4.3对数函数第二课时学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.3对数函数第二课时 1、 学习目标 1．掌握对数函数的图象和性质． 2．理解反函数的核心概念，能用对数函数的性质解决应用问题． 二、学习重难点 重点：掌握对数函数的图象和性质﹒ 难点：底数的变化对对数函数图象和性质的影响． 三、自主预习、知识梳理 1．对数函数 且 的定义域是__________，值域是__________，奇偶性为__________. 2．当 时，对数函数 在定义域上是______函数；当 时，对数函数 在定义域上是_______函数. 3．当 时，对数函数 的函数值变化规律：当 时， ；当 时， ；当 时， . 4．当 时，对数函数 的函数值变化规律：当 时， ；当 时， ；当 时， . 5．函数 与 的图象关于轴对称. 6．在同一平面直角坐标系中，比较对数函数图象与直线 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越；底数按方向由小变大. 四、应用举例 例1 设，且，求下列函数的定义域：（1）;（2）． 解 (1）为使函数有意义，只需，即，所以函数的定义域为; (2)为使函数有意义，只需>0，即，所以函数的定义域为． 例2 比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），; （3），；（4），． 解 (1)因为2>1，所以函数在定义域(0，)上是增函数．由5.3>4.7，得. (2)因为0<0.2<1，所以函数在定义域(0，)上是减函数．由7<9，得． (3)因为3>1，所以函数在定义域(0，)上是增函数．由，得 同理可得．因此． (4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数进行分类讨论． 当a>1时，函数在定义域(0，)上是增函数，此时由3.1<5.2，得; 当0<a<l时，函数在定义域(0，)上是减函数﹐此时由3.1<5.2，得． 例3 若，，则a，b，c的大小关系为 __ ．　　　　　．  解 因为在定义域内为减函数，且0.2<0.3<1<4， 所以>>>，即1>a>0>c． 同理>=1，所以b>a>c． 例4 若<1，则a的取值范围为 ．　 解 <1，即<，当a>1时，函数在定义域内是单调递增，所以<总成立; 当0<a<1时，函数在定义域内是单调递减，由<，得a<，即0<a<． 综上可知，a的取值范围为(0，)(1，+∞)．　 五、课堂练习 1.已知，则函数与函数的图象在同一坐标系中可以是( ) A.B.C.D. 2.已知函数（a，c为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A.， B.， C.， D.， 3.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.如图，①②③④中不属于函数，，的一个是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.（多选）已知函数，则( ) A.的定义域为R B.的值域为R C.是偶函数 D.在区间上是增函数 8.（多选）使成立的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 9.若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是________. 10.若函数在上的最大值为2，则实数__________. 六、课后练习 1.设，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a，b，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数若，则的取值范围是( ) A.或 B.或 C. D. 4.函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( ). A. B. C. D. 5.已知函数，满足对任意，都有成立，那么实数a的取值范围是( ). A. B. C. D. 6.若函数在区间上恒为正值，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.（多选）下图是三个对数函数的图象，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( ) A. B. C. D. 9.已知函数的图象经过第二、三、四象限，则实数a的取值范围为___________. 10.已知对数函数的图象过点，则不等式的解集为__________. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1． ；非奇非偶 2．增；减 3．＜；＝；＞ 4． 5． 6．大；逆时针 五、课堂练习 1.答案：B 解析：当时，，则在R上单调递增，在上单调递减，故选B. 2.答案：D 解析：由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换，知，.故选D. 3.答案：C 解析：根据题意得解得. 4.答案：B 解析：由复合函数“同增异减”的原则知函数在上单调递减，由对数的真数大于0知在上恒成立， 所以解得， 故实数a的取值范围是.故选B. 5.答案：B 解析：由题意可知，令，因为在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以二次函数在区间上单调递增，则，且，解得，所以实数a的取值范围是. 6.答案：B 解析：根据题意函数，，中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称. 故函数图象为①. 则②不属于函数，，的一个. 故选：B. 7.答案：ACD 解析：因为， 所以函数的定义域为R，故A正确； ， 因为，当且仅当，即时取等号，所以，故B错误； 因为，所以是R上的偶函数，故C正确； 函数在上单调递增，且，根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 又函数为增函数，故函数在区间上是增函数，故D正确.故选ACD. 8.答案：CD 解析：，， ，， 不等式的解集为. 易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集. 结合选项知选CD. 9.答案： 解析：令，其图像的对称轴为直线.依题意，有即故. 10.答案： 解析：若，则，不满足题意，所以； 若，则在上为减函数，所以无解； 若，则在上为增函数，所以解得. 综上，. 六、课后练习 1.答案：A 解析：令，则，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以， 因为在R上单调递增，所以，所以，故选A. 2.答案：D 解析：作出函数和的图象以及直线的图象，如图， 由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a，b， 结合图象可知，A错误； 由题意知，，也即，， 由于函数和互为反函数， 二者图象关于直线对称，而A，B为和的图象与直线的交点， 故A，B关于对称，故，，B错误； 由，，故，C错误； 因为，故，， 结合，即得，D正确， 故选：D. 3.答案：A 解析：当时，不等式化为，即，解得，；当时，不等式化为，解得，. 综上，的取值范围是或，故选A. 4.答案：B 解析：若函数在上为减函数，则，解得. 5.答案：C 解析：由题意知函数是减函数，所以，解得. 6.答案：B 解析：因为函数在区间上恒为正值， 当时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立； 当时，，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，所以解得.故选B. 7.答案：ABC 解析：由题图得，，，令，由及题图得，. 又是增函数，.故选ABC. 8.答案：ABC 解析：因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC. 9.答案： 解析：函数的图象经过第二、三、四象限，解得. 10.答案： 解析：设函数的解析式为且，由函数的图象过点可得，即，则. 由可得，即， 所以原不等式等价于解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$