精品解析：2026届四川省达州市高三“零诊”模拟考试数学试题

达州市普通高中2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：75分钟 满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解. 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可求得复数，可求得虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为1. 故选：D. 3. 已知向量，的夹角为120°，，，则 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 4. 三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（ ） A. ，，中最大的是 B. ，，中最大的是 C. ，，中最大的是 D. ，，中最小的是 【答案】B 【解析】 【分析】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则为中点与原点连线的斜率；进而得到答案． 【详解】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数， 则为线段中点与原点连线的斜率， 故中最大的是. 故选：B. 5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作圆锥的轴截面，利用面积法求轴截面的内切圆半径，即为圆锥内半径最大的球的半径，再结合球的体积公式求解. 【详解】如图： 为圆锥的轴截面，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O. 由于，故. 设内切圆半径为r，则 ， 解得，其体积. 故选：D 6. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 7. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，可得，解得， 当时，可得， 因为函数在上单调，则， 所以 ，其中，解得， 所以，解得， 又因为，则，所以，所以， 因此的取值范围是． 故选：D． 8. 关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中式子变形得关于的等式，构造函数，根据函数的单调性解得不等式解集； 【详解】题中式子变形为. 令，则在定义域上单调递增， 且原不等式等价于. 所以，.即 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（ ） A. 共有种不同的排法 B. 若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C. 若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D. 若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列计数问题，结合相邻与不相邻、定序逐项分析列式即可. 【详解】对于A，7个人全排列，共有种不同的排法，A正确； 对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有种，B正确； 对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有种，C错误； 对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占，共有种，D正确. 答案：ABD 10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 直线与曲线C有公共点 C. 曲线C上任一点的纵坐标的取值范围是 D. 曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】验证曲线上任一点关于原点的对称点是否在曲线上即可判断选项A； 将代入曲线的方程，通过方程有无实数解，即可判断选项B； 将曲线看作关于的方程，通过判别式法求得的取值范围，即可判断选项C； 通过基本不等式解出曲线上任一点与原点距离的取值范围，即可判断选项D. 【详解】选项A，取曲线上任一点，其关于原点的对称点为. 仍然满足曲线方程，所以A正确； 选项B，将代入曲线的方程，得，则，即该方程无解，所以B错误； 选项C，由得， 由，解得，所以C错误； 选项D，设曲线上任一点坐标为，该点到原点的距离为， 则一方面， 即，当且仅当时取等号，即. 另一方面，. 即，当且仅当时取等号，即. 因此曲线上任一点与原点距离的取值范围为，所以D正确. 故选：AD. 11. 设的整数部分为，小数部分为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为递增数列 C. D. 整数的个位数字可以是8 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二项式定理可得的整数部分即为，小数部分即为，再逐一判断即可. 【详解】由， ， 两式相减可得， ， 由于为整数，且， 所以的整数部分即为，小数部分即为. 所以，,, 数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 由，，， 数列为递增数列，数列为递减数列，所以数列为递增数列， 故B正确； ，故C正确： 的个位数与的个位数相同，只能是4或6，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 13. 设非零常数d是等差数列，，，…，的公差，随机变量等可能地取，，，…，，则方差______. 【答案】. 【解析】 【分析】先求出，再利用方差公式计算即可. 【详解】因为等差数列，，，…，的公差为d， 所以， 所以. 则，所以. 所以方差为. 故答案为： 14. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】判断出两函数的图象关于直线对称，利用对称性即可求解. 【详解】函数（）满足，故其图象关于直线对称， 函数，其图象也关于直线对称， 故它们图象的交点也关于直线对称， 两函数图象的交点分别为，，…，， 不妨设，则必有在直线上，即， ， 故. 故答案为：7 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤） 15. 为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学规定了包含中国四大名著在内的20本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情况，学校在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行阅读书目数的调查.根据调查结果将阅读书目数分组为，，，，，得到这100名学生阅读书目数的频率分布直方图（左图）和其中男生阅读书目数的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3:2. 分组 频数 5 a 18 18 2 （1）求右表中a的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数. （2）学校规定阅读书目数不低于12的同学获优秀奖.完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关. 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 附：，其中. （） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）；14 （2）列联表见： 获优秀奖 未获优秀奖 男生 20 40 女生 20 20 没有95%的把握 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的比例求出男生人数即可求出，再根据100名学生、男生的频数求出女生的频数，最后根据众数的定义即可； （2）根据联表求出，再根据独立性检验即可判断. 【小问1详解】 抽取的100名学生中，男生有人，所以， 解得. 则 区间 频数（抽取的100名学生） 频数（男生） 频数（女生） 5 4 17 6 18 10 18 16 2 4 所以女生的阅读书目数的众数估计值为. 【小问2详解】 列联表为： 获优秀奖 未获优秀奖 男生 20 40 女生 20 20 假设：该中学学生获优秀奖与性别无关， 所以，. 故没有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关. 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）设A与B存在函数关系，并记，求函数； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，再求出范围，可得函数；（2）切化弦整理得，令，求导判断其单调性，根据单调性求范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，.所以， 即， 解得或（舍），所以. 因为为锐角三角形，，. 由得. 故函数，. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时即时取等号，此时，而， 所以等号取不到. 令，则，对函数，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时， 所以函数的值域为， 故的取值范围为. 17. 在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为，所以. 因，所以，从而. 即，，因为，所以. 因为，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等得到，结合可得，，从而，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两个平面的法向量，计算出两个法向量的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 又平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图. 设，因为， 则， 则，，，. 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，所以平面的一个法向量可取为. 又因，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 所以， 设二面角的大小为，则， 从而二面角的正弦值为. 18. 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据重心坐标公式以及向量共线可得，即可根据垂直的坐标运算求解， （2）根据外心的性质得，与椭圆方程联立可得，即可根据椭圆的有界性求解， （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据共线关系以及面积的表达，代入化简求解即可. 【小问1详解】 设，则的重心. ，，则， 为垂心，故 因为存在使，故，所以，， 而，由垂心定义得，即，整理得， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由外心的定义知点在轴上，则， 的中点，， 所以，整理得. 与的方程为联立，得. 因为，所以. 【小问3详解】 由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：， 联立方程得， ，整理得； ，又，所以. 由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴， 由，知， 所以. 令，解得（舍去）. 又点在直线：上，所以， 即，所以.又，联立得，所以. 又，所以，即，所以. 所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，. 故存在实数使. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 【答案】（1） （2） e （3） 证明：设， 则， 设，则， 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解； （2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可； （3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以,， 则， 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市普通高中2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：75分钟 满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 3. 已知向量，的夹角为120°，，，则 A. B. 2 C. D. 4. 三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（ ） A. ，，中最大的是 B. ，，中最大的是 C. ，，中最大的是 D. ，，中最小的是 5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（ ） A. 共有种不同的排法 B. 若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C. 若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D. 若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 直线与曲线C有公共点 C. 曲线C上任一点的纵坐标的取值范围是 D. 曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 11. 设的整数部分为，小数部分为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为递增数列 C. D. 整数的个位数字可以是8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 13. 设非零常数d是等差数列，，，…，的公差，随机变量等可能地取，，，…，，则方差______. 14. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤） 15. 为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学规定了包含中国四大名著在内的20本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情况，学校在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行阅读书目数的调查.根据调查结果将阅读书目数分组为，，，，，得到这100名学生阅读书目数的频率分布直方图（左图）和其中男生阅读书目数的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3:2. 分组 频数 5 a 18 18 2 （1）求右表中a的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数. （2）学校规定阅读书目数不低于12的同学获优秀奖.完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关. 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 附：，其中. （） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）设A与B存在函数关系，并记，求函数； （2）求的取值范围. 17. 在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $