精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟考试数学试题

2024—2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校强化练习（一）九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 2. 有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A. 原点一定在点A左侧 B. 原点一定在点A右侧 C. 原点一定在中点左侧 D. 原点一定在中点右侧 3. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 4. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ） A. B. C. D. 6. 明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程（单位：千米）与时间（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 明明家距学校3千米 B. 明明走完全程用了10分钟 C. 明明提速后的速度是提速前速度的2倍 D. 明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 7. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 11. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 12. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 13. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为，为的中点，连接、．给出下面个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，结论正确的序号有_______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 已知，求代数式的值． 16. 随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 17. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子米耐力跑用时不超过为单项满分．小轩在一次模拟测试时，先以米秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以米秒的平均速度跑完剩余路程．问小轩最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 18. 如图，在四边形中，，和互相平分并交于点，，求证：四边形是矩形. 19. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作中的角平分线； （2）在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； （3）在图3中，作以为直径的的切线． 20. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 21. 蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． （1）当时，求与的函数解析式； （2）结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ （3）为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 22. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 23. 如图，在矩形中，，，，点沿运动，将点绕点逆时针旋转得到点． （1）平分矩形面积时，求的长； （2）、、三点共线时，求的长； （3）的最小值为______，点的路径长为______； （4）当点在四边形内部时，四边形面积的最大值为______，此时线段的长为______． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，已知该抛物线与轴正半轴的交点为A．点是抛物线上的点，其横坐标为，点的坐标为．连接、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式及点A的坐标； （2）求为何值时，是直角三角形； （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随增大而减小，或者随增大而增大时，求的取值范围； （4）以、为邻边构造平行四边形，直接写出当直线将平行四边形面积分成两部分时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校强化练习（一）九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 【答案】D 【解析】 【详解】根据平方根的定义可得4的平方根是±2． 故答案选D． 2. 有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A. 原点一定在点A左侧 B. 原点一定在点A右侧 C. 原点一定在中点左侧 D. 原点一定在中点右侧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 3. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 4. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质得，结合角的和差关系得，然后根据进行列式求解即可． 【详解】解：∵， , ， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程（单位：千米）与时间（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 明明家距学校3千米 B. 明明走完全程用了10分钟 C. 明明提速后的速度是提速前速度的2倍 D. 明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象，结合“速度=路程÷时间”解答即可． 【详解】解：根据函数图象可得： 明明家距学校3千米，故选项A说法正确，不符合题意； 明明走完全程用了10分，故选项B说法正确，不符合题意； 提速前的速度为：（千米/分钟）， 提速后的速度为：（千米/分钟）， ， 即明明提速后的速度是提速前速度的3倍；故选项C说法错误，符合题意； 明明上学的平均速度为：（千米/分钟）； 故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 7. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 当时，的取值范围是， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方．先将括号内的合并同类项，再利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 11. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 12. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 13. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据，，以及角平分线的性质即可得到四边形是正方形，进而根据正方形的性质得到，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为，为的中点，连接、．给出下面个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，结论正确的序号有_______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，锐角三角函数等，利用可证，即可判定①；由全等三角形的性质得到，即得是的垂直平分线，得到，即可判定②；利用三角形中位线的性质可得，，即可判定③；设，则，可得，，进而得到，即可得，即可判定④；过点作于，利用得到，进而可得，即得到，最后根据正切的定义得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵是中线， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，故③正确； ④设，则， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和不会相似，故④错误； ⑤过点作于，则， ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，结论正确的序号有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值．将要求的分式的分子、分母分解因式，再约分，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 16. 随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． 【小问1详解】 解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 17. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子米耐力跑用时不超过为单项满分．小轩在一次模拟测试时，先以米秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以米秒的平均速度跑完剩余路程．问小轩最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 【答案】小轩最多跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小轩跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：秒， 设小轩跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意得， 解得： 答：小轩最多跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分． 18. 如图，在四边形中，，和互相平分并交于点，，求证：四边形是矩形. 【答案】 证明：如图，连接， ∵和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得，，然后求出，再求出四边形是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】略 19. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作中的角平分线； （2）在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； （3）在图3中，作以为直径的的切线． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点即为所求， （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定等知识，准确作图是关键． （1）构造为腰的等腰三角形，利用等腰三角形三线合一作图即可； （2）按照（1）构造的角平分线，再利用网格构造的角平分线，交点即为所求； （3）构造，得到，则，则，根据切线的判定即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 【答案】（1）15，6，91 （2）乙款聊天机器人更受用户喜爱， 理由如下： 因为乙款聊天机器人评分的平均数比甲款高，所以乙款聊天机器人更受用户喜爱；（答案不唯一）； （3）估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． （1）用“1”分别减去其它三组所占百分比可得a的值；用20分别减去其它三组的频数可b的值；根据中位数的定义可得c的值； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，即； ； 把乙款聊天机器人抽取20份评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是91，91，故中位数， 故答案为：15，6，91； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 21. 蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． （1）当时，求与的函数解析式； （2）结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ （3）为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 【答案】（1）； （2）第二天时和时，室外气温为； （3）该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【解析】 【分析】（1）时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值； （2）时，取(1)中得到的函数解析式中的，求得对应的的值；时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值，取，求得的值，即为第二天室外气温为的时间； （3）根据第(2)问中得到的时间得到蔬菜会遭受冻害，易得开启恒温设备的时间在小时后，设最晚时启动恒温设备，根据时的温度 + 规定时间内上升的温度列出方程，求解即可. 【小问1详解】 解：当时，设， 经过点，， ， 解得:， ； 【小问2详解】 解：， 当时，， 解得:； 当时，设， 经过点，， ， 解得:， ， 当时，， 综上: 第二天时和时，室外气温为. 答: 第二天时和时，室外气温为； 【小问3详解】 解：该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 理由: 第二天时和时的温度是， ， 蔬菜会遭受冻害， 最低气温为，设从最低气温到需要小时， ， 解得:， 设最晚时启动恒温设备，则，此时气温为， ， 解得:. 答: 蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【点睛】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求得相关的一次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出开启恒温设备的时间在哪个时间范围内. 22. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 【答案】问题探究：①；；②5；③；问题解决： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 问题探究：①根据勾股定理解答即可； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； ③作，作的平分线，过点作于点，则是等腰直角三角形，设，则，，延长交于点，过点作于点N，则可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，可得，由，当、、在同一条直线时，的值最小，为，即的最小值为； 问题解决：解题思路同③． 【详解】解：问题探究：①在中，； ∵， ∴， 又， 在中，； 故答案为：；； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图， ∵， 则四边形为长方形， ∴， ， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； ③作，作的平分线，过点作于点，则是等腰直角三角形，如图， 设，则，， 延长交于点，过点作于点N， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 又，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为； 问题解决：作，，，在上取一点，使，则， 作，过点作于点，则：， 在中，， 延长交于点，过点作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为． 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，，点沿运动，将点绕点逆时针旋转得到点． （1）平分矩形面积时，求的长； （2）、、三点共线时，求的长； （3）的最小值为______，点的路径长为______； （4）当点在四边形内部时，四边形面积的最大值为______，此时线段的长为______． 【答案】（1）； （2）； （3）2，13 （4）16，1 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点O，射线交于P，此时平分矩形的面积，根据对称性得出结果； （2）可得出，，从而得出，进而得出，从而； （3）当点P在上时，作，作于G，所在的直线交于，可证得，从而得出，从而得出点Q在过点G且与的距离是3的线段上运动，当点P在点B时，点Q在处，进一步得出结果；当点P在上时，作于W，可得出，进一步得出结果； （4）作于V，作于X，设，设四边形的面积为S，可得出，，，，从而得出S的关系式，配方求得结果． 【小问1详解】 解：如图1， 连接，，交于点O，射线交于P， 此时平分矩形的面积， 由对称性可得：； 【小问2详解】 解：如图2， ∵，， ∴， ∵点P绕点E逆时针旋转得到点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3-1， 当点P在上时， 作，作于G，所在的直线交于， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在过点G且与的距离是3的线段上运动， 当点P在点B时，点Q在处， 此时，， 如图3-2， 当点P在上时， 作于W， 同理可得，， ∴点Q在直线上运动， 当点P在点C处时，点Q在处， ， ∴当点P从点B运动到C处，Q运动， ∴点Q共运动， 故答案为：2，13； 【小问4详解】 解：如图4， 作于V，作于X， 设，设四边形的面积为S， 由上知，，，，， ∴ ， ∵，开口向下， ∴当时，S最大， 故答案为：16，1． 【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，已知该抛物线与轴正半轴的交点为A．点是抛物线上的点，其横坐标为，点的坐标为．连接、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式及点A的坐标； （2）求为何值时，是直角三角形； （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随增大而减小，或者随增大而增大时，求的取值范围； （4）以、为邻边构造平行四边形，直接写出当直线将平行四边形面积分成两部分时的值． 【答案】（1），A （2）或 （3）或 （4）或或． 【解析】 【分析】（1）由顶点式求函数的解析式即可； （2）由轴，易知为斜边，再由，求出的值即可； （3）当点在点上方时满足题意，再借助二次函数图象即可求解m的范围； （4）当点在点下方时，由点坐标可推导出为，设直线与轴的交点为，能求出，再由，求出的值；当点在点上方时，同法求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵的顶点坐标为， ∴； 当时，，解得或， ∴A； 【小问2详解】 解：∵， ∴轴， ∵是直角三角形， ∴当P为直角顶点时，，则（舍去）或， 时，P和Q重合，不符题意，舍去； 当Q为直角顶点时，，则（舍去）； ∴直角顶点为O，斜边为， ∴，即， 解得或； 【小问3详解】 解：∵轴， ∴要使抛物线在内部存在点，则点在点上方， ∴，即， 令， 作出其图象： 要使，即，则或， ∴当或时，该抛物线在内部的点的纵坐标随增大而减小，或者随增大而增大； 【小问4详解】 解：∵， ∴点在直线上， 又∵也在直线上， ∴直线的表达式即为， 设直线与轴的交点为，则， 当点在点下方时，如图， 若直线将平行四边形面积分成两部分， 根据平行四边形和三角形面积公式可知，是的中点， ∴，，， ∴，解得或， ∴当或时，直线将平行四边形面积分成两部分； 当点在点上方时， ∵直线将平行四边形面积分成两部分， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴，解得， 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $