4.3对数函数第一课时学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.3对数函数第一课时 1、 学习目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的对应关系，初步理解对数函数的概念及意义． 2.知道对数函数与指数函数互为反函数(，且)． 二、学习重难点 重点：理解对数函数的概念﹒ 难点：理解对数函数与指数函数互为反函数(，且)． 三、自主预习、知识梳理 1．一般地，函数_____________（________，且________）叫做对数函数，其中______是自变量，函数的定义域是___________，函数图象过定点_________. 2．反函数的性质：反函数的值域是原函数的___________，反函数的定义域是原函数的___________；互为反函数的两个函数的图象关于直线________对称，即若函数 的图象上有一点 ，则点___________必在其反函数的图象上；互为反函数的两个函数的___________相同. 3．不是任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域满足“___________”的函数才有反函数. 4．对数函数 ，且 1）与指数函数___________（_______，且________）互为反函数. 四、应用举例 例1 (1)已知函数是对数函数，则 ﹒ (2)已知对数函数的图象过点，①求的解析式；②解方程﹒ 解：判断一个函数是不是对数函数的依据:①形如;②底数，且;③真数为，而不是的函数﹒ (1)由对数函数的定义可得，即，解得，又，且，所以﹒ (2)①由题意设，且，由函数图象过点可得，即，所以，解得，故﹒ ②解方程，即，所以﹒ 例2 (1)当1，2，4时，求对数函数的函数值； (2)当0.1，1，10时，求对数函数的函数值﹒ 解：(1)由，得； 由，得； 由，得2﹒ (2)由，得； 由，得； 由，得﹒ 例3 写出下列对数函数的反函数：（1）；（2）﹒ 解：(1)因为对数函数的底数是10，所以它的反函数是指数函数 ； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒ 例4 写出下列指数函数的反函数：（1）；（2）﹒ 解：(1)因为指数函数的底数是5，所以它的反函数是对数函数； (2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数﹒ 五、课堂练习 1.若函数（且）的图象恒过定点，则( ) A. B. C.1 D.2 2.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3.使对数有意义的a的取值范围为( ) A.，且 B. C.，且 D. 4.给出下列函数：①；②；③；④.其中对数函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若函数是函数（且）的反函数,且,则( ) A. B. C. D. 6.已知函数，则的值为( ). A.3 B.6 C.12 D.24 7.函数（且）的图象过定点( ) A. B. C. D. 8.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 9.已知函数.若，则___________. 10.若函数是对数函数，则_________. 六、课后练习 1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数（且，且），则的图象过定点( ) A. B. C. D. 3.若函数(且)的图象恒过点,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 4.如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么的解析式是( ) A. B. C. D. 5.函数(，且)的图像必经过的点是( ) A. B. C. D. 6.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列结论正确的有( ) A.函数的最小值为2 B.函数的图象恒过定点 C.的定义域为R，则 D.的值域为R，则 8.函数图象过定点____________. 9.若，，则____________. 10.设全集，函数的定义域为集合A，集合.命题p：若_________，则. 从①，②，③这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中，使命题p为真命题，说明理由，并求. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1． 2．定义域；值域； ；单调性 3．一一对应 4． 五、课堂练习 1.答案：A 解析：因为函数的图象恒过定点，所以所以所以.故选A. 2.答案：D 解析：依题意得，，即，解得或. 故选D. 3.答案：B 解析：由题意知解得. 4.答案：A 解析：函数（，且）叫作对数函数，故①②③不是对数函数，④是对数函数. 5.答案：B 解析：由于函数是函数（且）的反函数,则, 则,解得,因此,. 故选：B. 6.答案：C 解析：函数，且，，. 7.答案：D 解析：因为（且）的图象过定点，的图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以的图象过定点.故选D. 8.答案：B 解析：由题意得所以且，即的定义域为，故选B. 9.答案：-7 解析：且， ， ，. 10.答案：4 解析：由题意可知解得. 六、课后练习 1.答案：B 解析：由题意可得，要使函数的定义域为R，则对任意的实数x都有，故有解得或，即实数a的取值范围为.故选B. 2.答案：C 解析：当时，， 的图象过定点.故选C. 3.答案：B 解析：当时,与的值无关,点的坐标为.故选B. 4.答案：B 解析：因为函数与函数的图象关于直线对称，所以两函数互为反函数，由得，整理得，所以. 5.答案：D 解析：令，解得，此时，，所以函数图像过点，故选D. 6.答案：C 解析：对于函数,有 解得且. 所以函数的定义域为.故选C. 7.答案：BD 解析：，当且仅当，即时等号成立，此式无解，所以函数的最小值不为2，故A错误； 令，得，则，故的图象恒过定点，故B正确；若的定义域为R，则0在R上恒成立， 所以，解得，故C错误； 若的值域为R，则在R上有解， 所以，解得或，故D正确.故选BD. 8.答案： 解析：函数中,当时,恒有, 所以函数图象过定点. 故答案为：. 9.答案： 解析：解法一：因为，所以.因为，所以，所以，所以.令，则在上单调递增，所以，所以. 解法二：因为，所以.由，设，则，所以，所以，所以.令函数，则在上单调递增，所以，所以. 10.答案：要使函数有意义， 只需解得， 即. 由， 得，即. 选择第②个条件： 当时，， ，满足条件. ， . 选择第③个条件： 当时，， ，满足条件. ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$