例即可解答． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的学生总人数． 答: 这次抽样调查的学生总人数为500． 【小问2详解】 解：D组人数为（人）， 【小问3详解】 解：C组所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为． 【小问4详解】 解：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有（人）． 答：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有8400人． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键． 21. 在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，位置如图． （1）请写出，，三点的坐标； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，请在图中作出平移后的三角形，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1），， （2）图形见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）过点分别向轴和轴作垂线，垂线与轴的交点在轴上的坐标为点的横坐标，垂线与轴的交点在轴上的坐标为点的纵坐标，同理可得点，的坐标． （2）由三个顶点，，确定，将三个顶点，，均向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到三个顶点平移的对应点，，，顺次连接对应点，，即可得到． （3）根据矩形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 过点分别向轴和轴作垂线，垂线与轴的交点在轴上的坐标为，垂线与轴的交点在轴上的坐标为，所以点的坐标为． 同理，可得点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 如图，将三个顶点，，均向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到平移的对应点，，，顺次连接对应点，，即可得到． 点的坐标为． 【小问3详解】 ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记求平面直角坐标系中点的坐标的方法和图形平移的性质是解题的关键． 22. 已知，如图，，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°． （1）求证：； （2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）20°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ACB＝60°，继而得到，∠BCF的度数，再根据∠EFC＝140°，即可得到∠BCF+∠EFC＝180°，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题； （2）由角平分线的性质得到∠BCE=∠ECF=20°，结合，最后根据两直线平行，内错角相等解题． 【小问1详解】 证明：， ∠DAC+∠ACB＝180°， ∠DAC＝120° ∠ACB＝60°， ∠ACF＝20°， ∠BCF=60°-20°=40°， ∠EFC＝140°， ∠BCF+∠EFC＝180°， ； 【小问2详解】 CE平分∠BCF，∠BCF=40° ∠BCE=∠ECF=20° ， ∠FEC=∠BCE=20°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 （3）有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 24. 若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． （1）已知点为“横和点”，求的值； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】（1）q的值为4 （2）①或；②点是“横和点”，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换． （1）直接代入“横和点”的定义方程求解． （2）①利用平移向量确定点的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解． ②通过平移确定点的坐标，验证是否满足“横和点”的条件． 【小问1详解】 ∵点是“横和点”， ， ． ∴q的值为4． 【小问2详解】 ①∵点和点是“横和点”， ， ，， ， ， 点和点的纵坐标相同， 轴 ， 点的横坐标为 点，点分别对应点和点， ， ，解得：， 当时， 当时， 或． ②点是“横和点”， 理由：点，点分别对应点和点， ， ， ， 点的对应点， ， ， ， 点是“横和点”． 25. 已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图1，若，则___________°； （2）若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】（1）46 （2）①见解析，② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $