湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学综合测试数学试卷

襄阳四中2026届高三数学综合测试 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1。答卷前，考生务必用黑色宇迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷奥型和考生号填涂在答题卡相应位置上。 2。进择题每小题进出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目进项的答策信息点涂黑：如需改动，用 橡皮擦干净后，再填涂其他答聚。答案不能答在试卷上。 3。非进择题必须用黑色字连的钢笔或签字笔作答，答聚必须写在答题卡各题目指定区战内相应位置 上：如需改动，先划掸原来的答聚，热后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答 策无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知集合A={是eZ},B={中-2红-3>0，则AnB= () A{-31,号} B3,-1-是} c.{-3,1,号，3 D.3,-1,-号-3} 2.已知复数x满足三=1+V1(其中1为虚数单位)，则z的虚部是 A.- B. c.- D子 3.在矩形ABCD中，A(-1,0),B(x,1-x),若元=(2，-3)，且元∥AD,则x= A.-5 B.-青 c.号 D.5 4.sin40(tan10°-√3)= () A.2 B.-2 0.1 D.-1 5.如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台， AB=10,A,B,=2,现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的三时，水的体积为84，则该方斗 杯可盛水的总体积为 () 图1 图2 A.112 B.496 C.1850 3 0 D.496 6.若a=2,,,a,构成梦差数列，公差d≠0，a4≠0，且其中三项构成答比数列，设马=k,S=a +a2十a十a十a,则下列说法正确的是 () A.k一定大于0 B.a,a,a,可能构成等比数列 C.若a1=2,d∈Z,则lS为5的倍数 +10=5t D. 数学试愿第1页共15页 7.已蜘知函数f回的定义城为0，四)，对任意的，V>0,均有@包<（号+1）且f0=-1, 则下列结论中一定正确的是 () A.f2)<0 B.2f3)<f(2) c.狼+摁>2 f(3)Tf2) D.3f(4)<f(3) 8.已知双曲线C:罗 Q:号-￥=1(>0，b>0)的左，右焦点分别为，，过R且倾斜角为0的直线与C交 于A,B两点，若c080=吕e为C的离心率)，0为坐标原点，G为△AOB的置心，则OG斜率的最小值 为 () A.3W6 B.4 C.35 D.25 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 () A.已知一组数据为-1,1,2,4,3,5,10,9，若n为这组数据的上四分位数，则(2x-1)”的展开式中x 的系数为-560 B.数据(，)(=1,2,3，…，10)组成一个样本，其回归直线方程为=x-3,其中元=8.2，去除一个 异常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(0,5) C.若随机变量5-N(1,),则函数f()=P(x≤5≤x+2)为偶函数 D.在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则2变为原来的9倍 n(ad-bc)2 ?=a+bc+da+eb+d,其中n=a+b+c+d 10.已知抛物线C:y=2px(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作L的 垂线，垂足分别为A,B,则 () A.FA⊥FPB B.若A=3B,则直线AB的斜率为√ C.A,O,B三点共线（其中O为坐标原点） D.A'B=4AF列IBF时 11.如图，半圆锥的底面直径为AD=2,母线VA=2,P为圆弧AD上任意一点（不包括A,D两点），直线 AB垂直于平面ADP,且AB=2.连结BD交母线A于点E.下列结论正确的是 A.三棱锥P一ABD的4个面均为直角三角形 B.VE=4-2W3 C.沿此半圆锥的曲侧面从点D到达点E的最短距离为2 D.当直线PB与平面VAD所成角最大时，平面PAB截三棱锥P-ABD外接 球所得截面的面积为√反π 数学试题第2页共15页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知2C+2C8++2C=728,则二项式(2红-是)的展开式中含x项的系数为 13.成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要 安排含甲、乙的六名安全员负贵现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬 辉两个分会场（每个分会场至少安排一人），若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排 方案有种。 14,如图，在△ABC中，∠BAC=等，点E,F分别在边AB,AC上，线段AB和AF的长均不超过9，点P在 线段EF上，且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.记Sn为数列{an}的前n项和，T.为数列{Sn}的前n项积，已知T.+3Sn=6. a)证明：数列{受导}为等比数列： (2)求{a}的通项公式. 16,如图，在三棱柱ABC-A,BC中，底面ABC为正三角形.AB=AA=AB=4,且cos∠AAC=子， O为AB的中点， ()证明：AC⊥AO: (2②)点P是线段AO上一点，求使得二面角P-BC-C的正弦值不小于3严的点P形成的轨迹长 10 度 数学试题第3页共15页 17.小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两 人，经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为一.若他挑战小明，下一次的挑战权即展 于小明，且小明再挑战小华，小红的概率分别为子、子：若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且 小红再挑战小华，小明的概率分别为是、子 (1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为X,求X的分布列及数学期望： (②)若经过n次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件A,B。,C (证明：P(B)=P(C): ()求事件A发生的概率。 18.已知圆O:(x+1)2+y2=1,圆O2:(x-1)2+2=0,动圆P与圆O1外切并与圆O2内切，圆心P的轨迹 为曲线C©：将曲线C上每一点的纵坐标伸长为原来的√倍（横坐标不变），得到曲线C (1)求曲线C,C2的方程： (②)若A(-2,0),B(2,0),M为曲线C上一动点且在第一象限内，直线MA,MB分别交曲线C与D,E 两点，连接DE交x轴与N点， )若而=成，求直线AM的方程： ()曲线C上是否存在定点S使得M,S,N三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足 条件的点S的坐标：若不存在，请说明理由 19.已知双曲正弦函数sinh(句)=2，双曲余弦函数cosh()=生 2 (1)求双曲正弦函数sinh(x)在x=0处的切线方程： (2)证明：当x>0时，sinh(z)>sin(z): (3)证明： ++史>-oaew tan吃 tan 数学试愿第4页共15页 参考答案 1.D 【解折】因为A={∈2到={-是-1，-是-3,3，是1，是} B={zz2-2x-3≥0}=(-0，-1]U[3,+∞)， 所以AnB=3,-1,-号-3}， 故选：D. 2.C 【娜折1由兰1+1得1中a+丽=牛=9+， 1-3) 4 则=9-子，虚部为-子 故选：C 3.C 【解析】由题设知元⊥A店，且A店=（红+1,1-），则元·A正=2(x+1)-3(1-)=0, 所以5证-1=0，即红=片 故选：C 4.D 5.B 【解析】设水面与枝台的四条侧棱分别相交于A2,B,C,D, 过A作AE∥BB交AB于点E,交AB于点B,如下图所示： D 易知四边形AA1BB为等腰梯形，则四边形A,BBE为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的子，则B,风=弧=A,8=2, A5=￥AE=是×(10-2)=0，因此AB=8, 设棱台AB,CD一ABCD的高为h,设体积为V, 则棱台A,B,CD,-A,B,C,D,的高为子h,设体积为， 则V=号×(2+8+2×8)：是h=21h,V=号×(2+10+2×10h=号h 所以名二=器由题意，=84， 3 则该方斗杯可盛水的总体积为V=器×84= 3 故选：B. 数学试题第5页共15页 6.C 【解析】A.取a=-5d,则a2,a,a为等比数列，k=一5<0，故A错误. B.(a1+d)(a1+4d)=(a1+2da1d=0,与公差d≠0，a1≠0矛盾，故B错误. C.=|5a1+10d=5(a+2d)引为5的倍数，故C正确. D.是=500c=5k+10,故D错误 d 故选：C. 7.C 【解析】对于A,令x=y=1,则有f(2)>0,错误： 对于B,令x=2,y=1,则f2)-f1)<2f(3),又f1)=-1,从而2f3)>f(2)>0,错误： 对于C,对任意的neNr有，f(n+1)>0, 令=n,y=1,则n时a+)>fm->f,即f> f(n) 令y=ln1+刘-x且0<x<1,则y=中：-1=-千z<0, 所以y=ln(1+x)-x在(0,1)上单调递减，则y<n(1+0)-0=0,即1n(1+x)<x, 从雨捣+得>立+号=音>12，（利用n(1+到<x,则受+号>1(1+号）+h1+分) f(2)f(3) 1n2),正确： 对于D,令x=3,y=1,则f3)-f(1)<3f(4),又f1)=-1,从而3f(4)>f(3),错误 故选：C 8.B 【解折1co0=各，则sin0=-co0=√-（名=区， 所以直线AB的斜率为tan0=ing=@4 COS0 2 设A(,),B(2,),AB的中点为M,则点G在直线OM上， 则号-器-1，是-兽-1，两式作差， 得名-出十没-哥甲如u a2" 则kw=a-是。-00房=2-2o+品）≥4w6. 当且仅当e=√万时等号成立，所以直线OG的斜串的最小值为4√. 故选：B. 9.ABC 【解析】对于A,将原数据按照从小到大的顺序排序为-1,1,2,3,4,5,9,10， 数学试题第6页共15页 因为上四分位数就是第75百分位数，所以i=8×75%=6,所以n=5+9=7, 2 因为(2x-1)7的二项展开式的通项为T1=C(2x)7-*(-1少=C·(-1.2-*.x-4 令7-k=4,解得k=3,所以(2x-1)"的展开式中x的系数为C9(-1·2=-560 故A正确： 对于B,因为回归直线方程为=x一3过样本的中心点(：，)， 所以7=元-3=8.2-3=5.2， 所以去除-个异常点1，)后，7=10x5,2-1=5,云=10×82-⊥=0 9 9 所以新的回归直线必过点(9,5)，故B正确： 对于C,因为随机变量5-N(1,c),所以其图象关于x=1对称， 所以工关于对称轴工=1的对称点为2-，即+？-卫=1， 2 云+2关于对称轴=1的对称点为-，即匹+2)+（一=1， 2 根据正态曲线的对称性可知P(红≤5≤x十2)=P(一x≤5≤-x+2) 因为fx)=P(x≤5≤x+2),所以f(-x)=P(-x≤5≤-x+2), 所以f孔-x)=f(x),所以函数f(x)=P(x≤5≤x+2)为偶函数，故C正确： 对于D,在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 3n(3a×3d-3b×3c)2 x2=3a+36j3c+3d3a+3a3b+3d 3×92 n(ad-bc)2 =3x3x3X3 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=3 所以x2变为原来的3倍，故D错误， 故选：ABC 10.ACD 连接AF,BF,根据抛物线定义可知AA'=AF,所以∠AA'F=∠AFA, 又由于AA∥x轴，所以∠AAF=∠OFA, 所以∠AFA'=∠OFA,同理可证∠BFB'=∠OFB, 所以LAFB'=LOPB+∠OFA=(LOFB+LOFA)=受， 即A⊥FB,故A正确： 过B作BC⊥AA'于C,设lBF时=d,则A=3d,AC=2d, 所以cos∠CAF= 媼=-器= 数学试题第7页共15页 所以LCAF=牙，由对称性可知直线AB的斜率为士扎sg3,故B错误： 设A(）,B(,则A(-号，小，B(-号，h, 由于成=(-号)，丽=（号，），由于A,F,B三点共线， 则(-号)h-(-号）=0， 又由于听=2，=2则（第+号）一=0，由于助≠h, 则欧=-p,所以koA=头=2，ko=么=-2坐， h p 所以岩=兴×)=品=1， 即koA=koo,所以A,O,B'三点共线，故C正确： 由于勤=-，则般=，即2p×2=p所以西=号， 14BP=(-}=+5-2y1h=2p西1+2m2+2r2 =4红m+2pm1+2p+r2=4(西+号)(+号)人 所以ABP=4AF列BF,故D正确. 故选：ACD. 11.ABD 【解析】对于A,根据直线AB垂直于平面ADP,故AB⊥AP,AB⊥AD,故△ABP,△ABD为直角三 角形，半圆锥的底面直径为AD=2,P为圆弧AD上任意一点（不包括A,D两点），∠APD=90°，故 △APD为直角三角形，：AB⊥DP,AB∩AP=A,故PD⊥平面ABP,得DP⊥BP,故△DPB为直 角三角形，故A正确： =品则A5=器-2-2： 对于B,△AEB中，AB sin75 VE=VA-AE=2-(23-2)=4-2W3.B答案正确. 对于C,将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，DA=受=，则∠DVA=盼=受： 即圆锥展开为一个半圆， 又VD=2,VE=4-2√3，则DB=√VD+VE=√32-16W3=2W6-2√2，C答案错误. 对于D,过P作PH⊥AD于H,连接BH,则PH⊥面VAD, 故∠PBH为PB与面VAD所成的角 设AH=x,x∈(0,2)，则DH=2-x,PH=√x(2-),PD=√2(2-x), 则PB=√BD-PD=√4+2z, 可得sin'ZPBH=P世=(2- PB2 4+2x 设2+z=t,t2,4,则上式=-8+8-8=(-t-+0)≤号(0-4W②)=3-2， 2t 当且仅当2+x=2W2,即x=2W2-2时取得“=”. 又三梭锥P-ABD的外接球半径为受BD=V瓦， D点到平面PAB的距离为DP=√8-4W2, 数学试题第8页共15页 又DB中点（球心）到平面PAB的距离为D点到平面PAB的距离的一半，即为√2-√2： 则=-正=(W2)}-(2-√2)=√2，所以S=2=√2π，故D正确： 故选：ABD. 12.-560 【解析】由题意知，C%+2C+22C%+…+2Cm=(1+2)”=729=3,所以n=6, 则二项式(2z-丫的通项工=C2(-厂=(-1yr×2rC, 令7-2r=1,解得r=3,所以含x项的系数为(-1)×2C9=-5G0. 故答案为：-560 13.88 【解析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有CCCA好=72（种）不同的安排方案： ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有C9AC=1G(种)不同的安排方案 根据分类加法计数原理，共有CCC闪A+C9AC=88(种)不同的安排方案. 故答案为：88. 4[6w5,] 【解析】设AE=m,AF=n,EF=x,由题意可得∠EAP=∠FAP=G0°，且AP=3, 因为SaMs=Saum+3Mm,所以号mnsin120=号msin60°+号, 可得m=3(m+n,m=3.因为0<m≤9,0<n≤9，所似{ <0,解得是n≤0， 0<n≤9， 所以m==n元274红=3n+9+2%3=30n-3)+2%+18, n-3 n-3 令t=n-3∈[受，]，因为函数y=3t+2空+18≥2V3t×孚+18=36，当且仅当t=3时取等号， 所以由对勾函数性质可得y=3让+2空+18在（号，3）上单调递减，在(3,0)上单调递增， 所以当te[是，d时，y=3t++18∈[36，婴]，则36≤mm≤受 由余弦定理可得x2=m2+n2-2 mncos120°=m2+n2+mn =(m+n-mn=号(mm-mm=(mn-号}-是∈[o8,50],故6w5≤z≤y7， 即EP长度的取值范围是[6,9] 故答案为[6w5,] 15.(1)证明见解析 3 2 n=1 (2)an= 1 2m1+1-2m-2+1 n≥2且neN (2)求出5n= 2+2n- 1+2m 的表达式，当n≥2时求出a,的表达式，验证当n=1时a,是否为号，即可求出 数学试题第9页共15页 {a}的通项公式， 【解析】(1)由题意证明如下，n∈N, 当n=1时，T+3S=6,解得=S=a=号 当n≥2时，因为Tn=-3Sn+6①，则T1=-3Sn-1+6②， 由鲁0会=8=瓷· -3S.+6 整理得S=-S1+3 2 是导 2 所似景号=+ 2■ Sn-1-1 “数列{受子}是首项为二导=-1，公比为2的等比数列 (2)由题意及(I)得，neN, 在等比数列{ 受子}中，首项为-1，公比为2， Sn-2 Sn-1 =-1×2叫，则3n=2+2二 1+2-可， 当n≥2时，a=5。-51=2+2二 2+2n-2 1 1 1+2-1+2=2+12+' 当n=1时，4=-言≠号， n=1 {a}的通项公式为an= 1 2-1+1-2m-2+1, n≥2且neN 16.(1)证明见解析 29 (2)以O为坐标原点，以OC,OA,OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系Oxyz,设P(0,0,h)(0≤h≤2√)，求得平面BCC的一个法向量与平面PBC的一个法向量，利用向 4- 量法可得lcos元，= h 进而计算即可. 5x√+是 【解析】(1)如图，连接CO,因为底面ABC为边长为4的正三角形，且O为AB的中点，所以CO=25, 又AB=A1A=AB=4,所以AO⊥AB,且A1O=2W3, 在△AA1C中，因为cos∠A,AC=子，由余弦定理可得CoLA,AC=AC+A-AC- 2AC·A,A 42+4-A1C 2×4×4 = 解得A1C=2W6, 在△OA1C中，因为CO2+A1O=A1C,所以A1O⊥C0. 因为AB,COC平面ABC,且AB∩CO=O,所以AO⊥平面ABC, 又ACC平面ABC,故AC⊥A1O, (2)由(1)知A1O⊥平面ABC,因为BC=AC,所以CO⊥AB, 数学试题第10页共15页