精品解析：吉林省吉林市桦甸市第七中学2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷

桦甸市第七中学2024-2025学年第一学期九年级第三次月检试题数学 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的定义，正确掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项满足反比例函数的定义，故B选项是正确的； C选项是正比例函数，故C选项是错误的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：B． 2. 把抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意，由二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 即可得到的图象解析式是，即． 故选：B． 3. 对于一元二次方程，根的判别式中的b表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“中，，，表示的意义”是解题的关键．在解一元二次方程时，根的判别式，具体方程中代表二次项系数，代表一次项系数，是常数项，据此即可求解． 【详解】解：在一元二次方程中，，，． 故选：A． 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 8. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是________________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 9. 如图，等腰直角三角形中，，绕点A逆时针旋转，得到，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键．由等腰直角三角形可得，由旋转的性质可得，，从而证明是等边三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解：等腰直角三角形中，， ， 绕点A逆时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 10. 反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是8，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的面积问题，熟练掌握反比例函数中的面积问题是解题的关键．设点，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设点， 则，， 矩形的面积是8， ， 即， ． 故答案为：． 11. 如图，内接于，CD是的直径，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，则，所以，然后通过同弧所对的圆周角相等即可求解，掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米， 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据题意易证，得到，利用相似三角形的相似比即可求出电线杆长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项，将等式右边的式子移到左边，然后提取公因式，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0”来求解方程． 本题主要考查了一元二次方程的解法，具体是通过因式分解法来求解．熟练掌握因式分解的方法以及“若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0”这一性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴． 16. 已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，把点和分别代入，得，再化为顶点式，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴， 整理得 ∴顶点坐标是 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，则有，根据垂直的定义得到，得到，最后利用切线的判定定理证明即可． 【详解】略 18. 已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； 【小问2详解】 解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】 证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 20. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________________； （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球是一红一白的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出两次摸到的球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图． 共有6种等可能的结果数，其中两次摸到的球是一红一白的结果数为4，所以两次摸到的球是一红一白的概率． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称； （2）以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若将绕原点顺时针旋转得到，求点经过的路径长（结果保留根号和）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和位似图形以及图形旋转，熟练掌握轴对称图形的性质和位似图形的性质以及弧长公式是解题的关键． （）由题意利用轴对称图形的性质作关于轴对称点，然后连接即可； （）根据题意利用位似图形的性质进行分析画出即可； （）由题意将绕原点顺时针旋转得到，进而求点经过的路径长即的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由题意得，，， ∴点经过的路径长． 22. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，且点的横坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在反比例函数的图象上，连接，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为y＝ （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先根据反比例函数求得点的坐标，作轴于，轴于，然后利用梯形的面积减去两个三角形的面积即可求得的面积． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积计算，将三角形的面积进行转化求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入， ． ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数为； 【小问2详解】 解：把代入， ， ， 点在反比例函数的图象上， ，， 作轴于，轴于， ． 24. 【发现】如图①，正方形的边长为4，点E为的中点．连接，将绕点A顺时针旋转至，连接交于点G，爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点H……请沿着小明的思路思考下去，则________________； 【应用】如图②，菱形的边长为3，且，连接、交于点O，点E为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，若，求的值． 【答案】发现：；应用： 【解析】 【分析】发现∶结合正方形的性质、旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 应用：过点E作，交于点H，由相似三角形的判定方法得，可得，结合菱形的性质、等边三角形的判定及性质，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：发现： 四边形是正方形， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， （）， 四边形是矩形， ， ， 点E为的中点， ， ； ， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； 应用：在菱形中，，，，， 是等边三角形，，，， ， ， ，， ， 、D、C三点共线， 如图，过点E作，交于点H， ，， 是等边三角形， ， ， 由“发现”同理可证：， ， 解得：， ， 在中， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质等，掌握菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，能添加恰当的辅助线构造相似三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）． （2）当点M与点C重合时，求t的值． （3）设与重叠部分图形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式． （4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）t的值为或3 【解析】 【分析】（1）由已知图形变换易证；再由相似三角形性质可得，由此即可解答； （2）当点于点重合，即AP+MP=AC，由勾股定理求出AC，即可得出方程求解； （3）分两种情况讨论，①当M在线段AC上时，即，此时，②当M在线段AC延长线上时，即，此时； （4）因为点H是PM中点，若，则①过的中点，②过的中点，画出图形分情况解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）当点于点重合，由勾股定理得：， ， 解得：； （3），，， 斜边上的高为， ①当M在线段AC上时，即，此时， ②当M在线段AC延长线上时，即，此时， ， ， 又∵， ， ， 综上所述，； （4）因为点H是QM中点，若，则①过的中点，②过的中点， ①当过的中点E，如解图（1），则， 为的中点，为的中点， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ∴， 解得：， ②当过的中点D时，如解图（2）： 为的中点，为的中点， ∴ 又， ∴ 点与点重合，又因为， ∴， ． 【点睛】此题考查了三角形综合题，关键是正确画出图形，根据直角三角形、相似三角形的性质求线段长． 26. 如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是________________； （3）将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析、二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与思想是解此题的关键． （1）将，代入抛物线解析式，得出，求出的值即可得出答案； （2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，由根据抛物线开口向下得出当时，有最大值，此时，计算出当时，，由此即可得出答案； （3）分中情况：当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在顶点处最大，在处最小；分别计算即可得出答案； 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点是抛物线上一点，其横坐标为， ， 分种情况进行讨论， 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无解； 当时，图象在顶点处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桦甸市第七中学2024-2025学年第一学期九年级第三次月检试题数学 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 对于一元二次方程，根的判别式中的b表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为________________． 8. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是________________． 9. 如图，等腰直角三角形中，，绕点A逆时针旋转，得到，连接，则______． 10. 反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是8，则k的值为________________． 11. 如图，内接于，CD是的直径，若，则______． 12. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程______． 13. 小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为______． 14. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 16. 已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的顶点坐标． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 18. 已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 20. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________________； （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球是一红一白的概率． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称； （2）以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （3）若将绕原点顺时针旋转得到，求点经过的路径长（结果保留根号和）． 22. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，且点的横坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在反比例函数的图象上，连接，，求的面积． 24. 【发现】如图①，正方形的边长为4，点E为的中点．连接，将绕点A顺时针旋转至，连接交于点G，爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点H……请沿着小明的思路思考下去，则________________； 【应用】如图②，菱形的边长为3，且，连接、交于点O，点E为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，若，求的值． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）． （2）当点M与点C重合时，求t的值． （3）设与重叠部分图形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式． （4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值． 26. 如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是________________； （3）将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $