精品解析：湖北省武汉市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

2024-2025学年青竹湖湘一外国语学校七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各数为无理数的是 （ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数的分类，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、3.1415是有限小数，属于有理数； B、是分数形式，分子分母均为整数，属于有理数； C、属于无理数； D、，属于有理数． 故选：C． 2. 如图， 已知直线， ， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的含义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列不等式变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 4. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 5. 下列调查方式合适的是 （ ） A. 调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查的方式 B. 检测长沙的城市空气质量，采用全面调查的方式 C. 调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 D. 对火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、调查某池塘中现有鱼的数量，采用抽样调查的方式，故A不符合题意； B、检测长沙的城市空气质量，采用抽样调查的方式，故B不符合题意； C、调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式，故C符合题意； D、对火星探测器零部件的检查，采用全面调查的方式，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，确定点的坐标．由点A所在的象限确定点A的横坐标与纵坐标的符号，再由点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，即可确定点A的两个坐标，从而可得答案． 【详解】解：∵点A在第二象限， ∴； ∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5， ∴， ∴点A的坐标为； 故选：A． 8. 等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或，根据三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长为尺，绳子长为尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， 根据题意得， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求出，，，，…；即可发现点的坐标每4个一个循环，据此即可求解． 【详解】解：∵把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯， ∴，即； ∴，即； 同理可得，，…； ∴点的坐标每4个一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即． 故选：A． 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 16的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 12. 若， 则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是代数式的求值，由可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 13. 把点向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到B，点B的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，关键是掌握点的平移规律． 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点，即． 故答案为． 14. 如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有_______个（填个数）． ① ② ③ ④ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故①符合题意； 当时，则，由可得，故②符合题意； 当时，则，由可得，故③符合题意； 当时，不能得出，故④不符合题意； ∴符合要求的条件有3个． 故答案为：3 15. 关于的方程组的解与 满足条件 ，则 的最大值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】把方程组中两式相加，得到，结合，可求出m的取值范围，然后计算得到的最大值. 【详解】解：， 由①+②得，， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，取到最大值， ∴最大值为：； 故答案为5. 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 16. 如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有_______（填序号）． ①； ②； ③； ④． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角性质的应用，三角形的高与角平分线的含义，由三角形的内角和定理可判断①，②；利用三角形的角平分线与高的含义表示，结合，可得，进一步可判断③，由三角形的外角的性质可判断④. 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高，即， ∴，即，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∵不一定相等， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①② 三、解答题（本大题共9小题， 第17、18、19题各6分， 第20、21 题各8分， 第22、23题各9分， 第24、25题各10分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程组及不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法； （1）把方程组化为，再进一步利用代入法解方程组即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可. 【小问1详解】 解：∵， ， 由②得：， 把代入①得：即， 解得， 把代入， 解得， ∴方程组的解为：. 【小问2详解】 解：， 由①得：， 移项合并得：， 解得：； 由②得：， ∴， 移项合并得：； 不等式组的解集为． 19. 如图，将向左平移6个单位、向下平移5个单位，得到． （1）画出； （2）是内一点，直接写出点 P平移后对应点的坐标． （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：根据平移的性质可得； 【小问3详解】 解：的面积． 20. 为了丰富学生的学习生活，我市某中学举行了数学相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中的数 ； （2）若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； （3）请在图中补全频数分布直方图； （4）全校共有1000 名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人? 【答案】（1） （2） （3）补图见解析 （4）估计该校成绩不低于80分的学生有400人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图，解答本题的关键要结合生活实际，绘制频数分布直方图或从统计图中获取有用的信息， （1）根据的频数及其频率求得总人数，进而计算可得n的值； （2）用乘以样本中分数段的频率即可得答案； （3）求出m.的值，再补全直方图即可； （4）总人数乘以样本中成绩范围内的学生人数所占比例即可得到答案. 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为人， ， 故答案为：0.3 【小问2详解】 解：若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是， 故答案为： 【小问3详解】 解：， 补全频数分布直方图如下： 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩不低于80分的学生有400人． 21. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． （1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 长沙市里程最长、站点最多的地铁号线于月日开通试运营，某知名运输集团承包了地铁号线多标段的土方运输任务，派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． （1）请问一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与运输土方，若这辆渣土运输车每次运输土方总量不小于吨，且小型渣土运输车至少派出辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】（1）一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨 （2）一共有三种派车方案：①派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆；②派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆；③派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆 【解析】 【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨，根据题意列方程组可解； （2）设派出大型渣土运输车辆，根据这辆渣土运输车每次运输土方总量不小于吨，且小型渣土运输车至少派出辆，可得，又是整数，故一共有三种派车方案． 【小问1详解】 设一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨， 根据题意得：， 解得， 答：一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨； 【小问2详解】 设派出大型渣土运输车辆，则派出小型渣土运输车辆， 这辆渣土运输车每次运输土方总量不小于吨，且小型渣土运输车至少派出辆， ， 解得， 是整数， 可取，，， 一共有三种派车方案： 派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆； 派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆； 派出大型渣土运输车辆，派出小型渣土运输车辆． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． 23. 如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． （1）求证：； （2）若，， 求和的面积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）由，可得 ，结合，可得和的面积之比. 【小问1详解】 证明：∵．， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴. 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴和的面积之比为：. 24. 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. （1）不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； （2）若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； （3）若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；，， （2） （3）或. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题； （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案； （2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案； （3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，. 【小问2详解】 解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 由③得：， ∵不等式组的“青一距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式③成立， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时：， 综上：. 【小问3详解】 解：∵不等式组的“青一距离” ， ∴， 解得：， ∴化为， 由①得：， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数满足： ， 由③得：， 由④得：， 当时，可得：， 此时， 当时，可得：， 此时， 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或. 25. 在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质求解，，如图1，过点作轴于点，证明，可得，，再进一步可得答案； （2）如图中，证明即可得到结论； （3）如图3中，过点作于点，过点作于点．证明，，，设，而，，可得，,,，进一步利用面积公式解答即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 如图1，过点作轴于点． ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， . 【小问2详解】 证明：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， . 【小问3详解】 证明：如图3中，过点作于点，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同法可证，， ， 在和中， ， ， ，， 设，而，， ∵，， ，,, ∴， ∴， ∴， ∵A 点到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年青竹湖湘一外国语学校七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各数为无理数的是 （ ） A. 3.1415 B. C. D. 2. 如图， 已知直线， ， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 下列调查方式合适的是 （ ） A. 调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查的方式 B. 检测长沙的城市空气质量，采用全面调查的方式 C. 调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 D. 对火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式 6. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 16的平方根是_____． 12. 若， 则_______． 13. 把点向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到B，点B的坐标是_______． 14. 如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有_______个（填个数）． ① ② ③ ④ 15. 关于的方程组的解与 满足条件 ，则 的最大值是________． 16. 如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有_______（填序号）． ①； ②； ③； ④． 三、解答题（本大题共9小题， 第17、18、19题各6分， 第20、21 题各8分， 第22、23题各9分， 第24、25题各10分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 计算： ． 18. 解下列方程组及不等式组： （1）； （2） 19. 如图，将向左平移6个单位、向下平移5个单位，得到． （1）画出； （2）是内一点，直接写出点 P平移后对应点的坐标． （3）求的面积． 20. 为了丰富学生的学习生活，我市某中学举行了数学相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中的数 ； （2）若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； （3）请在图中补全频数分布直方图； （4）全校共有1000 名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人? 21. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 长沙市里程最长、站点最多的地铁号线于月日开通试运营，某知名运输集团承包了地铁号线多标段的土方运输任务，派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． （1）请问一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与运输土方，若这辆渣土运输车每次运输土方总量不小于吨，且小型渣土运输车至少派出辆，则有哪几种派车方案？ 23. 如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． （1）求证：； （2）若，， 求和的面积之比． 24. 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. （1）不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； （2）若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； （3）若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $