四川省成都市新教育联盟三校2026届高三上学期开学摸底考试数学试题

高三 数学试题 第 1页（共 4页） 高 2026 届高三开学摸底考试 数学试题 考试时间 120分钟，满分 150分 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．  *N1 n x n x        的展开式中二项式系数的和为 64，则展开式中的常数项为 A．8 B．12 C．15 D．－20 2．设集合  2 1 12 1 132 xA x B x y x          ∣ ， ∣ ，则 A B  A． 1{ | }3x x  B．{ | 1}x x  C．{ | 3}x x   D．{ | 1 3}x x   3．已知虚数数列 (1 i)nna   ，则其前 4n项和为 A．    1 4 1 in     B．    1 4 i 1 n     C．     1 1 4 1 i 5 n     D．     1 1 4 i 1 5 n     4．已知 1 2 1 2 1π π,cos cos 4 x x x x      ，则  2 1cos x x  A． 1 8 B． 1 8  C． 7 8 D． 7 8  5．一圆台的上、下底面半径分别为 2、4，体积为 56 3 π 3 ，则该圆台的侧面积为 A．12π B．18π C． 24π D．36π 6．设O是平面上一定点，动点 P满足  , 0, cos cos AB ACOP OA AB B AC C                    ， 且 , ,A B C 是平面上不共线的三点，则动点 P的轨迹一定通过 ABCV 的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．已知函数      1 1sin 2 2 e e 2x xf x x x      R， ．若    22 1 4f a f a   ，则实数 a 的取值范围为 A． 1 ,1 2      B．  1, 1, 2          C．   1, 1 , 2          D． 11, 2      高三 数学试题 第 2页（共 4页） 8．已知实数 x， y满足 2 3x y ，则下列不等式一定成立的是 A． 2x y xy  B． ( )( ) 0x y x y   C． 0 1xy  D． xy x y  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求；全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有 1~8，此外还有五张字母牌， 正面标有 A~E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是 A．不同排列方式的种数不超过 60亿种 B．五张字母牌互不相邻的概率为 14 143 C．在标有 8的卡牌左侧没有数字牌的概率为 1 8 D．对于给定的整数 (1 8)k k  ，记“在标有 k的数字牌左侧，没有标号比 k小的数字 牌”为事件 kA ， kA 发生的概率为 1 k 10．已知椭圆 2 2 : 1 25 16 x yC   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P为椭圆 C上一点，则下列说 法正确的有 A． 1 2PFF 的面积的最大值为 12 B． 1 2FPF 的平分线必过椭圆的中心 C．若 1 2 5tan 2 PF F  ，则 1 2: 8 : 7PF PF  D．设 1 2F PF   ，椭圆 C上存在点 P，使得 1tan 2 2   11．在 ABCV 中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 2a  ，sin 2sinB C ，有以下 四个命题中正确的是 A．满足条件的 ABCV 不可能是直角三角形 B． ABCV 面积的最大值为 4 3 C．当 A=2C时， ABCV 的周长为2 2 3 D．当 A=2C时，若 O为 ABCV 的内心，则 AOBV 的面积为 3 1 3  高三 数学试题 第 3页（共 4页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．曲线 2e( ) ln(e ) x xf x x x x    在点 (1, (1))f 处的切线方程为 ． 13．在正三棱锥 P ABC 中， 2 3AB  ， 7PA  ，三棱锥 P ABC 的内切球球心为O， 若在此三棱锥中再放入一个球 1O ，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球 1O 的半径 为 ． 14．若数列 na 的相邻两项或几项之间的关系由函数  f x 确定，则称  f x 为 na 的递 归函数；    g x x 为取整函数，它表示不超过 x的最大整数，例如 1.2 1 ， 1.3 2   ； 设 na 的递归函数为   2f x x x   ，   21 5n n n na f a a a    ，且 1 5 3 a  ， na 的前 n项和 记为 nS ，若 1 1 1 3 1 n n i i aT S a    ，则   2024 1 i i g T   为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数   22cos 3 sin 2 1   f x x x m ，其中 Rx ． (1)求函数  f x 的最小正周期和单调递增区间； (2)若 π0, 2 x      时，  f x 的最小值为 4，求m的值． 16．（15分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，所有的棱长均相等，D是 AC的中点，D在上底 面 1 1 1A BC 的投影为 1 1 1A BC△ 的重心O． (1)证明： AC BO ； (2)求平面 ABC与平面 1 1A ACC 的夹角的正弦值． 高三 数学试题 第 4页（共 4页） 17．（15分） 设函数   3f x x ax b   . (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )f x 有三个不同零点，证明 3 13 3 a b   . 18．（17分） 设集合   1, 2,3, , 2M n n  ，A为 M的非空子集，随机变量 X，Y分别表示取到 子集 A中的最大元素和最小元素的数值. (1)若 5n  ，求 4X  且 2Y  的概率； (2)若 1X n  的概率为 7 15 ，求 n； (3)求随机变量 X Y 的均值  E X Y ． 19．（17分） 抛物线  2: 2 0E y px p  的焦点为 F ，M 为 E上一点，M 的纵坐标为 2 2 ，点 N在 y轴上，MN y 轴，线段MN的中点为 P，且 //PF y轴． (1)求 E的方程； (2)已知 , ,A B C 为 E上三个不同的点，点 A在第一象限． （ⅰ）若点 B在原点， 90BAC  ，AB AC ，点A的横坐标 0x 满足  *0 1n x n n    N ， 求 n． （ⅱ）在 ABCV 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 tan 2 tanC B  ， ABCV 的重 心G在 x轴上，求点G的坐标． 高三 数学答案 第 1页（共 6页） 高 2026 届高三开学摸底考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1-5 C C B D C 6-8 DAB 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求； 全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9.BCD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． e 1 0x y    13． 3 9 14．10120 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）   πcos 2 3 sin 2 2sin 2 6 f x x x m x m          ， 2π π 2 T  ∴ ． 由 π π π2 π 2 2 π 2 6 2 k x k     ， Zk ，求得 π ππ π 3 6 k x k    ， Zk ， 函数的单调递增区间为  π ππ , π Z 3 6 k k k      ． （2）由 π0, 2 x      时， π π 7π2 , 6 6 6 x       ， π 1sin 2 ,1 6 2 x            ， 1 2 4 2    m ， 解得 5m  ． 16．（15分） （1） D 在上底面 1 1 1A BC 的投影为 1 1 1A BC△ 的重心O． 1 1AC  平面 1 1 1A BC ， OD 平面 1 1 1A BC ， 1 1DO AC  ， 1 1AC AC ∥ ， AC OD， ABC 是等边三角形，D是 AC的中点，故 BD AC ， OD BD O  ，OD平面 BOD， BD 平面 BOD， AC 平面 BOD， 又因为 BO 平面 BOD， AC BO  . （2）解法一：延长 1BO交 1 1AC 于点 1D ，如图所示， 由（1）知平面 1 1DBB D AC ，故 1D DB 为平面 ABC与平面 1 1A ACC 的夹角， 高三 数学答案 第 2页（共 6页） 1 1B D BD∥ ， 1 1 1 π 2 B D D DDO   ， 设棱长为 1，则 1 1 3 2 B D  ， O 为 1 1 1A BC△ 重心， 1 3 6 OD  ， 2 2 1 1 33 6 DO D D DO    ， 1 1 33cos 6 DOD DO DD     ， 平面 ABC与平面 1 1A ACC 的夹角的正弦值为 33 6 . 解法二：设 2AB  ，有 3BD  ， 1 2 3 3 OB  ， 1 2BB  ，可求得 33 3 OD  ， 由 AB AC BC  ， AD CD ，可得 BD AC ， 又由OD 平面 ABC，以D为坐标原点， DA，DB，DO分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示空间直角坐标系， 有  0,0,0D ，  1,0,0A ，  1,0,0C  ，  0, 3,0B ， 330,0, 3O        ， 可得  2,0,0CA   ，  1 1 1 33 1 3 330,0, 0, 3,0 0, ,3 3 3 3 3BB DO OB DB DO DB                              ， 设平面 1 1ACC A 的一个法向量为  , ,m x y z  ， 有 1 2 0 3 33 0 3 3 CA m x BB m y z                 ，取 0x  ， 11y  ， 1z  ，可得  0, 11,1m  ， 又由平面 ABC的一个法向量为  0,0,1n  ，有 1m n   ， 2 3m  ， 1n  ， 有 1 3cos , 62 3 m n     ， 故平面 ABC与平面 1 1ACC A 的夹角的正弦值为 2 3 331 6 6         ． 17．（15分） (1)由题意， 3( ) | |f x x ax b   的定义域为 R , 当 0x  时， 3 0,| | 0,x ax b   ∴   0f x  ，函数在 (0, ) 上没有零点，   f x 在  , 0 上单调递增， 高三 数学答案 第 3页（共 6页） 当 0a  时，   3f x x b  在  , 0 上单调递增， 当 0a  时. 3 3( ) b bf x x a x x a x a a            ， 若 0 b a  , ∵ ],( 0x  ，则 0 bx a   ， ∴ b bx x a a         ， 此时   3 , ( , 0]bf x x a x x a            23f x x a  . 令   0f x  , 解得： 3 a x   或 3 a （舍） 当 3 a x   时，   0f x  ；当 0 3 a x   时，   0f x  ， ∴函数在 , 3 a           单调递增，在 ,0 3 a       单调递减， 若 0 b a  ，则   3 3 , , 0 b bx a x x a a f x b bx a x x a a                     ， 当 0 b x a    时，   3 bf x x a x a        ，   23 0f x x a    ， ∴函数在 ,0 b a     上单调递增， 当 bx a   时，   3 bf x x a x a        ，   23f x x a  ， 令   0f x  ，解得： 3 a x   或 3 a （舍） 当 3 a b a    时，  f x 在 , b a       上递增， 此时，  f x 在  , 0 上单调递增， 当 3 a b a    即 3 23a b 时， 高三 数学答案 第 4页（共 6页） 令   0f x  ，解得： 3 a x   ， 令   0f x  ，解得： 3 a bx a     ， ∴函数  f x 在 , 3 a           ， ,0 b a     上单调递增，在 , 3 a b a         上单调递减. (2) 由(1)可得，仅函数  f x 在 , 3 a           ， ,0 b a     上单调递增，在 , 3 a b a         上单调递减时函数可以有 三个零点 且当 x时,  f x  ；当 0x 时, ( )f x b ,且 0b  . ∴若函数有三个零点，有 0 3 0 a f bf a                    ， 有 3 2 0 3 3 3 3 3 a a a a a a bbf a a a                                 ， ∴ 2 3 3 a a a b a  ，即 2 3 3 a b a  ，解得： 3 227 4 a b ， ∴ 2 3 227 27 2 1 13 3 4 4 9 3 3 a b b b b            ∴ 3 13 3 a b   18．（17分） （1）由题意，集合 A中的最大元素和最小元素分别为 4，2， 符合条件的集合 A只有  2,4A  与  2,3, 4A  ，共 2个， 当 5n  时，集合 M的非空子集个数为 52 1 31  个； 所以   24, 2 31 P X Y   ． （2）M的非空子集的个数为 1 2 2 1n nn n nC C C     ， 所以     1 12 2 1 71 1 1 2 1 2 1 15 n n n nP X n P X n               ， 解得 12 8n  ，即 4n  ． （3）集合 M的非空子集共有 2 1n  个， 高三 数学答案 第 5页（共 6页） 其中，最大值 X为 n的子集可视为 1,2,3, , 1n 的子集与集合 n 的并集，共有 12n 个； 同上可知，X为 1n  的子集共有 22n 个，X为 2n  的子集共有 32n 个，…，X为 1的子集共有 02 个，所以   21 2 1 n k nP X n k       ． 最小值为 1的子集可视为 2,3, ,n 的子集与集合 1 的并集，共有 12n 个； 同理，Y为 2的子集共有 22n 个，Y为 3的子集共有 32n 个，………，Y为 n的子集共有 02 个， 所以   2 2 1 n k nP Y k     ． 所以         1 1 2 21 2 1 2 1 n k n kn n n n k k E X Y E X E Y n k k                             1 1 1 1 22 1 2 1 2 1 1 2 nn n k n n k n n n             ． 即随机变量 X Y 的均值为 1n  ． 19．（17分） （1）将 2 2M y  代入 E的方程，得 1 2 2 M px ，所以 1 4M x p  ， 所以 1 8 2P px p   ，解得 1 2 p  ， 故 E的方程为 2y x ； （2）（ⅰ）设  20 0,A y y ，  22 2,C y y ，则 0 22 2 0 2 0 2 1 AC y yk y y y y      ， 因为 0 1 ABk y  ，所以 0 0 2 1 1 1 y y y     ， 即 2 0 0 1y y y    ，① 又 BC的中点为 2 2 2, 2 2 y yQ       ，所以 2 0 2 2 2 0 2 2 AQ yy k yy    ， 2 1 BCk y  ， 由 AQ BC ，得 2 0 2 2 22 0 1 2 1 2 yy yy y      ，与①联立可得 6 4 2 0 0 04 4 1 0y y y    ． 又 2 0 0x y ，则 3 2 0 0 04 4 1 0x x x    ， 令    3 24 4 1 0f t t t t t     ，则   23 8 4f t t t    ， 设方程   0f t  的两根分别为  1 2 1 2,t t t t ， 得 1 4 2 7 0 3 t   ，  2 4 2 7 3,4 3 t   ， 高三 数学答案 第 6页（共 6页） 所以  f t 在区间  20, t 内单调递减，在区间  2 ,t  内单调递增， 又  4 0f  ，  5 0f  ，即 04 5x  ， 所以 4n  ； （ⅱ）有 ABCV 为等腰三角形， 设重心  ,0G m ，  0 0,A x y ，  1 1,B x y ，  2 2,C x y ， BC的中点为  ,D x y  ， 则由 2AG GD uuur uuur ，得 0 3 2 m xx  ， 0 2 yy   ， 直线 BC的斜率 1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 1 2BC y y y yk x x y y y y y y            ， 由 B C ，即 AB AC ，可知 AD BC ， 所以 1AG BCk k   ，即 0 0 0 1 1y x m y          ，即 2 0 01 1m x y    ， 所以 0 0 2 3 , 2 2 x yD      ， 则 2 2 20 0 0 0 0 2 3 3 1 2 2 2 x yAD x y y                ， 所以直线 BC的方程为 0 0 0 2 31 2 2 y xy x y          ，即 2 0 0 3 2 2 yx y y    ， 联立 2 0 0 2 3 2 2 yx y y y x         ，整理得 2 2 0 0 3 0 2 2 yy y y    ， 则 1 2 0y y y   ， 2 0 1 2 3 2 2 yy y    ， 所以 20 1 21BC y y y   2 2 2 0 0 0 31 4 2 2 yy y              2 20 03 1 2y y   ， 由 tan 2 2 AD B BC   ，得    2 0 2 2 0 0 32 1 2 2 3 1 2 y y y      ，解得 2 0 7 2 y  ， 所以 2 0 51 2 m y   ， 故点G的坐标为 5 ,0 2       ．